18.5 相似三角形的判定 (第二课） 课件 2024-2025学年北京版九年级数学上册

已知△ABC，求作△A'B'C',使得△A'B'C'≌△ABC 并说出你的作图依据 画必有法 法必有依 全等三角形的判定方法： 定义 边角边（SAS) 角边角（ASA) 角角边（AAS) 边边边（SSS) 斜边、直角边(HL) 相似三角形的判定方法： 定义 预备定理（拓展） 回顾一下： 相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。 ∵ ∠A= ∠D ,∠B=∠E, ∠C=∠F ∴ AB DE = BC AC = DF EF △ ABC∽ △ DEF D F E A B C 复习回顾： 相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。 ∵ ∠A= ∠D ,∠B=∠E, ∠C=∠F ∴ AB DE = BC AC = DF EF △ ABC∽ △ DEF （相似三角形定义） D E F A B C 什么叫做相似三角形 平行于三角形一边的直线，截其他两边(或两边的延长线)所得的三角形与原三角形相似. 预备定理（拓展）: 平行于三角形一边的直线，截其他两边(或两边的延长线)所得的三角形与原三角形相似. (平行于三角形一边的直线，截其他两边或两边的延长线所得的三角形与原三角形相似). 18.5 相似三角形的判定（二） 定义 边角边 角边角 角角边 边边边 斜边、直角边 定义 预备定理 猜想： 两角一边 （可夹可对） 两边一角 三边 命题一：如果一个三角形的_______与另一个三角形的______分别________,那么这两个三角形相似。 已知：求证： 如图：在△ABC和△A´B ´C ´中，∠A=∠A´ ，∠B=∠B´ . △ABC∽△A´B ´C ´ 两个角 两个角 相等 证明:在△ABC的边AB上，截取AD= A´B´. 过点D作DE∥BC，交AC于点E， 则有△ADE∽△ABC. ∵∠ADE=∠B，∠B=∠B´， ∴∠ADE=∠B´ . 又∠A=∠A´，AD=A´B´, ∴△ADE≌△A´B´C´. ∴△ABC∽△A´B´C´. 如果一个三角形的_______与另一个三角形的______分别________,那么这两个三角形相似。 简记为：“两角分别相等，两三角形相似”。 ∵在△ABC和△A´B ´C ´中， ∠A=∠A´ ，∠B=∠B´ . ∴△ABC∽△A´B ´C ´ 两个角 两个角 相等 相似三角形的判定定理（一） （两角分别相等，两三角形相似） 书上20页 命题二：如果一个三角形的_______与另一个三角形的______对应________,那么这两个三角形相似。 已知：求证： 如图，在△ABC和△A´B ´C ´中， △ABC∽△A´B ´C ´ 三条边 三条边 成比例 证明:在△ABC的边AB上，截取AD= A´B´. 过点D作DE∥BC，交AC于点E， 则有△ADE∽△ABC. ∴△ADE≌△ABC. ∴△A‘B'C'∽△ABC. 如果一个三角形的_______与另一个三角形的______对应________,那么这两个三角形相似。 简记为：“三边对应成比例，两三角形相似”。 ∵在△ABC和△A´B ´C ´中， ∴△ABC∽△A´B ´C ´ 三条边 三条边 成比例 相似三角形的判定定理（二） （三边对应成比例，两三角形相似） 书上21页 命题三：如果一个三角形的_______与另一个三角形的______对应________,并且________,那么这两个三角形相似。 已知：求证： 在△ABC和△A´B ´C ´中，∠A=∠A´， △ABC∽△A´B ´C ´ 两条边 两条边 成比例 夹角相等 证明:在△ABC的边AB上，截取AD= A´B´. 过点D作DE∥BC，交AC于点E， 则有△ADE∽△ABC. ∴AE=A'C' ∵∠A=∠A' ∴△ADE≌△A'B'C' ∴△ABC∽△A'B'C' 如果一个三角形的_______与另一个三角形的______对应________,并且________,那么这两个三角形相似。 简记为：“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”。 ∵在△ABC和△A´B ´C ´中， ∠A=∠A´ ∴△ABC∽△A´B ´C ´ 两条边 两条边 成比例 相似三角形的判定定理（三） 夹角相等 （两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似） 书上23页 例1 已知：△ABC和△DEF中，∠A=40°， ∠B=80°，∠E=80°，∠F=60°. 求证：△ABC∽△DEF. 80 ° 60 ° 40 ° 80 ° ∴△ABC∽△DEF （两角对应相等，两三角形相似）. 证明：∵在△ABC中，∠A=40°，∠B=80°， ∴∠C=60°. ∵在△DEF中，∠E=80°,∠F=60°， ∴∠B =∠E，∠C =∠F. （1）∠A=120°，AB=7cm，AC=14cm， ∠A´=120°，A´B´=3cm，A´C´=6cm； 例2:根据下列条件，判定△ABC和△A´B´C´是否相似，并说明理由. （1)∠A=120°， AB=7cm， AC=14cm， ∠A´=120°，A´B´=3cm，A´C´=6cm； （2） AB=4cm， BC=6cm， AC=8cm， A´B´=12cm, B´C´=18cm, A´C´ =24cm. 例2:根据下列条件，判定△ABC和△A´B´C´ 是否相似，并说明理由. (2)AB=4cm， BC=6cm， AC=8cm， A´B´=12cm, B´C´=18cm, A´C´ =24cm. 如图，在△ABC和△ADE中， AD:AB= AE:AC . △ABC与△ADE 是否相似 . A B C D E 例3 如图，已知，在△ADC和△ACB中, ∠A=∠A, 如果添加一个条件 ,那么△ADC∽△ACB. 巩固提升 判断正误，并说明理由： （1）任意等边三角形是相似三角形； （2）有一个角相等的两等腰三角形是相似三角形； （3）顶角对应相等的两等腰三角形是相似三角形； （4）任意直角三角形都相似； （5）有一锐角对应相等的两直角三角形相似。 我猜、我猜、我猜猜 3. 拓展延伸 1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90° ,BC=8 cm,AB= l0cm,点P从点B出发,沿BC方向以2cm/s的速度移动,点Q从点C出发,沿CA方向以1cm/s的速度移动.若点P,Q分别从B,C两点同时出发,经过多少秒时,△CPQ与△CBA相似? 小白15页9题 基本模型之A字型 正A字型 斜A字型 母子型 公共边² =共线边乘积 基本模型之A字型 正A字型 斜A字型 母子型 双垂图 见到双垂想什么？ 拓展延伸 1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90° ,BC=8 cm,AB= l0cm,点P从点B出发,沿BC方向以2cm/s的速度移动,点Q从点C出发,沿CA方向以1cm/s的速度移动.若点P,Q分别从B,C两点同时出发,经过多少秒时,△CPQ与△CBA相似? 小白15页9题 拓展延伸 小白15页10题 2.如图，线段AB=9,AC⊥AB于点A, BD⊥AB 于点B,AC=2,BD=4,点P为线段AB上一动点,且以A,C,P为顶点的三角形与以B,D,P为顶点的三角形相似，则AP的长为_____________ 一线三垂直 一线三垂直 （特别版） 勾股定理 之毕氏证法 （内弦图） 一线三垂直 一线三等角 拓展延伸 小白15页10题 2.如图，线段AB=9,AC⊥AB于点A, BD⊥AB 于点B,AC=2,BD=4,点P为线段AB上一动点,且以A,C,P为顶点的三角形与以B,D,P为顶点的三角形相似，则AP的长为_____________ 全等三角形 的判定方法 定义 边角边公理 角边角公理 角角边定理 边边边公理 斜边、直角 边公理 相似三角形 的判定方法 定义 预备定理 图 形 两角对应相等，两个三角形相似 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似. 三边对应成比例，两三角形相似. 微专题 三大常考相似模型 模型一　A字型 微专题 三大常考相似模型 微专题 三大常考相似模型 谢谢观看 再见 4. 一“针”见“解” $$