23.1平移变换 同步练习2024-2025学年北京版数学九年级下册

23.1平移变换 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，直线，顶点在直线上，边在直线上，把沿方向平移的一半得到（如图①）；继续以上的平移得到图②，再继续以上的平移得到图③，…，请问在第个图形中等边三角形的个数是（    ）    A．个 B．个 C．个 D．个 2．下列现象中，属于平移的是（　　） A．传送带上物品的输送 B．教室的门打开 C．方向盘的转动 D．钟摆的运动 3．如图，在一块长为12m，宽为6m的长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路(小路任何地方的水平宽度都是2m)，则空白部分表示的草地面积是 (　　) A．70m2 B．60m2 C．48m2 D．18m2 4．如图的棋盘中，若“士”的坐标为（1，－2），“相””的坐标为（4，－2），则“炮”的坐标为（ ） A．（2，1） B．（－1，1） C．（－1，2） D．（1，－2） 5．下列说法正确的是(   ) A．垂线段最短 B．平移改变图形的形状和大小 C．同位角相等 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 6．如图，把一个三角形纸板的一边紧靠数轴平移，点M平移的距离为（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 7．2022北京冬奥会吉祥物冰墩墩成了网红．通过平移左图吉祥物冰墩墩可以得到的图形是（    ） A． B． C． D． 8．如图，等腰直角△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝10cm，将△ABC沿AC方向平移cm得到△DEF，则两个三角形重叠部分△DGC的面积为（　　） A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2 9．如图，将三角形ABC沿着XY方向平移一定的距离就得到三角形MNL，则下列结论∶①AM∥BN；②AM=BN；③BC=ML；④∠ACB=∠MNL，其中正确的有　　(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，在平面直角坐标系中，，点，将沿着某一直线平移，的一边与的一边重合．下列叙述中错误的是（    ） A．将向右平移1个单位可得与重合 B．将向右平移3个单位可得与重合 C．将向右平移2个单位，再向下平移3个单位可得与重合 D．将沿着直线平移个单位可得与重合 11．下列现象是数学中的平移的是（　　） A．树叶从树上落下 B．卫星绕地球运动 C．碟片在光驱中运行 D．电梯从底楼升到顶楼 12．下列A、B、C、D四幅图案中，能通过平移左边图案得到的是（    ）    A．   B．   C．   D．   二、填空题 13．如图，在平面直角坐标系中，，将点向下平移1个单位，再向右平移2个单位得到点，若点在轴上，且，则点的坐标为 ． 14．如图，若△DEF是由△ABC沿BC方向平移得到的，EF＝5，EC＝3，则平移的距离是 ． 15．在平面直角坐标系中，将点向右平移5个单位后对应点的坐标为 ． 16．如果把点向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到点，那么 ． 17．如图，四边形OABC各个顶点的坐标均为整数．如果把原来OABC各个顶点纵坐标保持不变，横坐标增加2，那么所得的四边形OABC面积为 ． 三、解答题 18．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)在平面直角坐标系中描出点A，B，C，求的面积； (2)x轴上是否存在点P，使的面积为4，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，说明理由； (3)如果以点A为原点，以经过点A平行于x轴的直线为轴，向右的方向为轴的正方向；以经过点A平行于y轴的直线为轴，向上的方向为轴的正方向；单位长度相同，建立新的直角坐标系，直接写出点B、点C在新的坐标系中的坐标． 19．如图，已知三角形的周长为16，，现将三角形沿直线向右平移a个单位长度得到三角形． (1)连接，若平分，求的大小； (2)连接，若四边形的周长为24，求a的值． 20．如图，直角坐标系中，三角形的顶点都在网格点上． （1）将三角形先向左平移格，再向下平移格，得到三角形，请画出三角形 （2）请写出点的坐标．（____，_____） （3）求的面积． 21．如图所示，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形的格点上，点的坐标是，点C的坐标是． (1)将平移后使点A与重合，点C，B分别与，重合，画出，并直接写出、的坐标；（不写作法） (2)若上的点M坐标为，则平移后的对应点的坐标为_______（用含x，y的代数式表示）； (3)求三角形的面积． 22．如图，直角坐标系中，的顶点都在网格点上：    (1)将先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到，画出平移后的图形并写出的顶点的坐标． (2)计算的面积． 23．如图，在平面直角坐标系中，已知A（4，0），将线段OC沿x轴方向平移至AB，点D在x轴上，C（a，b），且|b﹣3|＝0．连接BC，CD，BD． （1）写出点C的坐标为 ；点B的坐标为 ； （2）当△ODC的面积是△ABD的面积的3倍时，求点D的坐标； （3）设∠OCD＝a，∠DBA＝，∠BDC＝，请直接写出a，B，之间的数量关系． 24．对平面直角坐标系中的每个点P进行如下操作，先把点P的横、纵坐标都乘以同一个实数a，将得到的点先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到点，则点叫做点P的、b伴点，已知正方形中，，，    (1)点D的坐标是______；在坐标系中画出正方形； (2)点B的2、1伴点是______； (3)若A的a、b伴点是，求a、b的值． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《23.1平移变换》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B B A B B A B D 题号 11 12 答案 D D 1．C 【分析】根据等边三角形的性质可得，根据相平行线的性质可得，，根据等边三角形的判定可得阴影的三角形是等边三角形，又观察图可得，第个图形中大等边三角形有个，小等边三角形有个，据此求出第个图形中等边三角形的个数． 【详解】解：如图：    ∵是等边三角形， ∴， 由平移的性质得， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， 同理阴影的三角形都是等边三角形． 观察图可得，第个图形中大等边三角形有个，小等边三角形有个， 第个图形中大等边三角形有个，小等边三角形有个， 第个图形中大等边三角形有个，小等边三角形有个， … 依次可得第个图形中大等边三角形有个，小等边三角形有个． 故第个图形中等边三角形的个数是：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，平移的性质，解题的关键是根据图找出规律． 2．A 【分析】本题考查了平移的定义，掌握图形经过平移，对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段相等是解题的关键． 根据平移的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A．传送带上物品的输送，是平移，因此选项A符合题意； B．教室的门打开，是旋转，不是平移，因此选项B不符合题意； C．方向盘的转动，是旋转，不是平移，因此选项C不符合题意； D．钟摆的运动，是旋转，不是平移，因此选项D不符合题意． 故选：A． 3．B 【详解】解：草地面积=长方形面积-小路面积=12×6-2×6=60（m2）， 故选B. 4．B 【分析】“炮”的坐标可以看作“士”向左移动2个单位，再向上移动3个单位得到，据此求解即可． 【详解】解： “士”的位置坐标为， 由图形可知，“炮”的横坐标是“士”向左移动2个单位即，纵坐标为“士”向上移动3个单位得到即，故“炮”的坐标是． 故选：B． 【点睛】本题考查了点的位置的确定，另一种解题思路为：可以通过已知“士”，“相”的坐标确定原点的位置，再确定“炮”的坐标． 5．A 【分析】根据垂线段、平移的性质及平行线的性质可进行求解． 【详解】解：A、点到直线，垂线段最短，原说法正确，故符合题意； B、平移不改变图形的形状和大小，原说法错误，故不符合题意； C、两直线平行，同位角相等，原说法错误，故不符合题意； D、在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误，故不符合题意； 故选A． 【点睛】本题主要考查垂线段、平移的性质及平行线的性质，熟练掌握垂线段、平移的性质及平行线的性质是解题的关键． 6．B 【分析】在三角形纸板平移过程中，三角形纸板上所有的点的平移方向和距离相同．点M的平移到，数轴上点平移到0的平移距离是5，所以． 【详解】解：三角形纸板紧靠数轴平移过程中， ∵点平移到0，平移距离为， ∴点M的平移到的距离也为5，即． 故选：B． 【点睛】本题考查数轴、平移的性质，平移过程中图形上所有的点发生相同的平移，即所有的点的平移方向和平移的距离都相同．将点M的平移距离转化为数轴上的点平移到点0的距离，是解答本题的关键． 7．B 【分析】根据平移的性质即可得到答案． 【详解】解： A．不是平移后的图形，不符合题意， B．是平移后的图形，符合题意， C．不是平移后的图形，不符合题意， D．不是平移后的图形，不符合题意． 故选：B 【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形沿某一直线方向移动，得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，各个部分的方向不会改变． 8．A 【分析】首先根据等腰直角三角形的性质得出∠A=∠BCA=45°，再根据勾股定理得出AC，然后由平移的性质得出∠A=∠EDF，AD= 4cm ，DG=CG，进而得出CD，∠DGC=90°，再由勾股定理得出DG，即可得出△DGC的面积. 【详解】解：∵等腰直角ΔABC中，∠B=90°，AB=BC=10cm ， ∴∠A=∠BCA=45°， AC= 又∵将 ΔABC沿AC方向平移4cm得ΔDEF ， ∴∠A=∠EDF，AD=4cm，DG=CG ∴CD=AC-AD= ∴∠DGC=90° ∵ CD= ∴ DG=CG=6 ∴ S△DGC= DG⋅CG= ×6×6=18cm2 故答案为A. 【点睛】此题主要考查等腰直角三角形、平移的性质以及勾股定理的运用，熟练掌握，即可解题. 9．B 【分析】如图，由△ABC平移得到△MNL可知A与M、B与N、C与L是对应点，根据平移的特征得：AM∥BN∥CL且AM=BN=CL，△ABC与△MNL的形状、大小完全相同．从而进行判断即可． 【详解】解：根据平移前后连接对应点的线段平行且相等可知： ①AM∥BN正确，②AM=BN正确； 根据平移前后△ABC与△MNL的形状、大小完全相同可知 BC=NL、∠ACB=∠MLN，所以：③BC=ML错误，④∠ACB=∠MNL错误． 故选B． 【点睛】本题考查了平移的性质，结合图形能清楚观察平移的方向、距离及其对应点，关键明确平移的两个性质：①连接对应点的线段平行且相等，②平移前后图形的形状、大小完全相同． 10．D 【分析】根据图象和全等的性质可分别写出,,的坐标，再根据平移方式分别平移线段的端点即可判断A、B、C，根据C选项的平移方式，可判断沿着直线平移个单位可得与重合，即判断D错误. 【详解】解：如图根据可知,,, 又, 将向右平移1个单位，的坐标变为与O点重合，的坐标变为与D点重合，故与重合，A选项说法正确； 将向右平移3个单位，的坐标变为与E点重合，的坐标变为与D点重合，故与重合，B选项说法正确； 将向右平移2个单位，再向下平移3个单位, 的坐标变为与O点重合，的坐标变为与E点重合，故与重合, C选项说法正确； C选项，将向右平移2个单位，再向下平移3个单位，即将沿着直线平移个单位，此时与重合，故D选项错误． 故选：D． 【点睛】本题考查坐标与图形变化——平移，一次函数的性质，勾股定理，全等三角形的性质．理解图形的平移方式与点的平移方式相同是解题关键． 11．D 【分析】本题主要考查了图形的平移，在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动叫平移，学生混淆图形的平移与旋转或翻转，而误选．根据平移的概念即可选出答案． 【详解】解：A、树叶从树上落下不是平移，故此选项错误； B、卫星绕地球运动是旋转，不是平移，故此选项错误； C、碟片在光驱中行是旋转，不是平移，故此选项错误； D、电梯由一楼升顶楼是平移，故此选项正确； 故选：D． 12．D 【分析】根据平移的性质：图形平移前后图形的形状和大小不变，位置发生变化，由此即可得解． 【详解】解：由平移的性质可得，四幅图案中，能通过平移图案得到的是D， 故选：D． 【点睛】此题考查了平移的性质，熟记平移的性质是解题的关键． 13．（0，2）或（0，） 【分析】根据题意确定点B的坐标，然后设C（0，m），结合图形，利用面积得出方程求解即可． 【详解】解：将点A向下平移1个单位，再向右平移2个单位得到点B， ∴B(0，)， 设C（0，m）， 如图所示， 根据题意得：， 解得：m=2或， ∴C(0，2)或（0，）， 故答案为：（0，2）或（0，）． 【点睛】题目主要考查坐标与图形，坐标的平移，一元一次方程的应用等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 14．2 【分析】平移的距离为线段BE的长求出BE即可解决问题； 【详解】∵BC＝EF＝5，EC＝3， ∴BE＝2， ∴平移距离是2， 故答案为2． 【点睛】本题考查平移的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 15． 【分析】此题主要考查对坐标与图形变化-平移的理解和掌握，能根据平移性质进行计算是解此题的关键．根据平移的性质得出所对应的点的横坐标是，纵坐标不变，求出即可． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，将点向右平移5个单位， ∴所对应的点的横坐标是，纵坐标不变， ∴所对应的点的坐标是， 故答案为：． 16．-5 【分析】根据平移规律求得即可． 【详解】解：由平移得： a=-1-1=-2， b=-2-1=-3， ∴a+b=-2-3=-5， 故答案为： -5． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化-平移，关键是掌握点的坐标的变化规律． 17．14 【分析】利用分割法，把四边形分割成两个三角形加上一个梯形后再求面积，再根据平移的性质即可解答． 【详解】观察可得，四边形OABC可分割成两个三角形加上一个梯形， 所以，四边形OABC的面积=×2×3+×(3+4)×2+×2×4=14， 由题意可知，把原来的四边形OABC各个顶点纵坐标保持不变，横坐标增加2，其实是将四边形向右平移2个单位， 根据平移的性质可知，平移后的图形形状和大小不变， 所以所得的四边形面积是14． 故答案为14． 【点睛】本题考查坐标与图形变化-平移． 18．(1)图见解析， (2)存在，或 (3)， 【分析】（1）先描点，再顺次连接可得，然后利用三角形的面积公式即可得； （2）先求出与轴的交点坐标为，再根据的面积为4建立方程，解方程即可得； （3）将问题转化为将点平移后至点后，求点按同样的方式平移后的坐标，再根据点的坐标的平移变换规律即可得． 【详解】（1）解：描出点如下： ∵， ∴的面积为． （2）解：， 与轴的交点坐标为，， 设点的坐标为， 的面积为4， ， 解得或， 则存在这样的点，点的坐标为或． （3）解：由题意可将问题转为：将点平移后至点后，求点按同样的方式平移后的坐标． 将点先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度可得点， 点按同样的方式平移后的坐标分别为，即分别为， 故点、点在新的坐标系中的坐标为． 【点睛】本题考查了点坐标与图形、点的坐标的平移变换，较难的是题（3），将问题转化为平移问题是解题关键． 19．(1) (2) 【分析】本题考查了平移的性质，角平分线定义，解题的关键是： （1）利用平移的性质得出，利用平行线的性质得出，，然后结合角平分线的定义求解即可； （2）利用平移的性质得出，，然后结合和四边形的周长可得出关于a的方程，然后解方程即可求解。 【详解】（1）解：∵将三角形沿直线向右平移a个单位长度得到三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图， ∵将三角形沿直线向右平移a个单位长度得到三角形， ∴，， ∵四边形的周长为24， ∴， 即， ∵三角形的周长为16，即， ∴， 解得. 20．（1）图见解析；（2）1，1；（3）5． 【分析】（1）先根据的位置得出点的坐标，再根据平移的性质得出点的坐标，然后描点，顺次连接即可得； （2）由（1）已求得； （3）如图（见解析），直接利用长方形的面积减去三个直角三角形的面积即可得． 【详解】（1）由题意得： 即 再描点，顺次连接点即可得，如图所示： （2）由（1）已得： 故答案为：1，1； （3） 则 ． 【点睛】本题考查了平移作图、点坐标的平移变换规律等知识点，掌握点坐标的平移变换规律是解题关键． 21．(1)画图见解析，， (2) (3) 【分析】（1）根据平移的性质画出图形，根据直角坐标系即可写出坐标； （2）根据平移的性质即可得到的坐标； （3）用长方形的面积减去3个小直角三角形的面积求解即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求， ，； （2）根据平移的性质可得，； （3）过点A作水平线与过点A，点B的铅直线于A，F，过C的水平线与过点A，点B的铅直线于D，E，则四边形为长方形， ∴， =， =， =， ． 【点睛】此题主要考查直角坐标系的作图，解题的关键是熟知直角坐标系平移的特点． 22．(1)图见解析， (2)5 【分析】（1）根据图形平移的性质画出，再标出点坐标即可； （2）利用矩形面积减去三个顶点上三角形的面积即可． 【详解】（1）如图，即为所求；    此时； （2）． 【点睛】本题考查作图——平移变换，熟知图形平移的性质以及割补法求三角形的面积是解题的关键． 23．（1）（2，3）；（6，3）；（2）点D的坐标为（3，0）或（6，0）；（3）θ＝α+β，或θ＝α﹣β，或θ＝β﹣α． 【分析】（1）根据|b﹣3|＝0，求得点C的坐标，再根据平移即可求解； （2）设点D的坐标为（x，0），分点D在线段OA或OA的延长线上，两种情况进行讨论即可； （3）根据点D的位置，分为点O在左侧、线段OA、OA的延长线三种情况讨论，即可． 【详解】解：（1）∵|b﹣3|＝0 ∴ ∴点C的坐标（2，3） 根据平移的性质可知，点B的坐标为（6，3）； （2）设点D的坐标为（x，0）， ∵△ODC的面积是△ABD的面积的3倍，即S△OCD＝3S△ABD， ∴OD＝3AD， 如图1，当点D在线段OA上时， ∵OD＝3AD， ∴， 则x+＝4， 解得，x＝3， ∴点D的坐标为（3，0）； 如图2，当点D在OA的延长线上时， ∵OD＝3AD， ∴， 则x﹣＝4， 解得，x＝6， ∴点D的坐标为（6，0）； 综上所述，点D的坐标为（3，0）或（6，0）； （3）当点D在点O在左侧时，设与交点为，如下图： 由平移的性质可知： ∴ 又∵ ∴ ∴ 当点D在线段OA上时，如下图： ∵ ∴，即 又∵ ∴ ∴，即 当点D在线段OA的延长线上时， ∵ ∴ 又∵ ∴，即 ∴ 综上所得： 或或． 【点睛】此题主要考查了直角坐标系与几何的综合问题，涉及了平移性质、平行线性质、三角形内角和等有关性质，熟练掌握有关性质是解题的关键． 24．(1)，图见详解 (2) (3)， 【分析】（1）因为是正方形，所以，，根据，，，那么点A向右移动5个单位，再向下移动1个单位即可得到，同理，点D向右移动5个单位，再向下移动1个单位即可得到，即可得到点D的坐标；先在坐标系中描点，然后依次连线即可作图； （2）根据伴点的定义进行作答即可； （3）根据伴点的定义进行列式作答即可； 【详解】（1）解：因为是正方形， 所以，， 又因为，，， 那么点A向右移动5个单位，再向下移动1个单位即可得到， 同理，点D向右移动5个单位，再向下移动1个单位即可得到， 所以，， 即可得到点D的坐标， 故正方形如图所示：    （2）解：因为，根据伴点的定义： 所以先把点B的横、纵坐标都乘以同一个实数2，得， 然后把先向右平移个单位，得，再向上平移个单位，得 则点B的2、1伴点是； （3）解：因为的a、b伴点是，根据伴点的定义： 先把的横、纵坐标都乘以同一个实数，得， 把向右平移个单位，得，再向上平移个单位，得， 因为， 则， 解得， 所以， 【点睛】本题考查了坐标与图形，新定义运算，点的平移规律；向下平移m个单位则是纵坐标减去m，向上平移n个单位则是纵坐标减去n，向右平移m个单位则是横坐标减去m，向左平移n个单位则是横坐标减去n． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$