23.1 图形的变换（平移、旋转轴对称）讲义 2024-2025学年北京版九年级数学下册

图形变换---做图（轴对称、旋转、平移、位似) 1、 知识梳理 1、 点P(x,y)关于x轴对称点的坐标是（ ， ）口诀：横____,纵_____ 2、 点P(x,y)关于y轴对称点的坐标是（ ， ）口诀：纵_____横_____ 3、 点P(x,y)关于原点对称点的坐标是）口诀：横纵________ 4、 点P(x,y)向左或向右平移a(a>0)个单位后的坐标为（ ， ）,向上或向下平移b(b>0)个单位后的坐标为（ ， ）.口诀：上____下_____，左____右_____。 5、位似： 在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为 ( ， )或（ ， ). 二、典型例题 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后， △ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）． （1）在图1中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； （2）在图1中画出将△ABC绕原点O按逆时针方向旋转所得的△A2B2C2； （3）在图2中，以点O为位似中心，将△ABC放大，使放大后的△A3B3C3与△ABC的对应边的比为2:1（画出一种即可）．直接写出点A的对应点A3的坐标． ( 图 1 图 2 ) 3、 巩固练习 1、（1）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（﹣1，3），（﹣4，1）， （﹣2，1），将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到△A1B1C1， 点A，B，C的对应点为点A1，B1，C1．画出旋转后的△A1B1C1； （2）下列3×3网格都是由9个相同小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形（画出两种即可）． 2、如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB1C1． (1) 在网格中画出△AB1C1； ( 第2题图 )(2) 计算点B旋转到B1的过程中所经过的路径长．（结果保留） 3、（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使，并求出点坐标； （2）以原点为位似中心，相似比为2，在第一象限内将放大，画出放大后的图形. 图形变换--全等变换 一、知识梳理 1、全等变换：_____、_____、_____以及这几种变换的组合，只改变图形的_____， 不改变图形的_____和_____． 2、 三种变换的区别是“变换后图形位置方向的不同，即平移前后图形的放置方向____ ______、________改变图形的方向. 3、 变换名称 要素 作图 性质 轴对称 对称轴的_____ 对称轴______对称点的所连线段 轴对称变换前、后的图形______ 平移 _____ _____ 对应线段____且______ (或在____直线上） 对应点的所连线段___且____ (或在____直线上） 平移前、后的图形______ 旋转 _____ _____ _____ 对应点到旋转中心的距离____ 任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是______,它们都______. 旋转前、后的图形______． 图形变换--全等变换--平移 一、典型例题 例1　(平移）下列各网格中的图形是用其图形中的一部分平移得到的是( ) 　 例2（平移）如图，有a、b、c三户家用电路接入电表， 相邻电路的电线等距排列，则这三户所用电线 ( ) A．a户最长 B．b户最长 C．c户最长 D．三户一样长 例3、（平移）如图，△A'B'C'是由△ABC沿射线AC方向平移2 cm得到， 若AC＝3 cm，则A'C＝_______cm．[来源:学.科.网Z.X.X.K] 例4、在四边形ABCD中， AD//BC（AD<BC) ,∠B=∠C ,求证：AB=CD 2、 巩固提高 1．将如图所示的图案通过平移后可以得到的图案是 ( ) 　 2、 在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是（－1，3），（－4，1）， 先将线段AB沿一确定方向平移得到线段A1B1， 点A的对应点为A1，点B1的坐标为(0，2） （1）画出A1B1 （2）求出线段AA1的长 3、如图，梯形ABCD中，AD//BC, (AD<BC) , ∠B+∠C=90°，点E、F分别为上下底边的中点， 求证： 三、拓展延伸 4、如图，已知△ABC中，D、E 为BC边上的两点，且BD=CD. 求证：AB＋AC＞AD＋AE。 图形变换--全等变换--轴对称 1、 典型例题 例1、下列各图中，是轴对称图形而不是中心对称图形的是（ ） ( A B C D D ′ C ′ N M F )例2、（折叠）如图所示，把一长方形纸片沿MN折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠AMD′＝36°，则∠NFD′ 等于（ ） A．144° B．126° C．108° D．72° 例3、（折叠）如图，在矩形ABCD中，把边AD沿着折痕AE折叠，使点D落在BC上的F处，已知AB=6，△ABF的面积是24， 则FC=______.EC=________.EF=_______. 例4、白皮大测138页11题 小小结：见折叠，想_______. 见折叠，想_____思想。 二、巩固练习 1、（折叠）如图所示，把一长方形纸片沿MN折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠AMD′＝36°，则∠NFD′ 等于（ ） A. B. C. D. 2．（折叠）已知如图，矩形OABC的长OA=，宽OC=1，将△AOC沿AC翻折得△APC。则∠PCB=____度，P点坐标为（ ， ）； 3、 拓展延伸 精炼本68页12题。19题 图形变换--全等变换--旋转 一、典型例题 例1、如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°得到△AB′C′. 若∠BAC=50°，则∠CAB′的度数为( ) A．30° B．40° C．50° D．80° 例2、如图，△ABC绕点A旋转后到达△ADE处，若∠BAC＝120°， ∠BAD＝30°，则∠DAE＝__________，∠CAE＝__________． 例3、如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连结BE， 将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF， 连结EF，若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为_________． 例4、在①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形 ⑤等腰梯形中，既是轴对称、又是中心对称的图形是____________________ (填序号） 补充：（1）圆既是___对称图形，也是___对称图形。（2）正n边形（n≥3）：当n为___数时，只是___对称图形。当n为___数时，既是___对称图形，也是___对称图形。 例5、 如图，将边长为2cm的两个互相重合的正方形纸片按住其中一个不动， 另一张绕点B顺时针旋转，若旋转后重叠部分的面积为 ， ， 则旋转角的度数是________． ． 例6、请在右上图的正方形方格纸中， 画出线段AB关于点O的中心对称的图形． 例7、在如图所示的平面直角坐标系中，有△ABC （1） 将△ABC向x轴负半轴方向平移4个单位得到△A1B1C1， 画出图形并写出点A1的坐标． （2） 以原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90° 得到△A2B2C2，画出图形并写出点A2的坐标． 例8、 △ABC是边长为2的等边三角形，D是BC中点， △ABD经旋转后到达△ACE的位置． （1）旋转中心是点________;旋转角是__________; （2）连结DE，并求DE的长. 三、巩固练习 1、右图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的则每次旋转的度数可以是（ 　） A．900 B．600 C．450 D．300 2、如图，在△ABC中，∠C＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转60° 得△ADE，AE与BC交于点F，则∠AFB＝________． 3、如图，△ABC和△CDE都是正三角形，从图形变换的角度看， △____ 是将△____绕___点，__时针旋转___度得到的。为什么？ 4、在如图的方格纸中有一个Rt△ＡＢＣ（A、B、C三点均为格点），∠C=．现将Rt△ABC绕点B顺时针旋转后所得到的Rt△. （1）画出Rt△,其中A、C的对应点分别是、 （2）试求出ＡB所扫过的图形的面积. ( F B C D E A )5、如图，正方形ABCD的边长为3，E为CD边上一点，DE=1．△ADE绕着 A点逆时针旋转后与△ABF重合，连结EF， 则（1）EF= ； （2）E从开始到旋转结束所经过的路径长为 ． 6、如图 ，点 P 是等边三角形 ABC 内一点，且 PA ＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB 的度数。 7、在等腰直角△ABC中，∠ACB=900，点E、F在AB上，∠ECF=45º， 求证： ． 8、如图 ，正方形ABCD的边长为 1，点P、Q分别为AB、AD上的点，△APQ的周长为2， 求PCQ的度数 ( 4 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$