精品解析：浙江省宁波市九校2024-2025学年高一上学期期末联考数学试题

宁波市2024学年第一学期期末九校联考高一数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 选择题部分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 已知函数，则的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. “函数在上单调”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 6. 若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 7. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则在上的最大值为（ ） A. B. C. 5 D. 6 8. 已知函数（，），为的零点，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 18 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对部分得分. 9. 下列命题中正确的是（ ） A. ， B. ， C ， D. ， 10. 设函数，则（ ） A. 是周期函数 B. 图象有对称中心 C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上单调递减 11. 已知函数，若关于x的方程有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为，，，，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的周长为，圆心角为，则扇形的面积为__________. 13. 设矩形（）的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则的最大面积是__________. 14. 已知，若对于任意的，恒成立，则a的取值范围是______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：； （2）已知，，求的值.. 16. 已知， （1）若，求； （2）若，则求实数m的取值范围. 17. 已知函数（），且. （1）求的值及的单调递增区间； （2）若将的图象向左平移个单位，再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则求不等式的解集 18. 已知函数，，，； （1）当时，求函数的值域； （2）当时，恒成立，求的取值范围； （3）若存在，使得不等式对任意，恒成立，求的取值范围. 19. 和都是定义在上的函数，若它们满足如下性质：①为奇函数，为偶函数；②（，）；则称为类正弦函数，为类余弦函数. （1）求类正弦函数和类余弦函数的解析式； （2）求证： （ⅰ）； （ⅱ）； （3）解关于不等式：，其中为非零常数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 宁波市2024学年第一学期期末九校联考高一数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 选择题部分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两集合中元素的特征，判断集合中的任意一个元素都是集合中的元素，从而可得答案. 【详解】集合中的元素是所有奇数， 集合中的元素是所有被4整除余1的数， 因为任意一个被4整除余1的数都是奇数， 即集合中的任意一个元素都是集合中的元素，所以，， A选项错误，D选项正确； 且，C选项错误； ，B选项错误. 故选：D. 2. 已知函数，则的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用零点存在性定理判断各区间端点处的符号即可得出结论. 【详解】易知函数在上单调递增， 易知， ， 满足，因此的零点所在区间为. 故选：C 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正切函数的定义域，利用整体思想，建立不等式，可得答案. 【详解】因为，所以. 则函数的定义域为 故选：A. 4. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】通过举反例可排除A，B，C；利用作差法可推得D正确. 【详解】对于A，因，取，则，有，故A是假命题； 对于B，当时，，故B是假命题； 对于C，取，，满足，但，故C是假命题； 对于D，由，由，所以，故D是真命题. 故选：D. 5. “函数在上单调”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合复合函数的单调性，求出在上单调时的范围，结合选项找出该范围的一个充分不必要条件，即得答案. 【详解】因为函数在不可能单调递减， 所以在上单调等价于： ①在上单调递增，②， 所以，解得， 结合选项可知是的充分不必要条件， 故选：B. 6. 若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式恒成立，确定，且，再由基本不等式即可求解． 【详解】不等式可化为， 当时，不等式为，不满足对任意的恒成立； 当时，，图象开口向下，不满足题意， 所以，且，所以， 所以，且，； 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为4． 故选：C 7. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则在上的最大值为（ ） A. B. C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据得，利用奇函数定义求出时，，再由单调性求解最大值即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，解得， 则当时，， 若时，则，， 所以， 由和在R上单调递减，知在上单调递减， 故当时，所以. 故选：B 8. 已知函数（，），为的零点，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点和对称轴列式求得，根据单调区间得，根据正弦函数性质依次判断和，即可得解. 【详解】由题意知，，所以，又因为，所以. 当时，，因为，所以，此时， 经检验，在上不单调，舍去； 当时，，因为，所以，此时， 经检验，在上单调递减. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对部分得分. 9. 下列命题中正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】AC 【解析】 【分析】在同一坐标系中画出和的图象，即可判断AB；再由同一坐标系中和的图象，可判断CD. 【详解】在同一坐标系中画出和的图象，如下图所示： 显然对于，图象在上方，即，，即A正确； 当时，图象在下方，即，因此B错误； 在同一坐标系中画出和的图象，如下图所示： 由图可知，时的图象在的下方，即，，可得C正确； 当时，的图象在的上方，所以，即D错误. 故选：AC 10. 设函数，则（ ） A. 是周期函数 B. 的图象有对称中心 C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上单调递减 【答案】ABD 【解析】 【分析】化简函数解析式，根据周期函数的定义判断A，根据对称性的定义判断BC，结合余弦函数单调性判断D. 【详解】函数的定义域为， 又， 所以， 所以， 所以， 所以，其中， 所以， 所以函数为周期函数，A正确； 因为， 所以函数的图象关于点中心对称，B正确； 因为，， 即当时不成立， 所以的图象不关于直线对称，C错误； 因为函数在上单调递减，且 时，， 所以在上单调递增， 所以，在上单调递减， 即区间上单调递减，D正确； 故选：ABD. 11. 已知函数，若关于x的方程有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，探求出函数的性质，作出函数图象，令，,利用 二次函数根与系数的关系解决即可. 【详解】令，则， 当时，，在单调递减，， 在单调递增，； 当时，，在单调递减，， 在单调递增，，作出的图象如下： 若关于x的方程有四个不同的实数解，结合图像可知，在只有一个解， 记， ①当有两个零点时，则一个零点为负数，另一个零点在， 由题意，有，解得； ②当有且仅有一个零点时，，即或时，需要才行，无解， 所以综上①②，a的取值范围是，故D正确. 因为，由得，所以，故B正确； 又，根据韦达定理可知中， ，， 所以，故C错误，A正确. 故选：ABD 【点睛】思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，等价转化为直线与函数图象交点个数，数形结合推理作答. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的周长为，圆心角为，则扇形的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设扇形半径为，由条件结合弧长公式求，再由扇形面积公式求结论. 【详解】设扇形半径为， 则，解得， 所以 故答案为：. 13. 设矩形（）的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则的最大面积是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意设，用表示，以及面积，结合基本不等式即可求得结果 【详解】由题意可知，矩形的周长为， 设，则， 设，则，,故， 而为直角三角形， ∴， ∴，∴， ∴ . 当且仅当，即时，此时，满足， 即时，的面积取最大值，最大值为. 故答案：. 14. 已知，若对于任意的，恒成立，则a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据偶函数定义得是偶函数，再根据复合函数的单调性可知，在上单调递增，从而利用单调性将不等式转化为，根据和分别求解a的范围，最后求交集即可. 【详解】对于函数，因为， 所以恒成立，其定义域为R， 又， 且， 所以为R上的偶函数. 由复合函数的单调性可知，在上单调递增， 所以等价于，即，即. 当时，恒成立，所以； 当时，恒成立，所以. 综上，. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：； （2）已知，，求的值.. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算性质及对数的运算性质化简计算即可； （2）解方程求，再利用平方关系及商的关系将所求式子转化为关于的式子，代入的值可得结论.. 【详解】（1）因为，， ，， 所以原式； （2）因为，所以或， 又，所以， 原式. 16. 已知， （1）若，求； （2）若，则求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式化简，利用集合补集和并集定义计算即可； （2）由知，利用集合间关系求的范围. 【小问1详解】 ， 当时，， ，， . 【小问2详解】 ∵，∴. 当时，，； 当时，即，即. ∴. 17. 已知函数（），且. （1）求的值及的单调递增区间； （2）若将的图象向左平移个单位，再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则求不等式的解集 【答案】（1），，. （2）， 【解析】 【分析】（1）将函数解析式整理，由根据的范围，求出，得到，结合正弦函数的递增区间，列出不等式求解，即可求出的单调递增区间； （2）根据题中条件，得到变换后的函数解析式，将所求不等式化为，求解，即可得出结果. 【小问1详解】 ， 因为， 所以，， 又因为，所以，则， 令，，得，， 所以的单调递增区间为，. 【小问2详解】 由（1）知， 将的图象向左平移个单位，可得的图象， 再将其图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），可得的图象， 所以 因为，所以，解得， 所以的解集为，. 18. 已知函数，，，； （1）当时，求函数的值域； （2）当时，恒成立，求的取值范围； （3）若存在，使得不等式对任意，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先求出的取值范围，再对勾函数的单调性求出函数的值域； （2）令，依题意可得在上恒成立，结合函数的单调性求出，即可得解； （3）依题意可得对任意，恒成立，即，令，，分、、、四种情况讨论，分别求出的最值，从而得到不等式，即可求出参数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，且在上单调递增， 又在上单调递减，在上单调递增， 故在上单调递减，在上单调递增， 因为，，， 所以 【小问2详解】 令，因为，所以， 依题意可得在上恒成立， 即在上恒成立， 又函数在上单调递增， 所以当时， 所以. 【小问3详解】 由（1）知，在上的最大值为， 所以对任意，恒成立，即， 令，， ①，即时，在上单调递增， 所以， 所以，所以； ②，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，所以； ③，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，所以； ④，即时，在上单调递减， 所以， 所以，所以 综上可得，的取值范围为. 19. 和都是定义在上的函数，若它们满足如下性质：①为奇函数，为偶函数；②（，）；则称为类正弦函数，为类余弦函数. （1）求类正弦函数和类余弦函数的解析式； （2）求证： （ⅰ）； （ⅱ）； （3）解关于的不等式：，其中为非零常数. 【答案】（1）， （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性和得到，联立求出答案； （2）（ⅰ）由（1）所得解析式，求，即可证明； （ⅱ）根据函数的解析式求，，由此证明结论； （3）令，原不等式可化为，分别在条件，，，，条件下，结合指数函数单调性求解不等式可得结论， 【小问1详解】 由性质②知，所以， 由性质①知，，所以， 解得， 【小问2详解】 （ⅰ）证明：因为，， 所以 （ⅱ）证明：因为，， 所以， 【小问3详解】 由（2）知，原式等价于， 令 则原式等价于，， 当时， ①时，无解； ②时，，又，所以， 即， 解得， 所以解集为； ③时，，无解； ④时，，无解； ⑤时，，又，所以，即， 解得， 所以解集为. 综上，若，则 当或时，无解； 当时，解集为； 当时，解集为. 同理可得若时， 当或时，无解； 当时，解集； 当时，解集为. 【点睛】关键点点睛：本题第三小问解决的关键在于根据不等式的结构特点通过换元将其转化为二次不等式问题求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$