18.6相似三角形的性质同步课件 2025-2026学年北京版九年级数学上册

18.6 相似三角形的性质 （1）相似三角形有哪些判定方法？ （2）相似三角形有什么性质？根据是什么？相似多边形呢？ （3）相似三角形的对应边的比叫什么？ （4）ΔABC与ΔA′B′C′的相似比为k,则ΔA′B′C′与ΔABC的相似比是多少？ 1. 相似三角形的判定方法有哪几种？ ◑定义：对应边成比例，对应角相等的两个三角 形相似 ◑平行于三角形一边，与另外两边相交所构成的 三角形与原三角形相似 ◑三边成比例的两个三角形相似 ◑两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 ◑两角分别相等的两个三角形相似 ◑一组直角边和斜边成比例的两个直角三角 形相似 2. 三角形除了三个角，三条边外，还有哪些要素? 如果两个三角形相似，那 么，对应的这些要素 有什么关系呢？ 高 中线 角平分线 周长 面积 思 考 三角形中有各种各样的几何量，例如三条边的长度，三个内角的度数，高、中线、角平分线的长度，以及周长、面积等。如果两个三角形相似，那么它们的这些几何量之间有什么关系？ 探究新知1 如图，△ABC △A′B′C′,,相似比为k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？ A B D C A′ B′ D′ C′ 解：如图，分别作△ABC和△A′B′C′的对应高AD和A′D′。 ∵△ABC △A′B′C′ ∴ ∠B=∠B′ 又△ABC和△A′B′C′都是直角三角形 ∴△ABD △A′B′D′ 结论：相似三角形对应高的比等于相似比。 类比探索 相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比是否也等于三角形的相似比k呢？ 发现 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比。 一般地：相似三角形对应线段的比等于相似比。 A B C A’ B’ C’ D D’ 已知：Δ ABC∽Δ A’ B’ C,’相似比为k,它们对应高的比是多少？对应角平分线的比是多少？对应中线的比呢？请证明你的结论。 想一想 相似三角形对应边上的高有什么关系呢？ 归纳：相似三角形对应边上的高之比等于相似比。 A′ B′ C′ D′ △A D C ∽△A′D′C′ 则:(1)利用方格把三角形扩大2倍，得△A′B′C′，并作出B′C′边上的高A′ D′ 。 △A B C 与△A′B′C′的相似比为多少？AD 与A′ D′有什么关系？ 右图△A B C ， AD为 BC 边上的高。 D A B C (2)如右图两个相似三角形相似比为k，则对 应边上的高有什么关系呢？__________ 说说你判断的理由是什么？___________ 相似三角形对应角的角平分线有什么关系呢？ 归纳：相似三角形对应角的角平分线之比等于相似比。 (2)如右图两个相似三角形相似比为k，则对应角的角平分线比是多少？ 说说你判断的理由是什么？___________ △A F C ∽△A′F′C′ 如右图△A B C ， AF为 ∠ A 的角平分线。 则:(1)把三角形扩大2倍后得△A′B′C′，A′ F′ 为∠ A′的角平分线， △A B C 与△A′B′C′的相似比为多少？ AF 与A′ F′比是多少？ A B C F A′ B′ C′ F′ 归纳：相似三角形对应边上的中线比等于相似比。 相似三角形对应边上的中线 有什么关系呢？ 如右图△A B C ， AE为 BC 边上的中线。 则:(1)把三角形扩大2倍后得△A′B′C′，A′ E′为 B′C′边上的中线。 △A B C 与△A′B′C′的相似比为多少？ AE 与A′ E′比是多少？ A B C E A′ B′ C′ E′ △A E C ∽△A′E′C′ (2)如右图两个相似三角形相似比为k，则对应边上的中线的比是多少呢？ 说说你判断的理由是什么？___________ 归纳总结 等于相似比 周长比等于相似比。 面积比等于相似比的平方。 【例】如图在ΔABC 和ΔDEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，ΔABC的周长是24，面积是 ？，求ΔDEF的周长和面积. 解：∵ △ABC ∽△DEF， 　 D E F H 已知 △ABC∽△DEF，BG、EH 分别是 △ABC和△DEF的角平分线，BC = 6 cm，EF = 4cm，BG= 4.8 cm. 求 EH 的长. ∴ (相似三角形对应 角平分线的比等于相似比)， ∴ ，解得 EH = 3.2. A G B C ∴ 故 EH 的长为 3.2 cm. 1. 如果两个相似三角形的对应高的比为 2 : 3，那么对应角平分线的比是 ，对应边上的中线的比是 ______ . 2. △ABC 与 △A'B'C' 的相似比为3 : 4，若 BC 边上的 高 AD＝12 cm，则 B'C' 边上的高 A'D' ＝_______ . 2 : 3 2 : 3 16 cm 练一练 1、把 一个三角形变成和它相似的三角形，则如果边长扩大为原来的100倍，那么面积扩大为原来的_____________倍；如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为原来的_______________倍。 课堂练习 10000 10 2、已知△ABC∽△A′B′C′，AC: A′ C′=4:3。（1）若△ABC的周长为24cm，则△A′B′C′的周长为 cm；（2）若△ABC的面积为32 cm2 ，则△A′B′C′的面积为 cm2。 18 18 课堂练习 3、已知，在△A B C 中，DE||BC, DE:BC=3:5 则(1)AD:DB= (2)△ADE的面积:梯形DECB的面积= (3)△A B C的面积为25，则△A DE的面积=___ 3:2 9:16 9 4、如图，已知DE∥BC，BD=3AD，S△ABC =48，求：△ADE的面积。 课堂练习 解：因为DE∥BC 所以∠ADE=∠ABC, ∠AED=∠ACB 所以△ADE ∽△ABC 又因为BD=3AD 比可得相似k=AD:AB=1:2 所以S△ADE =1/4 S△ABC =12 小结 相似三角形的性质 对应角相等、对应边成比例 对应高之比、对应中线之比、对应角平分线之比都等于相似比 周长之比等于相似比 面积之比等于相似比的平方 （你学到了什么呢？） $$