2026年中考数学第一轮专题复习-二次函数压轴题（线段周长问题）

2026年中考数学第一轮专题复习-二次函数压轴题（线段周长问题） 一、单选题 1．（25-26九年级上·湖北黄冈·月考）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山西吕梁·月考）如图，是抛物线在第三象限部分上的一点，过点向轴和轴作垂线，垂足分别为、，则四边形周长的最大值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 3．（24-25九年级上·安徽亳州·月考）点是二次函数图象的顶点，轴，且交一次函数的图象于点，点在轴上，下列结论错误的是（） A．点一定在二次函数图象上 B． C．当最小时，的最小值是3 D．若两个函数图象在第四象限有交点，则 4．（23-24九年级下·安徽阜阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线（为常数）与抛物线交于，两点，且点在轴左侧，点的坐标为，连接，．下列结论错误的是（    ） A．直线，关于轴对称 B．当时，的值随的增大而增大 C．当时， D．的面积的最小值为 5．（23-24九年级上·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，已知点，，若线段与抛物线只有一个公共点，则的值可能是（    ）    A． B． C． D． 6．（2023九年级上·浙江湖州·期末）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过原点，与x轴的另一个交点为A（﹣6，0），点C是抛物线的顶点，且⊙C与y轴相切，点P为⊙C上一动点．若点D为PA的中点，连结OD，则OD的最大值是（　　） A． B． C．2 D． 二、填空题 7．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，在中，，，将线段绕点B逆时针旋转得到线段．则线段的最小值为 ． 8．（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）如图，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点．若为轴上一个动点，连接，则的最小值为 ． 9．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）如图，一次函数图象与坐标轴分别交于点，．若为二次函数图象上的一个动点，过点作直线的垂线，垂足为点．则线段的最小值为 ． 10．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）如图，是抛物线在第一象限上的点，过点分别向轴和轴引垂线，垂足分别为，则四边形周长的最大值为 ． 11．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在平面直角坐标系中，对称轴为直线的抛物线经过不同的三点，其中点在第二象限且为抛物线的顶点，点在轴的负半轴上，点位于点之间的抛物线图象上，若的周长为，则四边形的周长为 ． 12．（23-24九年级下·广东广州·开学考试）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于B、C，点A关于抛物线对称轴的对称点为点D，点E在y轴上，点F在以点C为圆心，半径为1.5的圆上，则D的坐标是 ，的最小值是 ． 三、解答题 13．（25-26九年级上·天津东丽·期末）已知：二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上有一点P，使周长最小，求P点坐标； (3)Q为直线下方抛物线上一点，求面积的最大值； 14．（2026九年级上·福建泉州·专题练习）二次函数与x轴交于A，B两点（点A在点B的右边），与y轴交于点C．点D是射线上的动点，过点D作，并且交x轴于点E． (1)请直接写出A，B，C三点的坐标及直线的函数表达式；A：______，B：______，C：______；直线的函数表达式_____________． (2)当点D在线段上运动时，直线与抛物线在第二象限内交于点P，则线段是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由． (3)当时，求出点D的坐标． 15．（25-26九年级上·青海海东·期末）如图，抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点，过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知点为抛物线上一动点（不与重合）． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在直线上方的抛物线上运动时，过点作轴交直线于点，作轴交直线于点，求的最大值． 16．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，且与y轴交于点，点D是直线上方抛物线上的点． (1)求二次函数的函数表达式； (2)点E是二次函数图象的对称轴上一个动点，当的垂直平分线恰好经过点C时，求点E的坐标； (3)当时，点F是x轴上一个动点，连接、，求的最小值，并求出此时点F的坐标． 17．（25-26九年级上·四川眉山·月考）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，点，与轴交于点，直线与抛物线相交于、两点，且与轴相交于点 (1)求抛物线的解析式； (2)点是线段的一个动点，过点作轴的平行线与抛物线相交于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线向左平移1个单位，得到新抛物线与原抛物线交于点，在新抛物线对称轴找一点，在新抛物线找一点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形，直接写出的坐标 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】四边形中，线段和的长度是确定的，将四边形周长的最小值转化为两条线段和的最小值，可通过平移点B关于抛物线对称轴的对称点构造平行四边形确定点D的位置，求出直线的解析式即可求出点D的坐标； 本题主要考查了抛物线的对称性和两点之间线段最短等知识点，利用抛物线的对称性构造平行四边形是解题的关键． 【详解】解：抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点， 连接交对称轴于D点，如图， ，， 四边形为平行四边形， ， ， ， 四边形的周长， 此时四边形的周长最小； 当时，， 解得， ， 抛物线的对称轴为直线，， 当时，， ， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ． 故选：D． 2．D 【分析】本题考查二次函数的最值，二次函数性质；由题意构建二次函数是解题的关键．设，，则，，于是四边形的周长，根据二次函数性质求解． 【详解】解：令，则， 解得，， 抛物线与轴的交点为，， 设，则，， 令四边形的周长为，则， ， 时，取最大值，为6． 故选：D． 3．C 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、轴对称最短路线问题，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】二次函数， 当时，， 点一定在二次函数图象上，故选项A正确； 二次函数， 该函数的顶点坐标为， 点的坐标为， 点在上，轴， 点N的坐标为， ， 故选项B正确； 当最小时，，此时 点的坐标为，点的坐标为， 点在轴上，点M，N在y轴的左侧， 关于y轴对称点为 ，则直线与y轴的交点即为点P，此时的值最小， ， 的最小值是，选项C错误； 二次函数， 该函数图象开口向下，对称轴为直线， 当时，， 该函数图象与轴交于点， 一次函数与轴交于点，与轴交于点， 将代入，得，解得：， 将代入，得，解得：， 两函数图象在第四象限有交点， ， 故选项D正确； 故选：C． 4．B 【分析】设，，其中，，联立得，即，可得，，待定系数法求直线的解析式为，直线与轴交点的坐标为，同理可得，直线的解析式为，直线与轴交点的坐标为．由，可知直线，与轴的交点关于轴对称，即直线，关于轴对称，进而可判断A的正误；如图，过点作轴于点，过点作轴于点，则，，，，，证明，则，可得，证明，则，可得，，由，，可得，即，为定值，进而可判断B的正误；当，联立得方程组，可求得，，由，，可得，进而可判断选项C的正误；根据 ，可知当时，的面积有最小值，为，进而可判断选项D的正误． 【详解】解：设，，其中，， 联立得，即， ∴，， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 直线的解析式为． 令，得， 直线与轴交点的坐标为． 同理可得，直线的解析式为，直线与轴交点的坐标为． ∴， 直线，与轴的交点关于轴对称，即直线，关于轴对称，故选项A正确； 如图，过点作轴于点，过点作轴于点，则，，，，， 又∵， ∴， ∴， 解得， 由对称可知，为的角平分线， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴ ， ， ∵， ∴， ∴，即为定值，故选项B错误； 当，联立得方程组， 解得，或； ∴，， ∴，， ∴，故选项C正确； ∵ ， 当时，的面积有最小值，为，故选项D正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合，一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的根与系数的关系等知识．熟练掌握二次函数与一次函数综合，一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 5．A 【分析】本题考查二次函数图像与性质，涉及二次函数与线段交点问题，读懂题意，数形结合，作出图形，由线段与抛物线只有一个公共点即可得到，从而得到答案，根据题意作出图形、数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点， ， 作，如图所示：    在上，即，解得或， 点，，若线段与抛物线只有一个公共点， ，即四个选项中只有满足范围， 故选：A． 6．B 【分析】取点H（6,0）,连接PH,由待定系数法可求抛物线解析式,可得点C坐标, 可得⊙C半径为4,由三角形中位线的定理可求OD=PH, 当点C在PH上时,PH有最大值,即可求解． 【详解】如图,取点H（6,0）,连接PH, ∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过原点,与x轴的另一个交点为A（﹣6,0）, ∴, 解得:, ∴抛物线解析式为：y＝﹣, ∴顶点C（﹣3,4）, ∴⊙C半径为4, ∵AO＝OH＝6,AD＝BD, ∴OD＝PH, ∴PH最大时,OD有最大值, ∴当点C在PH上时,PH有最大值, ∴PH最大值为＝3+ ＝3+, ∴OD的最大值为: , 故选B． 【点睛】本题主要考查了切线的性质,二次函数的性质,三角形中位线定理等知识,解决本题的关键是要熟练掌握二次函数性质和三角形中位线的性质. 7． 【分析】首先构造辅助线与全等三角形，将转化为；再用代数表达式表示的长度；最后通过二次函数的性质求的最小值，即的最小值． 【详解】 过B作，使，连接、． 由，得，； 又，设，则． 由旋转性质，得，， ， ，故． 在中，， 由勾股定理得，在中， 代入、，化简得： 当时，取最小值24，故，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形、勾股定理、二次函数最值．解题关键为将线段最值转化为代数表达式的最值，结合取值范围求解．注意全等三角形的对应关系混淆，或代数化简时计算错误． 8． 【分析】本题考查了二次函数的图象，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，关键在于把求最小值转化为求的最小值；连接，过点P作于点G，连接，过点A作于点H；由B、C的坐标得，则有，从而；于是求最小值转化为求的最小值；利用勾股定理即可求得最小值． 【详解】解：连接，过点P作于点G，连接，过点A作于点H，如图， ， ， ， ， ∴， 的最小值为的长， ∵， ， 在中， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 9． 【分析】过作轴交直线于，由等腰三角形的判定及性质、勾股定理得，设，则，则有，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：过作轴交直线于， 轴， ， 对于， 当时，， 当时，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 当时，， ． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，勾股定理，等腰三角形的判定及性质；能将求的最小值转化为求的最小值是解题的关键． 10． 【分析】本题考查了二次函数的最值及二次函数的图像上点的坐标特征，最后根据二次函数的性质求最值是解题的关键．设点P的坐标为，，根据四边形的周长得到：，再由二次函数的性质即可求得最大值． 【详解】解：设点P的坐标为，， 由题意可知：四边形的周长， ∴， 当时，C有最大值． 故答案为：． 11．12 【分析】本题考查了二次函数的性质，利用了抛物线的对称性得到，即可求解，解题关键是把求四边形的周长转化为三角形的周长值． 【详解】解：由题意知，对称轴为直线，抛物线经过原点，与轴负半轴交于点， ∴， ∵由抛物线的对称性知， ∵的周长为， ∴， ∴四边形的周长为， 故答案为：． 12． 【分析】先求得点A、B、C、D的坐标，作点D关于y轴的对称点H，连接交y轴的交点E，交圆C于点F，则为最小值，求解即可求解． 【详解】解：令，则， ∴， 令，由，得，， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线，点A关于抛物线对称轴的对称点为点D， ∴， 作点D关于y轴的对称点H，连接交y轴的交点E，交圆C于点F，则， ∴为最小值， ∵， ∴的最小值为， 故答案为：； 【点睛】本题考查抛物线与坐标轴的交点问题、二次函数的图象与性质、两点距离坐标公式、最短路径问题，熟练掌握轴对称性质和圆的性质确定最短路径问题是解答的关键． 13．(1) (2)点P (3) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质. （1）由待定系数法即可求解； （2）点D关于抛物线的对称轴的对称点为点C，连接交抛物线对称轴于点P，则点P为所求点，然后求出点P的坐标即可； （3）过点Q作轴交于点H，求出直线的表达式为：，设点，则点，根据表示出三角形的面积，然后求出最大值即可． 【详解】（1）解：把，代入， ∴， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：把代入得：， ∴， ∵， ∴点D关于抛物线的对称轴的对称点为点C，连接交抛物线对称轴于点P，连接，如图所示： 则， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， ∵为定值， ∴此时的周长最小， 则点P为所求点， 设直线的函数表达式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的表达式为：， 抛物线的对称轴为直线， 把代入得，， 即点； （3）解：过点Q作轴交于点H，如图所示： 令， 解得：，， ∴点， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的表达式为：， 设点，则点， 则， 则 ， ∵， ∴当时，面积的最大值为． 14．(1)； (2)有最大值，且最大值为 (3)或 【分析】（1）令，即可求得点A、B的坐标；令即可求得点C的坐标；再用待定系数法即可求得直线的解析式； （2）过点P作轴交于点M，过点A作交y轴于点N，证明，则可求得；再证明，由相似三角形的性质得；设，则可得的表达式，求得其最大值； （3）由题意得，分点D在线段上或点D在线段的延长线上两种情况考虑，利用三角形相似的性质，求出的长，即可求得点D的坐标． 【详解】（1）解：令， 解得：， ∴， 令得， ∴； 设直线的解析式为， 把B、C的坐标分别代入得，解得， ∴直线的解析式为， 故答案为：；； （2）解：有最大值； 如图，过点P作轴交于点M，过点A作交y轴于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴； ∵轴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，且最大值为； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点D在线段上时， 如图，过点D作轴于点H， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点D在线段的延长线上时， 如图，过点D作轴于点H， 同理得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，点D的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合运用，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的判定，求一次函数的解析式及勾股定理等知识，根据题意作出辅助线，进行分类讨论，是解题的关键． 15．(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （）求出点坐标，再利用待定系数法解答即可求解； （）设点，可得，，即得，再根据二次函数的性质解答即可求解； 【详解】（1）解：∵直线过点，点在轴上， ，   又， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，设点， ∵轴，轴， ∴，， ，， ， ∵点在直线上方的抛物线上运动， ， ∴当时，取得最大值，最大值为． 16．(1) (2)或 (3)， 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）连接，，根据的垂直平分线恰好经过点C得到．设，根据两点间距离公式得到，，由列出方程，求解即可． （3）过作轴交于，由待定系数法得直线解析式为，设，，由可求出，由三角形面积得，即可求解；取关于轴的对称点，连接交轴于点，此时，，，即最小值为的长，即可求解． 【详解】（1）解：设二次函数的函数表达式为， 二次函数的图象经过点，，且与y轴交于点， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为． （2）解：连接，， ∵的垂直平分线恰好经过点C， ∴， ∵二次函数为， ∴对称轴为， 设， ∵，， ∴， ， ∵， ∴， 解得 ∴点E的坐标为或． （3）解：过作轴交于， 设直线的解析式为， 将代入得， ， 解得， 直线解析式为， 设，则， ， ， ， ，解得， ∴ 点． 取关于轴的对称点， ， 连接交轴于点， 此时， ， ，即最小值为的长， ， ， 最小值为， 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， 直线的解析式为， 当时，， 解得， ． 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法，垂直平分线的性质，勾股定理，轴对称的性质，两点之间线段最短，掌握相关知识是解题的关键． 17．(1) (2)最大值为， (3)或 【分析】（1）把，代入，求的值即可； （2）先求直线的解析式，设，，求出关于的关系式．延长交轴于点，证明是等腰直角三角形，得到，再求出关于的关系式，即可求解的最大值及此时点的坐标； （3）先求出新抛物线的解析式，设，，分，，为对角线，分类讨论即可． 【详解】（1）解：把，代入得， ，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 把，代入得， ，解得， 直线的解析式为． 直线与抛物线相交于、两点， ， 解得或， ． 设，， ， 且， ． 如图，延长交轴于点， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． ，开口向下， 该函数图象有最大值， 对称轴为直线， 且在中， 当时，取最大值，为． 把代入中得，， ； （3）解：由题意得新抛物线的解析式为：， 对称轴为轴，即直线， 设，， ①若为对角线， ，解得， 把代入中得，， ； ②若为对角线， ，解得， 把代入中得，， ； ③若为对角线， ，解得， 把代入中得，， ； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式、一次函数的解析式、二次函数的性质、平行四边形的性质，解题的关键是能够熟练应用待定系数法求得二次函数和一次函数的解析式． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $