精品解析：云南省大理白族自治州大理市2024-2025学年高二上学期1月期末教学质量监测数学试卷

2024~2025学年上学期高二年级教学质量监测考试 数学试卷 【考试时间：2025年1月14日09：00~11：00】 （全卷四个大题，共19个小题，共4页；满分150分，考试用时120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号等在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的相关信息，在规定的位置贴好条形码. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.非选择题用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则复数对应的点位于第（ ）象限. A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 3. 已知函数，，则“”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 甲同学近10次数学考试成绩情况如下：103，106，113，119，123，118，134，118，125，121，则甲同学这10次数学考试成绩的第25百分位数是（ ） A. 113 B. 109.5 C. 106 D. 103 5. 已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. 3 C. D. 7. 设，，，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 6 8. 已知正项数列满足，若，则（ ） A. B. 10 C. D. 5 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知事件，发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若与互斥，则 B. 若与相互独立，则 C. 若与相互独立，则 D. 若发生时一定发生，则 10. 双曲线的左、右焦点分别为，.若点是关于的一条渐近线的对称点，且恰在另一条渐近线上，则（ ） A. 双曲线的渐近线方程为 B. 双曲线的离心率为 C. 的面积为 D. 若为双曲线上的一动点，则到两条渐近线的距离之积为定值 11. 已知等比数列的首项，公比为，前项和为，前项积为，则（ ） A. 若数列是递增数列，则 B. 当时，数列是常数列 C. 当时，存在实数，使得恒成立 D. 若，则使得成立的最大值为10 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，则向量在向量上的投影向量的坐标为______. 13. 圆锥的底面积为，其母线长为，则该圆锥的体积为______. 14. 设抛物线焦点为，直线与的一个交点为，，直线与的另一个交点为，则________. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面和平面所成的夹角的余弦值. 16. 一个圆切直线于点，且圆心在直线上. （1）求该圆的方程； （2）过直线上一点引圆的两条切线，切点分别为，，求四边形面积的最小值. 17. 设中的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求角； （2）若，，三边成等比数列，角的角平分线交于点，且，求的面积. 18. 设等差数列前项和为，首项，且，数列的前项和为，且满足. （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和. 19. 已知和为椭圆上两点. （1）求椭圆的离心率； （2）过点直线与椭圆交于、两点（、不在轴上）. （i）若的面积为，求直线的方程； （ii）直线和分别与轴交于、两点，求证：定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年上学期高二年级教学质量监测考试 数学试卷 【考试时间：2025年1月14日09：00~11：00】 （全卷四个大题，共19个小题，共4页；满分150分，考试用时120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号等在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的相关信息，在规定的位置贴好条形码. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.非选择题用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求解对数不等式得集合，再根据集合的交集运算求解. 【详解】，， 所以. 故选：C. 2. 若，则复数对应的点位于第（ ）象限. A 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数乘方运算可得，再由复数的几何意义可得结论. 【详解】易知， 由可得， 可知对应点在第三象限， 故选：C. 3. 已知函数，，则“”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出函数在上单调递增等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】若函数在上单调递增，则，解得， 所以“”是“函数在上单调递增”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 甲同学近10次数学考试成绩情况如下：103，106，113，119，123，118，134，118，125，121，则甲同学这10次数学考试成绩的第25百分位数是（ ） A. 113 B. 109.5 C. 106 D. 103 【答案】A 【解析】 【分析】利用百分位数的定义即可求得结果. 【详解】已知数据按从小到大排列为：103，106，113，118，118，119，121，123，125，134， 因为，因此第25百分位数是第3个数113， 故选：A 5. 已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的定义，写出通项公式，结合题意，可得答案. 【详解】由题得， 即，则， 故选：A. 6. 已知，则（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件，结合两角差的正切公式求，利用商的关系将所求表达式转化为由表示的形式，代入可得结论. 【详解】因为，所以，解得， 所以， 故选：D. 7. 设，，，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式中常数代换技巧求解最值即可. 【详解】由题可得：，，， 所以， 当且仅当即时取等号，故的最小值为4. 故选：B. 8. 已知正项数列满足，若，则（ ） A. B. 10 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程组法求得时，进而，结合求解即可. 【详解】因为， 当时，， 两式相减得：，， 当时，，，又，解得. 故选：B 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知事件，发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若与互斥，则 B. 若与相互独立，则 C. 若与相互独立，则 D. 若发生时一定发生，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据互斥事件概率加法公式求解判断A，根据独立事件乘法公式和概率的性质求解判断B，结合对立事件概率公式，利用独立事件乘法公式求解判断C，根据事件关系求解概率判断D. 【详解】选项A：与互斥，则，正确； 选项B：与相互独立，所以， 从而，正确； 选项C：，正确； 选项D：发生时一定发生，则，，不正确. 故选：ABC. 10. 双曲线的左、右焦点分别为，.若点是关于的一条渐近线的对称点，且恰在另一条渐近线上，则（ ） A. 双曲线的渐近线方程为 B. 双曲线的离心率为 C. 的面积为 D. 若为双曲线上的一动点，则到两条渐近线的距离之积为定值 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A：根据题意可知渐近线的倾斜角分别为，，进而可得渐近线方程；对于B：可知，进而可求离心率；对于C：根据题意可得，，进而可求面积；对于D：可得双曲线方程为，结合点到直线的距离公式分析判断. 【详解】对于选项A，因为点是关于的一条渐近线的对称点，且恰在另一条渐近线上， 可知，则渐近线的倾斜角分别为，， 所以双曲线的渐近线方程为，故A错误； 对于选项B，由选项A可知， 所以双曲线的离心率为，故B错误； 对于选项C，因为，且， 可知，且， 在中，可得，， 所以的面积为，故C正确； 对于选项D，由及，得，， 则双曲线的方程为. 设，则， 所以到两条渐近线的距离之积为，故D正确； 故选：CD. 11. 已知等比数列的首项，公比为，前项和为，前项积为，则（ ） A. 若数列是递增数列，则 B. 当时，数列是常数列 C. 当时，存在实数，使得恒成立 D. 若，则使得成立的的最大值为10 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据递增的性质列不等式求解判断A，利用指数运算化简求出判断B，利用等比数列求和公式求解判断C，结合B选项及题意求得，，即可判断D. 【详解】A：若数列是递增数列，则当时，， 因为，所以，故A正确； B：， 因为，所以数列不是常数列，故B错误； C：因为当时，， 故存在，使得恒成立，故C正确； D：因为，若， 则，， 所以，所以，，，， 所以，，则使得成立的的最大值为10，故D正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，则向量在向量上的投影向量的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】结合数量积的坐标运算和模的坐标公式，利用投影向量公式求解即可. 【详解】向量在向量上的投影向量的坐标为. 故答案为： 13. 圆锥的底面积为，其母线长为，则该圆锥的体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据底面圆面积求出半径，进而求出圆锥的高，代入圆锥的体积公式即可求解. 【详解】圆锥的母线长为，底面半径长为，又，解得， 故高，可得圆锥的体积为. 故答案为： 14. 设抛物线的焦点为，直线与的一个交点为，，直线与的另一个交点为，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意联立直线方程分别解出的坐标，即可求得. 【详解】联立消可得，解得或， 即直线与抛物线的交点为或，∵，∴， 又，直线：，即， 联立，消可得， 解得或，则，此时. 故答案为： 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面和平面所成的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，证明出，，结合线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）利用空间向量法可求得平面和平面所成的夹角的余弦值. 【小问1详解】 连接，因为底面，底面是矩形， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，，，， 所以，，， 因为，，所以，， 又，、平面，所以平面 【小问2详解】 由（1）知平面的一个法向量为， ，， 设平面的法向量为，则有， 令，则，，故， 所以， 所以平面和平面所成夹角的余弦值为. 16. 一个圆切直线于点，且圆心在直线上. （1）求该圆的方程； （2）过直线上一点引圆两条切线，切点分别为，，求四边形面积的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据直线垂直关系求出PM直线方程，与直线方程联立求得圆心，再求出半径即可得解； （2）先判断直线与圆相离，然后利用对称性得四边形面积为，结合垂线段最短利用点线距离求解即可. 【小问1详解】 设圆心坐标为， 则设过点的半径所在的直线为，代入，可得， 由解得所以. 所以， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 因为到直线的距离为， 所以直线与圆相离， 由题意四边形面积为， 可得，当与直线垂直时，最小，四边形面积最小. 由.所以四边形面积的最小值为. 17. 设中的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求角； （2）若，，三边成等比数列，角的角平分线交于点，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，结合内角和公式，诱导公式，辅助角公式化简后求解即可； （2）由条件根据等比中项性质可得，由关系结合面积公式可得，再结合余弦定理可求，根据三角形面积公式求结论. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 所以， 所以 即， 即， 因为，所以， 故， 即，因为，所以， 故. 【小问2详解】 ∵，，三边成等比数列，所以，①. ∵，是的平分线， ∴，又， ∴， 化简得：②. 由余弦定理得， 将①②代入上式可得：， ∴. 18. 设等差数列的前项和为，首项，且，数列的前项和为，且满足. （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）判断数列为等差数列，结合已知求出公差即可得的通项；再利用前项和与第的关系求出通项. （2）由（1）的结论求出，再利用错位相减法求和即得. 【小问1详解】 设等差数列公差为，则，， 于是数列是首项为，公差为的等差数列， 而，即，解得， 因此； 由数列的前项和， 当时，，即， 当时，，解得， 因此数列是以1为首项，为公比的等比数列，， 所以数列和的通项公式分别为，. 【小问2详解】 由（1）知，， ， 则有， 两式相减得 ， 所以. 19. 已知和为椭圆上两点. （1）求椭圆的离心率； （2）过点的直线与椭圆交于、两点（、不在轴上）. （i）若的面积为，求直线的方程； （ii）直线和分别与轴交于、两点，求证：为定值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由已知可得出、的值，可得出的值，由此可得出椭圆的离心率； （2）（i）设、，设直线的方程为，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用三角形的面积公式可得出关于的等式，解出的值，即可得出直线的方程； （ii）求出、，以及直线、的方程进而可得出点、的纵坐标，结合韦达定理计算可得出为定值. 【小问1详解】 由、可知，，则， 所以，即椭圆的离心率为. 【小问2详解】 由（1）可知椭圆的方程为， （i）如图，设、， 若与轴重合，不合乎题意， 设过点的直线的方程为， 联立联立得：， 所以，， ， 得，所以， 所以直线的方程为. （ii）由（i）可知，， ， 直线的方程为，令，得， 直线的方程为，令，得， ， 所以为定值. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$