广东省深圳市龙岗区2024-2025学年高三上学期期末质量监测数学试题

龙岗区2024-2025学年第一学期高三期末 质量监测数学试题参考答案 2 6 7 8 9 10 11 B D A A B B c D ABC ABD BCD 8.【答案】D【解析】对于A,将x换成-x方程不变，所以图形关于y轴对称， 故A正确： 对于B,当x>0时，方程变换为2-x+y2-1=0,由4=少2-402-)20，解得户≤号，所以 )的最大值为25 故B正确： 对于C,当x>0时，由2+2-1+9可得2+y2-1=ws+ ,(当x=y时取等号)， 2 x2+y2≤2，V2+≤反故C正确： 对于D,当x<0时，由2+2=1-w可得2+2-1=(y≥-+ ,(当x=y时取等号)， 2 +y产号，FF:后又Ia+1a22+y产+0号放D错误： 3 另解：有对称性可知，只需要讨论x≥0即可，此时x2+y2=1+y -x=cosa 变为+-=1. 2 1 ,其中0et-受 (2x-y=sin0 、2 cos0 则 店6os-sm0收y=方0sB-m0=2。 Ps、 =万0s6+)s2=2w5 3 ≤万（省8=-5取等号） 3 IOP-4cos0+1c00 =sin Ocos0+sin20 3 =1+0+cos20- 204 330s281 因为0et受1，故20+号经1，co0+1,1oPpe后2 33 12A+1PP=2+0-2+2+0+2=22+y2+1)=20oPP+0∈号可 10.【答案】ABD 11.【答案】BCD【解析】函数fx)=x-logx的定义域为(0，+) 选项A当0<b<1时，了)=a1h6-品>0，故)在@+网)上为单调遥增西数 xib x 由fb)=b°-1<b°-1=0，f①)=1>0，根据零点存在性定理，f(x)在(0，+0)上存在唯一的一个零 点故选项A错误 选项B.由选项A知，当0<b<1时，f(x)在(0，+)上单调递增，无最小值，且f(b)<0,不合题意 故b>l.当b>1时，f)=x-log6x,f)=ax1-1=e-1), xInb x alnb' 令f(x)=0,则x。= 1 alnb 当x∈(0，。)时，f"《x)<0,f(x)为减函数， 当x∈(x。,+)时，f()>0,f(x)为增函数， 故x=x,时，f(x)有极小值，也是最小值. f0m=f。)=g2-1og6=1- 如x=1 alb Inb Inb a -hxo), 由题意，fx)≥1，又f)=1,则x。= 1 -1,可得anb=1 alnb 所以nb=上(b>1),则a+nb=a+上≥2.选项B正确 选项C由选项B知，ab=g向=点(b>1).gO)=b,令g询=0，则b=e, Inb (Inb) g(b)在4，e)单调递减，在(e,+m)单调递增. 故g(b)mm=g(e)=e,即ab的最小值为e.选项C正确. 选项D.由选项B知，anb=1,且b>1 )--es=-若--加，由)卢)得-lh=-h 令41=，12=52”，则t1-血=3-h2,易知t2>有>0，故n2-血=2- 由对数平约不等式得瓜总告，尚历1.即6 由a>0,故0<x2<1,故选项D正确， 12.【答案】2：13.【答案】453： 14.【答案】√5【解析】不妨设1Pm,IPF=n,m>n>0,IFF6, 则F=m2+2-mm=36,1PO上4. 有mPe1sm30+之P2sm30-之msm60,得(m+mP25m, 故1P0上Bm=4.解得m+n=6N5,m=24,m-n=25 m+n 故 [2a=m-n=25 ,得 a=5 2cE=6 c=31 六双曲线的离心率e=C=3 a=. 15.【解析】(1)由题意得：csinB+√3 ccosB=√3a, (1分) 由正弦定理得：sinCsin B+√3 sinCcosB=√3sin(B+C), (2分) 所以sinCsin B+√3 sinCcosB=√3 sin BcosC+√5 cos Bsin C, 所以sin Csin B=√3 sin BcosC, (3分) 又0<B<π，得sinB>0,所以simC=√cosc,即tamC=√5， (4分) 由0<C<π，解得c= 3: (6分) (2)由题意得：bs血c=65,故ab=24, (8分) 由cD=C+c)得：cD2=ei+C82=19,故a2+2+ab=76 (10分) 故解得a2+b2=52 (11分) 由余弦定理得c2=a2+b2-ab=28 (12分) 故c=2W万 (13分) 16.【详解】(1)证明：由于底面ABCD是边长为2的正方形，则AD⊥DC, 又AD⊥PC,DC∩PC=C,DCC平面PCD,PCC平面PCD,则AD⊥平面PCD,(2分) 则AD⊥PD,又AD=2,PA=√6，则PD=√万 于是PC2+PD2=CD2,即PD⊥PC (4分) 由于AD⊥PD,又AD‖BC,故PD⊥BC (5分) 又PC∩BC=C,PC、BCC平面PBC,则PD⊥平面PBC (6分) (2)取CD中点为O,连结PO,取AB中点为E,连结OE. 因为PC=PD,点O是CD中点，所以PO⊥CD 又因为AD⊥平面PCD,故平面ABCD1⊥平面PCD,又平面PCD∩平面ABCD=CD,POC平面PCD, 所以PO⊥平面ABCD. 因为点O、E分别是CD、AB的中点，所以OEIIAD,则OE⊥CD 则OP=1cD=1,OE=AD=2 (8分) 2 24 以点O为坐标原点，OD,OB,OP所在直线分别为x,y,z轴，如图建立空间直角坐标系 D-xz, 则o(0,0,0),D1,0,0),C(-10,0),B(-12,0),P(0,0,1),E(0,2,0,A1,2,0),AP=(-1-2,1), AB=(-2,0.0),PD=0,0,-1) (10分) 设m=(x,y,:)是平面PAB的一个法向量， 则m4P-X-2y+2=0,取y=1,则：=2， m·AB=-2x=0 所以m=(0,1,2)是平面PAB的一个法向量 (12分) 由(1)知，PD⊥平面PBC.故平面PBC的法向量为n=PD=1,0,-1) (13分) -2 设平面PBC与平面P4B所成角为0，cos8= cos(m.) 5x万5 所以平面PBC与平面PAB所成角的余弦值为 5 (15分) 17.【解析】(1)x的所有可能取值为0,1,2,3 (1分) P(X=0)= 1 56 P(x-1)-cid_1s C56 P(X=2)= cic 15 C28 Px=3)=C9C-3 (5分) C 28 x的分布列为 X 0 1 2 3 0 1 15 w 56 56 28 28 (6分) 800=0+1+2x (8分) 56 28 +3x5=15 288 (2)设A=“第一天打乒乓球”，B,=“第一天打羽毛球”，A=“第二天打乒乓球”，B,=“第二天 打羽毛球”则P4)4)=号P马马)}P4a)-号 (10分) 由题意得：1=Aa·P(B2|B)+(1-)P(B2|4) (11分) 故m=+号 (12分) (13分) 易知月-青士言故优一宁是以-名为前项，一吉为公比的等比数列 6 2 所以只（之(，故层+（打 (15分) 1+9=1 18.【解析】(1)由题意得a4b2 (2分) ㎡2=b2+1 解得 d=4 (4分) b2=3 故椭圆C的标准方程为 (5分) 43 (2)①设M(1为)，W(x22) x=my-1 由 +三1得：6m+4r2-6m-9=0, (6分) 4 =1 3 6m1 有△=1440m2+1)>0,且 4+-3m2+4 (7分) -9 2=7 3m2+4 所以kMkw=当，当 2 2 ,+2x2+2(0y+10(%2+1)m2yy2+y+y2)+1 -9 32+4 -9 m2.-9 6 + +1-9m2+6m2+3m2+44 3m2+43m2+4 故Mkw为定值，定值为-2 (10分) 4 ②设直线AM为y=乃，x+2),令x=-1,则y=当。，所以点P坐标为(1当). 5+2 x1+2 +21 同理点0坐标为1十曰 (12分) 根据对称性可知，如果以PQ为直径的圆过定点，那定点一定在x轴上， (13分) 设定点坐标为T《,0),则TPI0=0,即《+1》+当。。=0 (14分) x+2x2+2 由①知.。9 +2x2+24’做t+)°= (15分) 解得t=)或t=一2 5 (16分) 2 故以P口为直径的圆过定点，定点坐标为兮0)和(-多o), (17分) 19.【解析】(1)f(x)=e-m, (1分) 当m≤0时，f(x)>0,f(x)在(-0，+∞）上单调递增 (2分) 当m>0时，令f(x)=0,得x=血m 当x∈(-o,hm)时，f(x)<0,f(x)在(-o,hm)上单调递减， 当x∈(nm,+n)时，f(x)>0,f(x)在(h,+o)上单调递增. (4分) 综上，当m≤0时，f(x)在（-0，+∞)上单调递增： 当m>0时，f(x)在(-，lhm)上单调递减，在(hm,+o)上单调递增 (5分) (2)当m=1时，由(1)可知，f(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增 故fx)m=f0)=1,则f()=e-x2l,即e≥2x+1,当x=0时取等号。 (6分) 当n22时，令x=-,则e、1+1=二1，故< (7分) n-1 (8分) 2 t-1 =1 (9分) 12n-1 所以当22时，2 ++<hn 11 (10分) (3)解法1：由题意知x≥0时，e-ex≥ax3-x+2a恒成立， 令hx)=e+1-e)x-m3-2a,则h(x)≥0在[0，+o)恒成立， 故由)≥0可得as号.即当a>时，由于)=1-3a<0,显然不满足题意. (11分) 当a≤兮时，4)=心+-e-a2-2a≥e+a-er-式-号 只要证明e+0-Qr行女-号 ≥0即可. (12分) 3 令g6)=e+0-e-号>0 3 g'(x)=e+1-e)-x2 g'(x)=e-2x 由(1)知，当m=e时，fx)am=0,即e-ex≥0，故g"()=e-2x>e-cr20(14分) g《x)在(0，+n)上为增函数，又8)=0 当xe(0,)时，g'(x)<0,g(x)为减函数；当xe(L,+∞)时，g'(x)>0,g(x)为增函数. 故g(x)mm=g0)=0, (16分) 即。+0-r-式-号20恒成立综上所述，a 3 (17分) 3 解法2：由题意知x≥0时，e*-ex2ar3-x+2a恒成立， 令hx)=e+1-e)r-m3-2a,则h(x)≥0在[0，+)恒成立， 故由h)≥0可得as即当a>时，由于h=1-3a<0,显然不满足题意 (11分) 当a≤号时，h)=d+a-e-am2-2a2d+a-e- 3 只要证明。+日-水-吉-子之0即可 (12分) a-9x-}x2 令g(x)= 33+1,x>0 e [a-)-k--- -le* g(x)= (e) -+20-0-9 3x-10x2-2x-2-3Q-©刃 e -1[x-1)2+3e-2 3 (14分) e 令g'(x)=0,则x=1 当x∈(0，)时，8'(x)<0,8(x)为减函数：当xE(L,+)时，g(x)>0,g(x)为增函数 故gx)mn=g0)=0, (16分) 即e+0-式-号之0恒成立综上所述，a兮 (17分) 3 解法3：由题意知x≥0时，。-e之a3-x+2a恒成立，则-e-≥a. x3+2 令(=e-e-D ,x>0 x3+2 hx)=Le'-(e-DI@'+2)-3xTe'-(e-Dx] (x3+2)2 =。x3-3x2+2)+e-12x3-2 (x3+2)2 =-1[e'(2-2x-2)+(e-102x2+2x+2】 (x3+2)2 a-102+x+1e6-2x=2)+2e-1切 x2+x+1 (x3+2) (12分) 令g6=e6-2x-22+2e-D,x>0 x2+x+1 gW=c6-42+x+0-e2-2x-2X2x+少 (x2+x+1)2 =x-x2+2x-2=cx-10x3+2 (14分) (x2+x+1)2 (x2+x+1)2 当x∈(0，)时，g'(x)<0,g(x)为减函数：当x∈(L,+∞)时，g'(x)>0,g(x)为增函数 故g(x)mm=g()=e-2>0, (15分) 令h'(x)=0,得x=1,且当x∈(0,1)时，h(x)<0,)为减函数： 当xe1,+o)时，h'(x)>0,h(x)为增函数 (16分) 故=hk0-子从百有a兮综上所述，as兮 (17分) 龙岗区2024-2025学年第一学期高三期末质量监测 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 2．答题前，请将学校、班级、姓名和考号用规定的笔写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴在答题卡的贴条形码区.请保持条形码整洁、不污损. 3．本卷试题，考生必须在答题卡上按规定作答；凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效．答题卡必须保持清洁，不能折叠. 4．选择题每小题选出答案后，用铅笔将答题卡选择题答题区内对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；非选择题答案必须用规定的笔，按作答题目的序号，写在答题卡非选择题答题区内. 5．考试结束，请将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A 1 B. C. D. 3. 向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 在四棱锥中，平面，底面为正方形，，则四棱锥的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 点为曲线上一动点，为单位圆的一条直径的两个端点，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 8. 数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）．曲线与轴交于、两点，点为曲线上一动点，给出下列四个结论，其中错误的结论是（ ） A. 图形关于轴对称 B. 点的纵坐标的最大值为 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，8，7，9，5，则关于这组数据的结论正确的是（ ） A. 极差为4 B. 平均数为7 C. 方差为2 D. 数据的第60百分位数为7 10. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 在区间上值域为 D. 函数为偶函数 11. 已知函数（，且），下列说法正确的是（ ） A. 当时，可能存在两个零点 B. 若恒成立，则 C. 若恒成立，则的最小值为 D. 若恒成立，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 抛物线上一点到其焦点的距离为_____． 13. 已知数列满足，数列满足．若，将满足题意的所有正整数的值由小到大组成一个数列，则该数列前5项之和为_____． 14. ，是双曲线左，右焦点，点为双曲线右支上一点，，的角平分线交轴于点，若，则双曲线的离心率为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角所对的边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若的面积为，中线，求． 16. 在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 17. 为了提高学生身体素质和健康水平，确保学生每天有足够的体育锻炼时间，教育部提出阳光体育一小时活动.小路同学每天会通过打乒乓球或羽毛球来达到体育锻炼的目的.小路同学第一天选择打乒乓球的概率为，选择打羽毛球的概率为．而如果前一天选择了打乒乓球，那第二天选择打乒乓球的概率为，选择打羽毛球的概率为；如果前一天选择了打羽毛球，那第二天选择打羽毛球的概率为，选择打乒乓球的概率为，如此往复．记小路同学第天选择打羽毛球的概率为． （1）小路同学在网上看到了3款乒乓球拍和5款羽毛球拍，他想从中选择3款球拍进行进一步了解，记选中的羽毛球拍款数为，求的分布列和数学期望． （2）求； 18. 已知椭圆的左焦点为（-1，0），点为椭圆上一点，点为椭圆的左顶点． （1）求椭圆的标准方程； （2）直线与椭圆交于，两点，直线，分别与直线交于，两点． ①求证：为定值； ②以为直径的圆是否过定点，如果过定点，求出定点坐标，若不过定点，试说明理由． 19 已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）求证：当时，； （3）当，时，恒成立，求实数的取值范围． 龙岗区2024-2025学年第一学期高三期末质量监测 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 2．答题前，请将学校、班级、姓名和考号用规定的笔写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴在答题卡的贴条形码区.请保持条形码整洁、不污损. 3．本卷试题，考生必须在答题卡上按规定作答；凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效．答题卡必须保持清洁，不能折叠. 4．选择题每小题选出答案后，用铅笔将答题卡选择题答题区内对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；非选择题答案必须用规定的笔，按作答题目的序号，写在答题卡非选择题答题区内. 5．考试结束，请将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】ABC 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 【12题答案】 【答案】2 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【17题答案】 【答案】（1）分布列见解析， （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）①证明见解析；②以为直径的圆过定点，定点坐标为和． 【19题答案】 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 （3）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$