广东省深圳市龙岗区2024-2025学年高三上学期期末质量监测数学试题

龙岗区2024-2025学年第一学期高三期末 质量监测数学试题参考答案 2 3 5 8 9 10 11 B D A A B B C D ABC ABD BCD 8.【答案】D【解析】对于A,将x换成-x方程不变，所以图形关于y轴对称，故A正确： 对于B,当x>0时，方程变换为2-+y2-1=0,由4=y2-42-)≥0，解得)≤号，所以 '的最大值为2V ,故B正确； 3 对于C,当x>0时，由2+y=1+9可得2+y-1=ys+少，（当=y时取等号》. 2 x2+y2≤2，√2+y≤2故C正确： 对于D,当x<0时，由2+)2=1-y可得2+y-1=(y之-+y,(当=y时取等号， 2 了+y手P+7:5XIaf+1ar-2x+号版D指改 3 另解：有对称性可知，只需要讨论x≥0即可，此时x2+y2=1+y 变为2+写-y=1,令 2x=C0s0 (2x-x=sing 1 ,其中e-2 coso 2 x= 则 cossin y万os0-sin6=2。 故y=。 os6+s2=25 32 ≤万3（当0=取等号） 3 y=. 1oPf=2+y2-4cs20+5cos29- =sin Ocosθ+sin20 3 v3 =1+写0o2- in241 33c0s28.1 因为0e,版20+写e5,am20+9e,1oPfe1号21 3 33 1PAP+PB=X2+0y-2+2+(y+)2=22+y2+D=20oPP+D∈ 3,6] 10.【答案】ABD 11.【答案】BCD【解析】函数f()=x“-l1og。x的定义域为(0，+∞) 选项A.当0<b<1时，f'(=a-1-1=(-1)>0,故f()在(0，+m)上为单调递增函数， xInb x alnb' 由f(b)=b“-1<b-1=0,f(I)=1>0,根据零点存在性定理，f(x)在(0，+∞)上存在唯一的一个零 点故选项A错误 选项B.由选项A知，当0<b<1时，f(x)在(0，+m)上单调递增，无最小值，且f(b)<0,不合题意 故b>1.当b>1时，f)=x2-log6x,f)=a-1-1=a-1), xInb x alnb 1日 令f)=0,则-气ainb) 当x∈(0，x)时，f'(x)<0,f(x)为减函数， 当x∈(x,+n)时，f'(x)>0,f(x)为增函数， 故x=x时，f(x)有极小值，也是最小值. f(ai f(o)=o1 hx=1 (三-nxo), alnb Inb Inb a 由题意，f(x)21,又f①=1，则x= 1）a =1,可得alnb=1 alnb 所以1nb=1(b>1),则a+nb=a+1≥2.选项B正确. 选项C.由选项B知，ab=gb=b(b>1,gb= Inb-1 ,令g'(b)=0,则b=e, Inb (Inb) g(b)在(L,e)单调递减，在(e,+m)单调递增. 故gb)m-g(e)=e,即ab的最小值为e.选项C正确. 选项D.由选项B知，alnb=1,且b>1. f-r-呢-r-。-nr,由)=/)得-h=-h 令41=x,t2=3“,则t1-nt1=2-lnt2,易知t2>i1>0,故lnt2-nt1=t2-t 出对数平约不等式得所告，有不，即1 由a>0,故0<x2<1,故选项D正确. 12.【答案】2：13.【答案】453： 14.【答案】√5【解析】不妨设|PF上m,|PF2上n,m>n>0,|FF2=6, 则EEP=m2+2-m=36,|P04. P1Pinsin0mm. 1 故1PQyB-4,解得m+n=6N5,m=24,m-m=25 m+n 故 2a=m-n=25∫a=√5 2c=55F6，得 (c-3 ,双曲线的离心率e=S=3 a35. l5.【解析】(1)由题意得：csin B+√5 ccos B=√3a, (1分) 由正弦定理得：sin Csin B+V3 sinCcosB=V3sin(B+C), (2分) 所以sin Csin B+√3 sinCcosB=√3 sin BcosC+√3 cos Bsin C, 所以sin Csin B=√3 sin BcosC, (3分) 又0<B<π，得sinB>0,所以sinC=√5cosC,即tanC=5, (4分) 由0<C<元，解得c=: (6分) (2)由题意得：absinC=6N5,故ab=24, (8分) 由cD-CA+C®)得：CD2=}CA+C2-19,故a2+B2+ab=76 (10分) 故解得a2+b2=52 (11分) 由余弦定理得c2=a2+b2-ab=28 (12分) 故c=2√万 (13分) 16.【详解】(1)证明：由于底面ABCD是边长为2的正方形，则AD⊥DC, 又AD⊥PC,DC∩PC=C,DCC平面PCD,PCC平面PCD,则AD⊥平面PCD,(2分) 则AD⊥PD,又AD=2,PA=√6，则PD=√2 于是PC2+PD2=CD2,即PD⊥PC (4分) 由于ADL PD,又AD‖BC,故PD⊥BC (5分) 又PC∩BC=C,PC、BCC平面PBC,则PD⊥平面PBC (6分) (2)取CD中点为O,连结PO,取AB中点为E,连结OE. 因为PC=PD,点O是CD中点，所以PO⊥CD 又因为AD1平面PCD,故平面ABCD⊥平面PCD,又平面PCD∩平面ABCD=CD,POC平面PCD, 所以POL平面ABCD. 因为点O、E分别是CD、AB的中点，所以OEIIAD,则OE⊥CD 则OP=CD=1,OE=AD=2 (8分) 2 B 以点O为坐标原点，OD,OE,OP所在直线分别为x,y,z轴，如图建立空间直角坐标系 D-xy 则0(0,0,0，D1,0,0),C(-1,0,0),B(-1,2,0),P(0,0,1),E(0,2,0),A(1,2,0),AP=（-1,-2,1), AB=(-2,0,0),PD=(1,0,-1) (10分) 设m=（x,y,z)是平面PAB的一个法向量， 则mP=-x-2y+z=0,取y=1,则=2， m·AB=-2x=0 所以m=(0,1,2)是平面PAB的一个法向量 (12分) 由(1)知，PD1平面PBC.故平面PBC的法向量为n=PD=1,0,-1) (13分) 设平面PBC与平面AB所成角为0，cosO= m·n -2 cosm,n八 o V5x5 所以平面PBC与平面PAB所成角的余弦值为0 (15分) 17.【解析】(1)x的所有可能取值为0,1,2,3 (1分) P(X=0=C1 C56 P(X=)=C3C=15 C856 P(X=2)= CC竖_15 C28 P(X=3)= C9C35 (5分) C828 x的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 15 15 56 28 28 (6分) 00=0G+1+2 1 +3×5-15 (8分) 28 288 (2)设A=“第一天打乒乓球”，B=“第一天打羽毛球”，A=“第二天打乒乓球”，B2=“第二天 打羽毛球”则NAIA)-片PA,1A)-号NIB)-背4A)-号 (10分) 由题意得：Pn+1=Bn·P(B2B)+(1-)P(B2|A) (11分) 2 (12分) 可得-化为 (13分) 易知月号背合，故化是以君为首项，青为公比的等比数列 6 所以B(名(，故-+( (15分) ● 19=1 18.【解析】(1)由题意得 a24b2 (2分) a2=b2+1 「a2=4 解得 (4分) b2=3 故椭圆C的标准方程为 (5分) 43 (2)①设M(x,y),N(x2,y2) 「x=my-1 由 x2y2得：3m2+4y2-6m-9=0, (6分) =1 3 6m +2= 有△=144(m2+1)>0,且 3m2+4 (7分) -9 y2= 3m2+4 所以kM·kw=12 y'2 1y2 x+232+2(0y1+1y2+1)m2yy2+m(y+y2)+1 -9 3m2+4 -9 2.-9 6m +m· +1-9m2+6m2+3m2+44 3m2+4 3m2+ 故kM·kN为定值，定值为_2. (10分) 4 @设直线AM为yx+2,令x=-1,则y=),所以点P坐标为十2》 x+2 +2 同理在0坐标为l (12分) 根据对称性可知，如果以PQ为直径的圆过定点，那定点一定在x轴上. (13分) 设定点坐标为T化，0)，则T严.0=0，即+1y+12,=0 (14分) x+2x2+2 由0在2骨数0 4 (15分) 解得宁或1-月 (16分) 2 放以PQ为直径的圆过定点，定点坐标为兮0和（一0。 (17分) 19.【解析】(1)f(x)=e-m, (1分) 当m≤0时，f'(x)>0,f(x)在(-o,+∞)上单调递增 (2分) 当m>0时，令f'(x)=0,得x=l血m. 当x∈(-o,hm)时，f'(x)<0,f(x)在(-o,lnm)上单调递减， 当x∈(nm,+oo)时，f'(x)>0,f(x)在(hm,+o)上单调递增. (4分) 综上，当m≤0时，f(x)在(-o,+o)上单调递增； 当m>0时，f(x)在(-o,lnm)上单调递减，在(nm,+o)上单调递增 (5分) (2)当m=1时，由(1)可知，f(x)在(-o,0)上单调递减，在(0，+0)上单调递增 故f(w)mm=f0)=1,则f()=e-x21,即e≥x+1,当x=0时取等号. (6分) 当n≥2时，令x=-,则e上+1-n,故e< (7分) n nn n-1 (8分) n-1 =n, (9分) 12n-1 所以当n22时，2 1.1 1 +…+二<lnn, (10分) n (3)解法1：由题意知x≥0时，e-ex≥ax3-x+2a恒成立， 令h(x)=e+(1-e)x-ax3-2a,则h(x)≥0在[0，+m)恒成立， 故由h()≥0可得a≤二.即当a>时，由于h)=1-3a<0,显然不满足题意。 (11分) 3 当as时，h0-e+1-elr-ar-2a2e+0-e式-号 3 只要证明e+-e-子0即可 (12分) 3 令80-e+0-ex吉女-导>0 8')=e+1-e)-x2 8'(x)=e'-2x 由(1)知，当m=e时，f(x)min=0,即e*-ex≥0，故g"(x)=e-2x>e-ex≥0(14分) g(x)在(0，+∞)上为增函数，又g'(I)=0 当x∈(0,1)时，g'(x)<0，g(x)为减函数；当x∈(1，+o)时，g'(x)>0,g(x)为增函数. 故g()min=g()=0, (16分) 即c+0-er-式-子≥0桓成立综上所述，4 (17分) 3 3 解法2：由题意知x之0时，e-ex≥ax3-x+2a恒成立， 令h(x)=e+(1-e)x-a3-2a,则h(x)≥0在[0，+o)恒成立， 故由h)≥0可得a≤.即当a>】时，由于h(=1-3a<0,显然不满足题意. (11分) 当a≤时，h=e+0-e0-am-2a≥c+0-ex言式-子 只要证明e+0-o-子20副可 (12分) 132 1-e)x-5x- 令g(x)= -33+1,x>0 0-e)-x2e-0-er-3x 13 g'(x)= 3泡+ (e)2 女-2a-0-9 -002-2x-2-30-e1 1 e 3(x-D[x-D+3(e-2 (14分) e 令g'(x)=0,则x=1 当x∈(0,1)时，g'(x)<0,g(x)为减函数；当x∈(1，+o)时，g'(x)>0,g(x)为增函数. 故g(x)mim=8I)=0, (16分) 即e+0-er-r-子之0桓废立综上所述，a≤ .1 (17分) 31 3 解法3：由题意知x≥0时，e-ex≥m3-x+2a恒成立，则e-e-≥4. x3+2 令M=c-e-Dx,x>0. x3+2 h(x)=le-(e-DI+2)-3x[e*-(e-Dxl (x3+2)2 -e*x3-3x2+2)+(e-102x3-2) (x3+2)2 =c-l0[e(x2-2x-2)+(e-1(2x2+2x+2】 (x3+2)2 (-X+x+D-2x-2+2e-DI x2+x+1 (12分) (x3+2)2 令gW=e-2x-:2+20e-》,x>0 x2+x+1 g闭=e62-4%+x+0-e62-2x-2X2x+D (x2+x+1)2 =e(x-x3+2x-2-e(x-10x3+2) (14分) (x2+x+1)2 (x2+x+1)2 当x∈(0,1)时，8'(x)<0,8(x)为减函数：当xe(L,+o)时，g'(x)>0,g(x)为增函数。 故g(x)min=g(①)=e-2>0, (15分) 令h'(x)=0,得x=1,且当x∈(0,1)时，h'(x)<0,h(x)为减函数： 当x∈(1，+o)时，h'(x)>0,h(x)为增函数. (16分) 故风m==有从面有a≤兮家上所达，a兮 (17分) 龙岗区2024-2025学年第一学期高三期末质量监测 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 2．答题前，请将学校、班级、姓名和考号用规定的笔写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴在答题卡的贴条形码区.请保持条形码整洁、不污损. 3．本卷试题，考生必须在答题卡上按规定作答；凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效．答题卡必须保持清洁，不能折叠. 4．选择题每小题选出答案后，用铅笔将答题卡选择题答题区内对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；非选择题答案必须用规定的笔，按作答题目的序号，写在答题卡非选择题答题区内. 5．考试结束，请将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 3. 向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 在四棱锥中，平面，底面为正方形，，则四棱锥的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 点为曲线上一动点，为单位圆的一条直径的两个端点，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 8. 数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）．曲线与轴交于、两点，点为曲线上一动点，给出下列四个结论，其中错误的结论是（ ） A. 图形关于轴对称 B. 点的纵坐标的最大值为 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，8，7，9，5，则关于这组数据的结论正确的是（ ） A. 极差为4 B. 平均数为7 C. 方差为2 D. 数据的第60百分位数为7 10. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 在区间上值域为 D. 函数为偶函数 11. 已知函数（，且），下列说法正确的是（ ） A. 当时，可能存在两个零点 B. 若恒成立，则 C. 若恒成立，则的最小值为 D. 若恒成立，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 抛物线上一点到其焦点的距离为_____． 13. 已知数列满足，数列满足．若，将满足题意的所有正整数的值由小到大组成一个数列，则该数列前5项之和为_____． 14. ，是双曲线的左，右焦点，点为双曲线右支上一点，，的角平分线交轴于点，若，则双曲线的离心率为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角所对的边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若的面积为，中线，求． 16. 在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 17. 为了提高学生的身体素质和健康水平，确保学生每天有足够的体育锻炼时间，教育部提出阳光体育一小时活动.小路同学每天会通过打乒乓球或羽毛球来达到体育锻炼的目的.小路同学第一天选择打乒乓球的概率为，选择打羽毛球的概率为．而如果前一天选择了打乒乓球，那第二天选择打乒乓球的概率为，选择打羽毛球的概率为；如果前一天选择了打羽毛球，那第二天选择打羽毛球的概率为，选择打乒乓球的概率为，如此往复．记小路同学第天选择打羽毛球的概率为． （1）小路同学在网上看到了3款乒乓球拍和5款羽毛球拍，他想从中选择3款球拍进行进一步了解，记选中的羽毛球拍款数为，求的分布列和数学期望． （2）求； 18. 已知椭圆的左焦点为（-1，0），点为椭圆上一点，点为椭圆的左顶点． （1）求椭圆的标准方程； （2）直线与椭圆交于，两点，直线，分别与直线交于，两点． ①求证：为定值； ②以为直径的圆是否过定点，如果过定点，求出定点坐标，若不过定点，试说明理由． 19. 已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）求证：当时，； （3）当，时，恒成立，求实数的取值范围． 龙岗区2024-2025学年第一学期高三期末质量监测 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 2．答题前，请将学校、班级、姓名和考号用规定的笔写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴在答题卡的贴条形码区.请保持条形码整洁、不污损. 3．本卷试题，考生必须在答题卡上按规定作答；凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效．答题卡必须保持清洁，不能折叠. 4．选择题每小题选出答案后，用铅笔将答题卡选择题答题区内对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；非选择题答案必须用规定的笔，按作答题目的序号，写在答题卡非选择题答题区内. 5．考试结束，请将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】ABC 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 【12题答案】 【答案】2 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）由于底面是边长为2的正方形，则， 又，，平面平面，则平面， 则，又，，则， 于是，即， 由于，又，故， 又，、平面，则平面； （2） 【17题答案】 【答案】（1） 0 1 2 3 （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）①设，， 由得：， 有，且， 所以 ， 故为定值，定值为． ②以为直径的圆过定点，定点坐标为和． 【19题答案】 【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增． （2） 当时，由（1）可知，在上单调递减，在上单调递增， 故，则，即，当时取等号， 当时，令，则，则， 则，，，， 所以， 所以当时，． （3）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $