精品解析：河北省保定市高中2024-2025学年高一上学期1月期末调研考试数学试题（B）

2024~2025学年第一学期期末调研考试 高一数学试题（B） 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合，结合交集的定义求结论. 【详解】不等式可化为， 故， 所以或， 所以或， 所以或， 又， 所以. 故选：A. 2. 已知样本数据为，，，，平均数为，则数据，，，，与原数据相比，下列数字特征一定不变的是（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数 【答案】A 【解析】 【分析】利用平均数的计算方法判断A，举反例排除BCD，从而得解. 【详解】对于A，原数据的平均数为，新数据为， 所以新数据的总和为：， 则新数据的平均数为：，即平均数没有变化，故A正确； 对于B，不妨设原数据为，则，方差为， 则新数据为，平均数为，方差为， 此时方差发生了变化，故B错误； 对于C，不妨设原数据为，则，众数为， 则新数据为，众数为，此时众数发生了变化，故C错误； 对于D，不妨设原数据为，则，中位数为， 则新数据为，中位数为，此时中位数发生了变化，故D错误. 故选：A. 3. 下列命题中，真命题的选项是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数的定义域，正弦函数、指数函数以及余弦函数的值域即可判断. 【详解】对A，当时，不成立，所以A错误； 对B，当时，不存在，所以B错误； 对C，当时，，所以C正确； 对D，因为函数的值域为，所以D错误. 故选：C. 4. 下列函数为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的判定方法一一分析即可. 【详解】对于选项A，，，，所以函数不是奇函数； 对于选项B，，所以，且函数定义域为，所以函数为偶函数； 对于选项C，，，解得，则其定义域为，关于原点对称， 而，，所以函数是奇函数； 对于选项D，， 所以，且定义域为，关于原点对称，所以函数为偶函数； 故选：C 5. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用函数的奇偶性的判定方法，结合对数函数的性质判断得的奇偶性排除AC，再利用区间法判断得时，从而排除B，由此得解. 【详解】对于，有，解得且， 所以的定义域为， 又，所以为偶函数， 所以的图象关于轴对称，故排除A、C； 当时，，，所以，故排除B. 故选：D. 6. 已知平面向量，满足，，则的最大值为（ ） A. 8 B. C. 10 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量数量积运算律得，再利用向量不等式即可得到答案. 【详解】因为则，则， 所以，所以， ， 故选：C. 7. 设，，，则它们的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的性质比较大小关系即可. 【详解】因为指数函数在上单调递减，则，即， 因为指数函数在上单调递减，则，即， 又因为指数函数在上单调递增，则，即， 则. 故选：D 8. 已知函数满足：①定义域为；②对任意，有；③当时，；若函数，，则函数在上零点个数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】先将问题化为和图象交点个数问题，再利用的周期性与解析式作出的图象，同时也作出的图象，从而数形结合即可得解. 【详解】因为函数在R上零点的个数等于函数和图象交点的个数， 又的定义域为，又， 所以是周期为的周期函数， 当时，， 作出函数在内的图象，再由的周期性作出在上的图象， 同时作出，的图象， 因为，， 所以函数在上有三个交点，在上无交点， 又，，则， 则函数是偶函数，图象关于轴对称， 所以由数形结合知的图象的交点的个数为6. 故选：C. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 改革开放以来，某地区率先推进经济转型升级和高质量发展，成功实现从传统的农业、工业化经济向现代化服务型、创新型、数字经济转化，实现了从粗放型增长向高质量发展的迈进.该地区经过近十年的发展，经济总收入增加了两倍，下图统计了该地区经济转型前和经济转型后经济总收入的构成比例，则下面结论中正确的是（ ） A. 经济转型后，农业收入减少 B. 经济转型后，工业收入增加了一倍以上 C. 经济转型后，其他产业收入是转型前的两倍以上 D. 经济转型后，第三产业收入超过了经济转型前经济总收入 【答案】BCD 【解析】 【分析】设该地区经济转型前经济总收入为，经济转型后经济总收入为．通过选项逐一分析经济转型前后经济收入情况，利用数据推出结果． 【详解】设该地区经济转型前经济总收入为，经济转型后经济总收入为．由图可知： A项，经济转型后农业收入，经济转型前农业收入， 故转型后，农业收入增加了，故A项错误． B项，经济转型后工业收入，经济转型前工业收入，故转型后，工业收入增加了一倍以上，故B项正确． C项，经济转型后其他产业收入，经济转型前其他产业收入，故转型后，其他产业收入是转型前的两倍以上，故C项正确． D项，经济转型后第三产业收入，经济转型前经济总收入，故转型后，第三产业收入超过经济转型前经济总收入，D正确. 故选：BCD 10. 设函数，若函数有四个零点分别为，，，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据解析式画出大致图象，数形结合有，结合对数函数、二次函数的性质可得、，进而逐项判断正误. 【详解】对A，由解析式，可得大致图象如下，结合题设和图象知，A错， 令，可得或， 所以， 对B，由于当时，图象的对称轴为直线，所以，B对， 对C，当时，令，则，， 则，C错， 对D，由且，而在上单调递增， 所以，D对. 对CD方法二：当时，，所以，所以，C错误; 因为，所以，故， 又，所以， 因为函数在上单调递增， 故，D正确. 故选：BD 【点睛】关键点点睛：画出函数图象，利用相关函数的性质确定零点的范围及相关参数的关系为关键. 11. 函数，，已知为函数的一个对称中心，为的一条对称轴，且函数在上单调递减，则下列说法正确的是（ ） A. B. 直线为函数图象的一条对称轴 C. 函数在区间上有1个零点 D. 对于任意的，关于的方程总有奇数个根 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用对称中心和对称轴求解满足的关系式，再利用周期性确定的范围，最后通过讨论可确定的取值，再利用正弦型函数的性质即可判断其它选项. 【详解】由为函数的一个对称中心，所以有，， 由为的一条对称轴，所以有，， 上两式相减得：， 设函数的周期为，因为函数在上单调递减，， 所以，又因为，所以有， 则有，即或， 此时或， 当时，由为的一条对称轴，且函数在上单调递减， 所以，则， 所以有，，由于，此时无解； 当时，由，则， 所以有，，由于，此时； 所以满足题意，故A错误； 此时有，由， 故B正确； 当时，，此时由， 得，故C正确； 由，可知函数关于点对称， 所以过这个对称中心的直线与函数的图象至少有一个交点点， 再根据函数是关于这个点的中心对称图象， 所以除这个对称中心之外的交点是成对出现的，即肯定是有奇数个交点，故D正确； 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，分类讨论的取值，根据题意确定的取值，从而得解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为_____________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据正弦定理进行边换角并结合三角恒等变换得，再利用余弦定理和三角形面积公式即可得到答案. 【详解】由，结合正弦定理得， ， 因为，所以, 利用余弦定理，解得， 所以. 故答案为：. 13. 已知函数，且，，，，，，则函数的解析式为______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题目累乘可得的表达式，再令可得的解析式. 【详解】将各式累乘可得 又因为，所以，令，则有. 故答案为：. 14. 定义在上的函数满足，且关于对称，当时，，则 ______________.（注：） 【答案】 【解析】 【分析】推导出函数是周期为4的函数，计算出的值，结合函数的周期性得所求代数式的值. 【详解】因为，令，则， 所以函数的图象关于直线对称，则， 因为函数的图象关于点对称，设， 则，即，即， 令，则，故函数为奇函数， 所以，则， 故函数是周期为4的周期函数， 由，得， 所以当时，，则，，，， 所以： 故答案为： 【点睛】结论点睛：函数的对称性： （1）若，则函数关于中心对称； （2）若，则函数关于对称. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）求和； （2）若集合，且，求实数的取值范围. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式、指数不等式求集合，再应用集合的交并补运算求集合； （2）根据已知有，讨论、求参数范围. 【小问1详解】 由，即， 由，即， 所以，且，则. 【小问2详解】 由题设， 若，即时，满足要求； 若，即时，则，故， 综上，. 16. 如图所示，在中，是边边上中线，为中点，过点点直线交边，于，两点，设，，（，与点，不重合） （1）证明：为定值； （2）求的最小值，并求此时的，的值. 【答案】（1）因为是边边上中线，，所以. 又是的中点，， 所以. 因为三点共线，所以且 所以，即为定值； （2） 【解析】 【分析】（1）求出，从而由三点共线，可得答案； （2）结合（1）可得，化简后利用基本不等式可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1） 所以 ， 当且仅当,即时，等号成立. 所以时，的最小值. 17. 在中，角，，的对边分别为，，，. （1）求角； （2）若，为边上一点（不同于，两点），，求的面积的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，然后利用两角和的正弦公式，将原式化为，进而可得结果； （2）设，，由正弦定理得，可得，根据余弦定理求得或，分类讨论可求出三角形面积，再根据的范围可得结果. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理可知， 因为， 整理得， 因为，所以，所以，即， 又因为，所以． 【小问2详解】 如图，设，，由正弦定理有，得， 因为，所以，所以， 在中，由余弦定理可知，， 即，解得或． 若，， 则的面积为：，即； 若，则， 则， 因为， 所以， 综上可得的面积的取值范围为. 18. 已知函数. （1）若函数为奇函数，求的值； （2）当时，若函数在区间有2个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用的奇偶性，结合指数幂的运算即可得解； （2）利用换元法，构造函数，将问题转化为在上有两个零点，利用二次函数零点的分布得到关于的不等式组，解之即可得解. 【小问1详解】 因为，所以， 因为是奇函数，所以， 即，所以， 则， 所以，解得. 【小问2详解】 当时，， 所以， 函数在区间有2个零点， 即方程在上有两个不相等的实数根， 整理得，令，由，则， 即在上有两个不相等的实数根， 令，在上有两个零点， 则满足，解得， 综上可知，实数m的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的解决关键在于，利用换元法与构造函数法，将问题转化为二次函数的零点分布问题，从而得解. 19. 已知函数的定义域为，若对于任意，，，能够成一个三角形的三条边长，则称函数为集合上的“三角形函数”. （1）已知函数是区间（为常数）上的“三角形函数”，求的取值范围； （2）已知函数是区间（为常数）上的“三角形函数”，在函数的图象上，是否存在三个不同的点，，，当时，，若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）不存在 【解析】 【分析】（1）转化为，再利用对勾函数单调性对分类讨论即可； （2）通过假设存在计算得到，再得到，又分析出，则得到矛盾点，即证明其不存在. 【小问1详解】 根据条件，如果函数为集合M上的“三角形函数”只需满足， 因为对勾函数在单调递减，在单调递增， 当时，,, 因为，所以函数为三角形函数； 当时，,因为，， 此时满足，所以函数为三角形函数； 当时，,, 若函数为三角形函数，只需，即 综上，t的取值范围为 【小问2详解】 因为，， 则，所以， 因为，得， 因为，则，所以， 假设存在三个点， 则 所以当时，， 又因为，所以. 所以，这与矛盾. 所以不存在三个不同的点 当时，. 【点睛】关键点点睛：本题第一问的关键是利用对勾函数的性质，再对进行分类讨论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年第一学期期末调研考试 高一数学试题（B） 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知样本数据为，，，，平均数为，则数据，，，，与原数据相比，下列数字特征一定不变的是（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数 3. 下列命题中，真命题的选项是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 下列函数为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知平面向量，满足，，则的最大值为（ ） A. 8 B. C. 10 D. 7. 设，，，则它们的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数满足：①定义域为；②对任意，有；③当时，；若函数，，则函数在上零点个数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 改革开放以来，某地区率先推进经济转型升级和高质量发展，成功实现从传统的农业、工业化经济向现代化服务型、创新型、数字经济转化，实现了从粗放型增长向高质量发展的迈进.该地区经过近十年的发展，经济总收入增加了两倍，下图统计了该地区经济转型前和经济转型后经济总收入的构成比例，则下面结论中正确的是（ ） A. 经济转型后，农业收入减少 B. 经济转型后，工业收入增加了一倍以上 C. 经济转型后，其他产业收入是转型前的两倍以上 D. 经济转型后，第三产业收入超过了经济转型前经济总收入 10. 设函数，若函数有四个零点分别为，，，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 函数，，已知为函数的一个对称中心，为的一条对称轴，且函数在上单调递减，则下列说法正确的是（ ） A. B. 直线为函数图象的一条对称轴 C. 函数在区间上有1个零点 D. 对于任意的，关于的方程总有奇数个根 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为_____________. 13. 已知函数，且，，，，，，则函数的解析式为______________. 14. 定义在上的函数满足，且关于对称，当时，，则 ______________.（注：） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）求和； （2）若集合，且，求实数的取值范围. 16. 如图所示，在中，是边边上中线，为中点，过点点直线交边，于，两点，设，，（，与点，不重合） （1）证明：为定值； （2）求的最小值，并求此时的，的值. 17. 在中，角，，的对边分别为，，，. （1）求角； （2）若，为边上一点（不同于，两点），，求的面积的取值范围. 18. 已知函数. （1）若函数为奇函数，求的值； （2）当时，若函数在区间有2个零点，求实数的取值范围. 19. 已知函数的定义域为，若对于任意，，，能够成一个三角形的三条边长，则称函数为集合上的“三角形函数”. （1）已知函数是区间（为常数）上的“三角形函数”，求的取值范围； （2）已知函数是区间（为常数）上的“三角形函数”，在函数的图象上，是否存在三个不同的点，，，当时，，若存在，求的值；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $