18.6相似三角形的性质 课件 2024-2025学年 北京版九年级数学上册

18.6相似三角形的性质 复习 到现在为止，我们学习了哪些判定三角形相似的方法？ 1. 定义法 对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。（一般不用） 2. 平行法 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似。 3. 判定1 两角对应相等的两个三角形相似。 4. 判定2 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 5. 判定3 三条边对应成比例的两个三角形相似。 6. 判定3推论 直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似。 相似三角形的性质 已知△ABC ∽△A′B′C′相似,相似比为k （1）相似三角形对应角 . （2）相似三角形对应边 . A B C A' B' C' 知识回顾 相等 成比例 已知: 如图, △ABC∽△A′B′C′ , 它们的相似比为 k, AD, A′D′ 是对应高. 1. 相似三角形对应边上的高有什么关系呢？ 求证: A B C D C′ B′ A′ D′ 证明 ∵ △ABC∽△A′B′C′, ∴ ∠B = ∠B′. ∵ ∠BDA = ∠B′D′A′ = 90°, ∴ Rt△ABD∽Rt△A′B′D′. ∴ A B C D C′ B′ A′ D′ 相似三角形对应边上的高之比等于相似比. 2. 相似三角形对应边上的中线有什么关系呢？ （1）如图, △ABC, AE为BC边上的中线, 则把三角形扩大 2 倍后得 △A′B′C′ , A′E′ 为 BC 边上的中线. △ABC 与△A′B′C′ 的相似比是多少？AE与A′E′ 的比是多少？ A B C E E′ A′ B′ C′ （2）如右图两个相似三角形的比为 k, 则对应边上的中线的比是多少呢？说说你判断的理由是什么？ A B C E E′ A′ B′ C′ 相似三角形对应边上的中线之比等于相似比. 3. 相似三角形对应角的角平分线有什么关系呢？ B′ A′ C′ D′ B A C D 已知: 如图, △ABC∽△A′B′C′ , 它们的相似比为 k, AD, A′D′ 分别是 ∠BAC, ∠B′A′C′ 的角平分线. 求证: 证明 ∵ △ABC∽△A′B′C′, ∴ ∠BAC = ∠B′A′C′, ∴ ∠DAC = ∠D′A′C′ , ∴ △DAB∽△D′A′B′. ∴ B′ A′ C′ D′ B A C D ∠C = ∠C′. 又∵AD, A′D′ 分别是 ∠BAC, ∠B′A′C′ 的角平分线. 相似三角形对应角的角平分线之比等于相似比. 相似三角形的性质定理1 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. A B C D E F A′ B′ C′ D′ E′ F′ 随堂练习 练1 已知 ，相似比为2:3， （1）如果AD，A'D'分别为这两个三角形的对应高，且AD=9cm， 则A'D'= ， （2）如果AD，A'E'分别为这两个三角形的对应中线，且A'E'=10cm， 则AE= ， （3）如果AF，A'F'分别为这两个三角形的对应角平分线，则 13.5cm 练2 在 中，AD⊥BC，垂足为D，EF∥BC，分别交AB，AC，AD于点E，F，G， ，AD=15. 求AG的长. 随堂练习 高 相似三角形 相似比 高的值 习题1 如图， ，AD，AE分别为△ABC的高和中线，A'D'，A'E'分别为△A'B'C'的高和中线，求证：△ADE∽△A'B'D'. 随堂练习 随堂练习 习题2 如图，AD，BE为△ABC的两条高，A'D'，B'E'为△A'B'C'的两条高，且 拔高练习 相似三角形的性质在特殊四边形中的应用 例题 如图，一块材料的形状是锐角△ABC，边BC=12cm,高AD=8cm，把它加工成正方形零件PQMN,要使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB,AC上.求这个正方形零件的边长. A B C P Q M N D G 拔高练习 相似三角形的性质在特殊四边形中的应用 变式 如图，一块材料的形状是锐角△ABC，边BC=12cm,高AD=8cm，把它加工成长方形零件PQMN,要使长方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB,AC上.且长方形的长等于宽的2倍，求PQ的长. A B C P Q M N D G A B C P Q M N D G (1) 一个三角形的各边长扩大为原来的 5 倍，这个三角形的角平分线也扩大为原来的 倍. (2) 一个四边形的各边长扩大为原来的 9 倍，这个四边形的面积扩大为原来的 倍. (3)在一张复印出来的纸上，一个三角形的一边由原图中的2cm变成了6cm,则放缩比例是 : ，三角形面积变为原来的 倍. 随堂练习 例3:在△ABC 和△DEF 中，AB = 2 DE ，AC = 2DF， ∠A = ∠D. 若 △ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ， 求△DEF 的边 EF 上的高和面积. A B C D E F 1、如图， 中，E为BC中点，连接AE交对角线BD于F 若 的周长为24，求 的周长 . 如图， 中，连接AE交对角线BD于F 变式1： 若 与 的面积比是2:1，则AD：EB=（ ） A. 2:1 B. 1:2 C. 1： D. ：1 如图， 中，连接AE交对角线BD于F 变式2： 若 与 的对应中线的比为2:1，且它们的面积和为30 则 的面积为( ) A. 6 B. 10 C. 24 D.20 2、大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上 第一个小孔成倒像的实验.并在《墨经》中有这样的精彩记录： “景到，在午有端，与景长，说在端”.如图2所示的小孔成像 实验中，若物距为10cm,像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度 是9cm，则蜡烛火焰的高度是（ ） A. 6cm B. 8cm C. 10cm D.12cm 本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力 ．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在 于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 相似三角形的性质 对应线段 周长 面积 等于相似比 对应高的比 对应中线的比 对应角平分线的比 周长的比等于相似比 面积的比等于相似比的平方 课堂小结 当堂总结 知识总结 通过今天的学习，你觉得一定要记住的内容是什么？ 相似三角形的性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，都等于相似比。即相似三角形对应线段的比等于相似比。 方法技巧总结 利用相似三角形的性质求四边形的边长，可以通过“设x” 表示对应线段的长。再利用对应线段的比值相等，求x。 感谢大家的聆听！ $$