精品解析：上海市崇明区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题（一模）

2024 学年第一学期期末学业质量调研 九年级数学 （满分150分，完卷时间100分钟） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 如果斜坡的坡度，那么斜坡的坡角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度坡角的定义及求解方法是解题的关键．根据坡角的正切值为坡度求解即可． 【详解】解：设坡角为，则， ∴， 故选：B． 2. 在锐角中，如果各边长都缩小为原来的，那么的正弦值（ ） A. 扩大为原来的2倍 B. 缩小为原来的 C. 大小不变 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据锐角三角函数的定义，即可得到答案． 【详解】解：在锐角中，每个边都缩小为原来的，那么每个角的大小都不变， ∴的正弦值不变， 故选：C ． 3. 如果抛物线的顶点是它的最高点，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质．根据抛物线的顶点是它的最高点得到抛物线开口向下，则，即可求出的取值范围． 【详解】解：∵抛物线的顶点是它的最高点， ∴抛物线开口向下， ∴， ∴， 故选：D 4. 已知直线上三点，且，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平面向量．画出图形，由题意得到与方向相同，且，即是的中点，根据图形进行判断即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴与方向相同，且，即是的中点， ∴，，，， 综上可知，只有正确， 故选：D． 5. 如图，在三角形纸片中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题关键． 根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可． 【详解】解：在三角形纸片中，，，． A．因为，则，又由，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似，故此选项符合题意； B．因为 ，，，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意； C．因为 ，，即：，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意； D、因为 ，， ，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意； 故选：A． 6. 二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④当时，． 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．根据图象与轴交点在轴正半轴，可得，故①正确；根据图象可得二次函数的对称轴为，由于对称轴为，即可判断②正确；当时，，即可判断③，当时，图象位于轴上方，即当，所对应的，故④正确． 【详解】解：① 当时，，根据图象可知，二次函数的图象与轴交点在轴正半轴，即，故①正确，符合题意； ②根据图象可知，二次函数的对称轴是直线，即，故②正确，符合题意； ③由图象可知，当时，，故③错误，不符合题意； ④根据图象可知，当时，图象位于轴上方，即当，所对应，故④正确，符合题意； 综上所述，①②④结论正确，符合题意． 故选：B． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 如果，那么的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，根据比例的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：2． 8. 计算：______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面向量的加减法则，解题的关键是熟练掌握平面向量的加减法则，注意平面向量的加减适合加法交换律以及结合律，适合去括号法则．根据平面向量的加法法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 9. 如果将抛物线向左平移3个单位，那么所得抛物线的表达式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．根据抛物线的平移规律：“左加右减”的法则即可得出结论． 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是，即， 故答案为：． 10. 已知与单位向量方向相反，且长度为5，那么______．（用含向量式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面向量，涉及相反向量，向量的模．根据长度为5，得到，再根据与单位向量方向相反即可求解． 【详解】解：∵与单位向量方向相反，且长度为5， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 如果线段的长为2，点是线段的黄金分割点，那么较短的线段______． 【答案】 【解析】 【分析】设较短的线段，则，根据黄金分割点的性质列方程并求解，即可得到答案． 【详解】设较短的线段 ∵的长为2 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴或（经检验均为方程根） ，故舍去 ∵ ∴ ∴较短的线段 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金分割点、分式方程、一元二次方程、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握黄金分割点、分式方程、一元二次方程、二次根式的性质，从而完成求解． 12. 若两个相似三角形的相似比是1：2，则它们的面积比是______． 【答案】1:4 【解析】 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比即可求得. 【详解】∵两相似三角形的相似比为1：2， ∴它们的面积比是1：4， 故答案：1：4. 【点睛】本题考查了相似三角形的面积的比等于相似比的平方的性质，熟记性质是解题的关键. 13. 如图，，，，那么的长等于______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例定理得到，求出，即可求出的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 14. 点分别在的边上，如果，那么______时，． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据相似三角形的判定和性质、平行线的判定解答即可． 【详解】解：当，， ， ， 若,可推导出, , , , , 故答案为： ． 15. 已知点、都在抛物线的图像上，那么与的大小关系是______．（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上的点满足其解析式． 先根据二次函数图象上点的坐标特征，分别计算出自变量为和时的函数值，再比较大小即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 16. 如图，长方形边在的边上，顶点D、G分别在、上．已知的边长，高为，且长方形的长是宽的2倍，那么的长度是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题重点考查矩形的性质、两条平行线之间的距离处处相等、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 设交于点I，由矩形的边在的边上，顶点D、G分别在、上，得，则，由矩形的长是宽的2倍，得，由是的高，得，，则，由，得，而，，所以，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点I， 矩形的边在的边上，顶点D、G分别在、上， ， ， 矩形的长是宽的2倍， ， 是的高， ， ， ， ， ，，， ， ， ，， ， 解得， 的长度是， 故答案为：． 17. 如图，在中，点是重心，过点作，交于点，连接，如果，那么______． 【答案】18 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的重心，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．连接并延长交于点E，连接并延长交于点H，由重心的性质得，根据中线的性质可得，证明得，设，代入可求出，进而可求出． 利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：如图，连接并延长交于点E，连接并延长交于点H， ∵点是重心， ∴是中线，， ∴，，． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 则， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：18． 18. 四边形中，，，，，，将沿过点的一条直线折叠，点的对称点落在四边形的对角线上，折痕交边于点（点不与点重合），那么长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，分点的对称点落在对角线上和落在对角线上两种情况，分别画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：如图，当点的对称点落在对角线上时， 由折叠可得，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴； 如图，当点的对称点落在对角线上时，设与相交于点， 由折叠可得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； 综上，长为或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值的混合运算．代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的混合运算即可． 【详解】解： ． 20. 已知抛物线的顶点为，与轴相交于点． （1）求点、的坐标； （2）将该二次函数图像向上平移，使平移后所得图像经过坐标原点，与轴的另一个交点为，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）先利用配方法求出顶点的坐标，再令求出的值，即可得到点的坐标； （2）设平移后抛物线的解析式为，求出的值，即可得到点的坐标，得到，计算即可得到答案． 【小问1详解】 解： 顶点坐标为 令，则， ； 【小问2详解】 解：设平移后得解析式 把代入得, ， 当时，, 另一个交点， , ， ， 在中，, ． 21. 如图，四边形中，，与相交于点，，，． （1）求长； （2）设，，试用、表示． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质和向量的知识，掌握了以上知识是解题的关键； （1）利用已知条件证出，再得出，然后代入计算即可求解． （2）先求得，再根据，然后即可求解； 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又∵与同向， ∴， ∵， ∴； 22. 九年级数学活动小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面的中点处竖直上升米到达处，测得实验楼顶部的俯角为，综合楼顶部的俯角为，已知实验楼高度为米，且图中点在同一平面内，求综合楼的高度． （参考数据：；，精确到米．） 【答案】约为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，作，垂足为，由题意可得，，米，， 米，即得，分别解和，求出、即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：作，垂足为，则， 由题意可知：，，米，， 米， ∴米， 在中，， 米 ， ， 在中，， 米， 米， 答：综合楼的高度约为米． 23. 如图，在中，是边上的中线，点在上（不与重合），连接、，并延长交于点． （1）求证：； （2）当时，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等角对等边： （1）先证明得到，再由三角形中线的定义得到，据此可证明结论； （2）先由相似三角形的性质得到，再证明，得到，导角证明，得到，则可证明． 【小问1详解】 证明：∵， ， ， 又是边上中线， ， ， 又， ； 【小问2详解】 证明：， ， ， 又， ， ， 又， ， ， ， ． 24. 已知在直角坐标平面中，抛物线经过点三点． （1）求该抛物线的表达式： （2）点是抛物线上在第一象限内的动点，点的横坐标为 ①如果是以为斜边的直角三角形，求的值； ②在轴正半轴上存在点，当线段绕点逆时针方向旋转时，恰好与抛物线上的点重合，此时点的横坐标为，求的值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由抛物线经过点，，，再建立方程组解题即可； （2）①作轴，垂足为．由题意可得，证明 ，再建立方程求解即可；②作轴于，轴于，证明，可得，设，再进一步解答即可. 【小问1详解】 解： 抛物线经过点，，， ，解方程组得： 抛物线的表达式为： 【小问2详解】 解：①作轴，垂足为． 点在抛物线的图象上，横坐标为， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得，经检验符合题意； ②作轴于，轴于， ， ， ， 又 ， ， ， 设， 由， ， ， ， 整理得：， ， . 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，利用待定系数法求解二次函数的解析式，旋转的性质，锐角三角函数的应用，作出符合题意的图形是解本题的关键. 25. 已知中，，，，，垂足为，点是线段上一点（不与、重合），过点作交的延长线于点与交于点，连接． （1）求证：； （2）当时，求的长； （3）当是等腰三角形时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，，证明即可求证； （2）根据题意可得，则有，由，得到，如图所示，作，垂足是，由勾股定理、三角函数的计算得到，在中，，则有，得到，再根据，即可求解； （3）根据等腰三角形的判定和性质分类讨论：第一种情况：当时，可证平分，根据角平分线的性质，锐角三角函数即的计算可解得；第二种情况：当时，可得，则，即，即可求解；第三种情况：当时，结合（2）的计算即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ， 即； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ， 如图所示，作，垂足是， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ，即， ； 【小问3详解】 解：若是等腰三角形，那么或或， 第一种情况：当时， ， ， 又， ， ，即 ， ， ∵， ∴， ∴， ， 在中，， ，即 第二种情况：当时 ， ， ， ，即， ； 第三种情况：当时， ， ， 又， ， ， ， 由（2）可知，在中，， ， ， ，即； 综上所述，或或． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的性质，锐角三角函数的计算，掌握相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的计算方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024 学年第一学期期末学业质量调研 九年级数学 （满分150分，完卷时间100分钟） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 如果斜坡的坡度，那么斜坡的坡角等于（ ） A. B. C. D. 2. 在锐角中，如果各边长都缩小为原来的，那么的正弦值（ ） A. 扩大为原来的2倍 B. 缩小为原来的 C 大小不变 D. 不能确定 3. 如果抛物线顶点是它的最高点，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线上三点，且，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在三角形纸片中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④当时，． 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 如果，那么的值为______． 8. 计算：______ 9. 如果将抛物线向左平移3个单位，那么所得抛物线的表达式是______． 10. 已知与单位向量方向相反，且长度为5，那么______．（用含向量式子表示） 11. 如果线段的长为2，点是线段的黄金分割点，那么较短的线段______． 12. 若两个相似三角形的相似比是1：2，则它们的面积比是______． 13. 如图，，，，那么的长等于______． 14. 点分别在的边上，如果，那么______时，． 15. 已知点、都在抛物线的图像上，那么与的大小关系是______．（填“”、“”或“”） 16. 如图，长方形的边在的边上，顶点D、G分别在、上．已知的边长，高为，且长方形的长是宽的2倍，那么的长度是________． 17. 如图，在中，点是重心，过点作，交于点，连接，如果，那么______． 18. 四边形中，，，，，，将沿过点的一条直线折叠，点的对称点落在四边形的对角线上，折痕交边于点（点不与点重合），那么长为______． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 20. 已知抛物线的顶点为，与轴相交于点． （1）求点、的坐标； （2）将该二次函数图像向上平移，使平移后所得图像经过坐标原点，与轴的另一个交点为，求的值． 21. 如图，四边形中，，与相交于点，，，． （1）求的长； （2）设，，试用、表示． 22. 九年级数学活动小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面中点处竖直上升米到达处，测得实验楼顶部的俯角为，综合楼顶部的俯角为，已知实验楼高度为米，且图中点在同一平面内，求综合楼的高度． （参考数据：；，精确到米．） 23. 如图，在中，是边上中线，点在上（不与重合），连接、，并延长交于点． （1）求证：； （2）当时，求证：． 24. 已知在直角坐标平面中，抛物线经过点三点． （1）求该抛物线的表达式： （2）点是抛物线上在第一象限内的动点，点的横坐标为 ①如果是以为斜边直角三角形，求的值； ②在轴正半轴上存在点，当线段绕点逆时针方向旋转时，恰好与抛物线上的点重合，此时点的横坐标为，求的值． 25. 已知中，，，，，垂足为，点是线段上一点（不与、重合），过点作交的延长线于点与交于点，连接． （1）求证：； （2）当时，求的长； （3）当是等腰三角形时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $