精品解析：湖南省长沙市师大附中集团2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷

八年级第二次质量调研检测暨期末考试 数学试题 注意事项： 1．答题前，请先将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚； 2．必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示； 4．请注意卷面，保持字体工整、笔迹清晰、卷面清洁； 5．答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本试卷时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 已知点，点关于轴对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形的变化—轴对称，解题的关键是掌握关于轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数．据此解答即可． 【详解】解：点关于轴对称点的坐标是． 故选：C． 2. 2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心发射升空，约10分钟后，神舟十九号载人飞船与火箭分离成功，进入预定轨道，发射取得圆满成功！下列是同学们设计的神舟20号飞船简笔画，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故A不符合题意； B．是轴对称图形，故B符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：B． 3. 近年来我国芯片技术突飞猛进，在这领域常使用长度单位纳米（1纳米毫米），将数据“5纳米”用科学记数法表示为（ ） A. 毫米 B. 毫米 C. 毫米 D. 毫米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：5纳米毫米毫米， 故选：C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，完全平方公式的应用，掌握同底数幂的除法法则，合并同类项法则，幂的乘方的法则，完全平方公式是解决问题的关键．利用同底数幂的除法法则，完全平方公式，幂的乘方的法则，合并同类项法则，对每个选项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A.，则A不符合题意； B.，则B不符合题意； C.，则C符合题意； D.，不是同类项，无法合并，则D不符合题意； 故选：C． 5. 下列与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，二次根式的化简，正确理解同类二次根式的定义是解答本题的关键．把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式的定义，即可判断答案． 【详解】选项A，，与不是同类二次根式，不符合题意； 选项B，，与是同类二次根式，符合题意； 选项C，与的被开方数不相同，不是同类二次根式，不符合题意； 选项D， 与的被开方数不相同，不是同类二次根式，不符合题意； 故选B． 6. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分母有理化，正确计算是解题的关键．将分子分母同时乘以，将分母有理化，即可得到答案． 【详解】解：， 故选：C． 7. 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若的周长为12，，则的长是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出．由线段垂直平分线的性质推出，得到的周长，即可求出的长． 【详解】解：垂直平分， ， 的周长， ， ． 故选：A． 8. 设，，则M与N的关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式、整式的加减．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项，掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键．由于，，可以通过比较M与N的差得出结果． 【详解】解：∵，， ， ∴． 故选：A． 9. 如图所示，折叠矩形的一边，使点D落在边上点F处，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、折叠性质、勾股定理，熟练掌握折叠性质和勾股定理求解是解答的关键． 设，由折叠性质得到，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵折叠， ∴，， 在中， ， ∴， 设 在中，， ∴，解得， 故选：A． 10. 若的值为整数，则符合要求的整数x的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简，解题的关键需要分离常数，转化思考． 先将分式分离常数得到，再将问题转化为为整数的问题求解． 【详解】解：， ∵的值为整数，为整数， ∴为整数， ∴或， ∴或2或5或1， 故选：D． 二、填空题（共6题，每小题3分，共18分） 11. 若，，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查的是同底数幂的乘法逆用，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法的逆运算解答即可； 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：6． 12. 将因式分解后的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 计算______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方混合运算，负整数指数幂运算，根据积的乘方和单项式乘单项式运算法则，负整数指数幂运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 14. 如图，平分，，，于点，，则的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，平行线的性质，过作于点，则，由角平分线的性质得，，又得，最后由角所对的直角边等于斜边的一半即可求解，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于点，则， ∴平分，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 15. 如图，在中，是斜边上的高，如果，，那么______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形面积的计算，根据勾股定理求出，根据等积法求出的值，最后根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：在中，根据勾股定理得 ， ， ， ∵是斜边上的高， ∴， ∴． 故答案为：1． 16. 若关于x的分式方程无解，则a的值为______． 【答案】或1 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的无解，根据分式方程无解分分式方程有增根和化简后的一元一次方程无解两种情况讨论是解答此题的关键．先将分式方程化简为整式方程，然后分分式方程有增根和化简后的一元一次方程无解两种情况讨论求解即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘以得，， ， ∵原分式方程有无解， ∴或， 当，解得． ∴， 解得． 当时，． 故答案为：或1． 三、解答题（共9题，其中17、18、19题6分，20、21题8分，22、23题9分，24、25题10分，共72分） 17. 计算． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的化简，负整数指数幂和零指数幂． 分别计算零指数幂和零指数幂、化简二次根式，再去绝对值，最后再进行加减计算． 【详解】解： = 18. 先化简再求值：，其中，且x为整数． 【答案】；2 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，分式有意义条件，根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ， ∵，，， ∴，0， ∴把代入得：原式． 19. 已知：如图，P、Q是边上两点，且. 求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形三线合一的性质，过点A作于O，根据等腰三角形的性质可得，根据等式的性质，可得答案． 【详解】解：过点A作于O． ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 20. 已知． （1）当x取何值时，该分式无意义？ （2）当x取何值时，y的值是0？ （3）当x取何值时，y的值是负数？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查的是分式的值，熟练掌握分式无意义的条件，分式值为零的条件，以及分式为负数的条件是解题关键． （1）根据分式无意义的条件，分母为0求解即可； （2）根据分式值为0条件：分子为0，分母不为0求解即可； （3）先判断分子非负，则问题转化为分母小于0求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， 解得： ∴当时，分式无意义； 【小问2详解】 解：由题意得， 则，， ∴； 【小问3详解】 解：由题意得，， ∵， ∴，， 解得：． 21. 在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上（小正方形的顶点称为格点），请解答下列问题． （1）画出关于y轴对称的； （2）在x轴上存在点P，使得最小，在图中画出点P的位置； （3）在（2）的条件下求出此时的周长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查轴对称作图，轴对称的性质，两点间的距离公式，掌握轴对称作图与性质是解题的关键． （1）先作出点A、B、C关于y轴的对称点，然后顺次连接即可； （2）作点B关于x轴的对称点，连接与x轴交点P即为所求，因为，由两点之间线段最短即可求解； （3）的周长转化为，再根据两点间距离公式求解． 【小问1详解】 解：如图，即所求： 【小问2详解】 解：如图，点P即为所求； 【小问3详解】 解：由题意得，周长为， 由题意得，， ∴，， ∴周长为． 22. 求解下列问题： （1）若，求的值； （2）若，求的值； （3）求代数式的最小值，并求出此时a，b的值． 【答案】（1）34 （2）1 （3）最小值为，此时 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，负整数指数幂，完全平方式的非负性，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用完全平方公式和负整数指数幂的知识进行化简即可； （2）先得到，则，那么； （3）先配方成，再利用完全平方式的非负性求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ， ∴， ∴． 【小问3详解】 解： ， ∵， ∴，当且仅当时取得最小值， 故代数式最小值为，此时． 23. 湖南师大附中团委组织八年级部分同学到长沙县“慢天使”之家给脑瘫儿童送新春慰问．在准备礼品时发现，购买一件甲礼品的费用是购买乙礼品的1.5倍，并且花费600元购买甲礼品比花费600元购买乙礼品的数量少4件． （1）求甲、乙两种礼品的单价各为多少元？ （2）学校准备购买30件礼品送给“慢天使”们，正逢商店新年促销，甲礼品打八折，乙礼品打九折，要求购买礼品的总费用不超过1500元，那么最多购买多少件甲礼品？ 【答案】（1）甲礼品的单价为75元，乙礼品的单价为50元 （2）最多购买10件甲礼品 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设乙礼品的单价为元，则甲礼品的单价为元，分别表示数量，根据费600元购买甲礼品比花费600元购买乙礼品的数量少4件建立方程，求解即可； （2）设购买件甲礼品，则购买件乙礼品，分别表示甲乙礼品折扣后的费用，再根据费用和不超过1500元建立不等式求解． 【小问1详解】 解：设乙礼品的单价为元，则甲礼品的单价为元， 由题意得，， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴甲礼品的单价为：元， 答：甲礼品的单价为75元，乙礼品的单价为50元； 【小问2详解】 解：设购买件甲礼品，则购买件乙礼品， 由题意得，， 解得：， 答：最多购买10件甲礼品． 24. 由，得；如果a，b是两个正数，即，，则有下面不等式：，当且仅当时取到等号． 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： （1）当，式子的最小值为______； （2）已知，当x多大时，分式有最大值，最大值为多少？ （3）如图，四边形的对角线于点O，，，的面积为，的面积为，当最大时，求四边形的面积． 【答案】（1）8 （2）当时，有最大值 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意即，，则有不等式，当且仅当时取到等号，即可得出答案； （2），令，，则由，得，得出当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为，说明当时，有最大值，且最大值为； （3）四边形的对角线于点O，得出，，，，根据题意得出当，时，有最大值，求出此时，，即可得出结论． 【小问1详解】 解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为8． 【小问2详解】 解：， ∵， ∴，， 令，，则由，得， ∴当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为， ∴当时，有最大值，且最大值为， 即当时，有最大值． 【小问3详解】 解：∵四边形的对角线于点O， ∴，， ， ， 根据题意得：，， ∴，，当且仅当，时，等号成立， ∴当，时，有最大值， ∵，， ∴此时，， ∴，， ∴此时 ． 【点睛】本题主要考查了分式化简求值，勾股定理应用，三角形面积计算，基本不等式的应用，解题关键是运用题中，，，则有下面的不等式： ，当且仅当时取到等号． 25. 如图，在平面直角坐标系xOy中，A(a，0)，B(0，b)，C（-a，0），且+b2-4b+4=0． (1)求证：∠ABC=90°； (2)∠ABO的平分线交x轴于点D，求D点的坐标． (3)如图，在线段AB上有两动点M、N满足∠MON=45°，求证：BM2+AN2=MN2． 【答案】（1）证明见解析（2）（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b的值，根据直角三角形的判定定理证明； （2）过D作DE⊥AB于E，由于BD是∠ABO的角平分线，根据角平分线的性质知DO=DE，即可证得OD=DE，根据三角形的面积公式计算即可； （3）把△OBM绕点O顺时针旋转90°，则旋转后B点与A点重合，点M对应点E，连结NE，由于∠MON=45°，那么∠EON=∠MON=45°，即可证得△MON≌△EON，MN=NE；同理可通过证△MON≌△EON，来得到BM=AN，∠OAE=∠OBM=45°，因此在Rt△NAE中，根据勾股定理即可证明． 【详解】（1）证明：由得 ， ∴， ∴， ∴A、B、C的坐标是A（2，0），B（0，2），C（－2，0）， ∴AB=，BC=，AC=4， ∴AC2=AB2+BC2， ∴∠ABC=90°． (2)过点D作DE⊥AB于E， ∵BD平分∠ABO， ∴OD=DE， 设OD=x， ∵ 解得,， ∴D点坐标是； （3）证明：把△OBM绕点O顺时针旋转90°，则旋转后B点与A点重合，点M对应点E（如图），连结NE ∴∠NAE=90°， 又∠MON=45°， ∴∠NOE=45°， 在△MON和△EON中， ， ∴△OMN≌△OEN（SAS）， ∴MN=NE， 在△MOB和△EOA中， ， ∴△MOB≌△EOA， BM=AE， ∴在Rt△NAE中 NE2=AN2+AE2， ∴MN2=AN2+BM2． 【点睛】属于三角形综合题，考查，非负数的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定与性质等，综合性比较强. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级第二次质量调研检测暨期末考试 数学试题 注意事项： 1．答题前，请先将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚； 2．必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示； 4．请注意卷面，保持字体工整、笔迹清晰、卷面清洁； 5．答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本试卷时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 已知点，点关于轴对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心发射升空，约10分钟后，神舟十九号载人飞船与火箭分离成功，进入预定轨道，发射取得圆满成功！下列是同学们设计的神舟20号飞船简笔画，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 近年来我国芯片技术突飞猛进，在这领域常使用长度单位纳米（1纳米毫米），将数据“5纳米”用科学记数法表示（ ） A 毫米 B. 毫米 C. 毫米 D. 毫米 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 6. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若的周长为12，，则的长是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 8. 设，，则M与N的关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 9. 如图所示，折叠矩形一边，使点D落在边上点F处，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 5 10. 若的值为整数，则符合要求的整数x的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共6题，每小题3分，共18分） 11. 若，，则______． 12. 将因式分解后的结果为______． 13. 计算______． 14. 如图，平分，，，于点，，则的长为______． 15. 如图，在中，是斜边上的高，如果，，那么______． 16. 若关于x的分式方程无解，则a的值为______． 三、解答题（共9题，其中17、18、19题6分，20、21题8分，22、23题9分，24、25题10分，共72分） 17. 计算． 18. 先化简再求值：，其中，且x为整数． 19. 已知：如图，P、Q是边上两点，且. 求证：． 20 已知． （1）当x取何值时，该分式无意义？ （2）当x取何值时，y的值是0？ （3）当x取何值时，y的值是负数？ 21. 在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上（小正方形的顶点称为格点），请解答下列问题． （1）画出关于y轴对称的； （2）在x轴上存在点P，使得最小，在图中画出点P的位置； （3）在（2）的条件下求出此时的周长． 22. 求解下列问题： （1）若，求的值； （2）若，求的值； （3）求代数式的最小值，并求出此时a，b的值． 23. 湖南师大附中团委组织八年级部分同学到长沙县“慢天使”之家给脑瘫儿童送新春慰问．在准备礼品时发现，购买一件甲礼品的费用是购买乙礼品的1.5倍，并且花费600元购买甲礼品比花费600元购买乙礼品的数量少4件． （1）求甲、乙两种礼品的单价各为多少元？ （2）学校准备购买30件礼品送给“慢天使”们，正逢商店新年促销，甲礼品打八折，乙礼品打九折，要求购买礼品的总费用不超过1500元，那么最多购买多少件甲礼品？ 24. 由，得；如果a，b是两个正数，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号． 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： （1）当，式子的最小值为______； （2）已知，当x多大时，分式有最大值，最大值为多少？ （3）如图，四边形的对角线于点O，，，的面积为，的面积为，当最大时，求四边形的面积． 25. 如图，在平面直角坐标系xOy中，A(a，0)，B(0，b)，C（-a，0），且+b2-4b+4=0． (1)求证：∠ABC=90°； (2)∠ABO平分线交x轴于点D，求D点的坐标． (3)如图，在线段AB上有两动点M、N满足∠MON=45°，求证：BM2+AN2=MN2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$