专题06 探索直线平行的条件（7大题型+过关训练）-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（北师大版2024）

专题06 探索直线平行的条件 目录 【题型一 同位角、内错角、同旁内角的概念辨析】 1 【题型二 平行公理及其推论的应用】 2 【题型三 添加条件使两直线平行】 3 【题型四 同位角相等、内错角相等、同旁内角互补两直线平行】 4 【题型五 用直尺 三角板画平行】 5 【题型六 与三角板有关的角度问题】 6 【题型七 证明两直线平行】 7 【题型一 同位角、内错角、同旁内角的概念辨析】 例题：（24-25七年级下·全国·随堂练习）和是同位角的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·云南昆明·期末）下列判断错误的是(　　) A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同位角 2．（22-23七年级下·黑龙江绥化·期中）如图，的同旁内角是 ，的内错角是 ，的同位角是 ．    【题型二 平行公理及其推论的应用】 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法： ①在同一平面内，不相交的两条线段叫做平行线； ②过一点，有且只有一条直线平行于已知直线； ③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等； ④同旁内角相等，两直线平行． 正确的个数有（）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，已知直线，将一块直角三角板按如图所示方式放置，若，则 ． 【题型三 添加条件使两直线平行】 例题：（23-24九年级下·河北石家庄·开学考试）老师在黑板上画出如图所示的图形，要求学生添加条件，使得，随后抽取了四名学生的答案纸展示如下： 甲：； 乙：； 丙：； 丁：． 则不能得到的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式训练】 1．（24-25八年级上·陕西汉中·阶段练习）如图，已知，点，分别在射线，上，点为内一点，连接，，不添加辅助线，请添加一个条件使得，则可添加为 ．（写出一个即可） 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知，要使，还需添加一个条件，你想添加的条件是 ． 【题型四 同位角相等、内错角相等、同旁内角互补两直线平行】 例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，下列条件中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·江苏无锡·开学考试）如图，点在的延长线上，点在的延长线上，下列条件：①，②，③，其中能判断的是（   ） A．①②③ B．①③ C．②③ D．①② 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图①是公园的一个健身器材，如图②是该器材的正面示意图，若该器材的标准为，则在以下三组数据中：①，；②；③，．满足要求的是 ．（请填写序号） 【题型五 用直尺 三角板画平行】 例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，是一个由边长为1的小正方形组成的的网格纸，三角形的三个顶点均在格点上，根据下列要求完成以下操作： (1)过点作的平行线； (2)过点作直线的垂线，垂足为，则点到直线的距离为线段______的长度． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）在如图所示的正方形网格中，网格中纵向和横向线段的交点叫做格点，点、、均在格点上．按下述要求画图（仅用无刻度直尺）： (1)过点画的平行线； (2)在线段上画一点，使得； (3)线段、这两条线段大小关系是_______（用“<”号连接），理由是______． 2．（23-24七年级下·贵州遵义·期中）如图，点P是内一点． (1)按下列要求画出图形． ①过点P画的垂线，垂足为点D； ②过点P画交于点E；过点P画交于点F； (2)在（1）所画出的图形中，若，求和的度数． 【题型六 与三角板有关的角度问题】 例题：（21-22七年级下·浙江湖州·期中）将直角三角板按照如图方式摆放，直线ab，∠1＝132°，则∠2的度数为（    ） A．38° B．42° C．45° D．48° 【变式训练】 1．（2024九年级上·河南安阳·学业考试）将一副三角板按如图所示摆放，过点E作直线，过点F作直线，且．若，则 ． 2．（22-23七年级下·甘肃庆阳·期末）将一副直角三角板按如图所示的方式放置，若，求证：．    【题型七 证明两直线平行】 例题：（24-25七年级下·全国·期中）补全下面的推理依据． 如图，已知，，试说明： 解：因为（已知）， 所以（________）， 所以（________）． 因为（已知）， 所以（________）． 所以（________）． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，点在上，，，且．求证：． 2．（24-25八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，是的平分线，交边于点，在上取点，连接，使． (1)求证：； (2)当，时，求的度数． 一、单选题 1．（24-25七年级上·吉林四平·期末）如图，木工师傅用图中的角尺画平行线的依据是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，是的中线，E，F分别在上和延长线上，且，连接，，下列结论不正确的是（　　） A． B．和面积相等 C． D． 4．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，，，则，与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，直线，被直线所截，给出下列条件：①；②；③；④．其中能判定的是（   ） A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题 6．（22-23七年级下·陕西渭南·期末）如图，给出以下结论：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同位角；④与是内错角．其中正确的是 ．（填序号）    7．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，已知直线被直线所截，则和 是同位角，和 是内错角，和 是同旁内角． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）生活情境·丁字尺 绘图员画图时经常使用丁字尺，丁字尺分尺头、尺身两部分，尺头的里边和尺身的上边应平直，并且一般互相垂直，也有把尺头和尺身用螺栓连接起来，可以转动尺头，使它和尺身成一定的角度．用丁字尺画平行线的方法如下面的三个图所示．画直线时要按住尺身，推移丁字尺时必须使尺头靠紧图画板的边框．利用丁字尺画平行线的理论依据是 ． 9．（23-24七年级上·山西临汾·期末）如右图，已知条件：①；②；③；④；其中能够判定直线的是 ．（只填序号） 10．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，平分，平分，则 ． 三、解答题 11．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，直线，相交于点，平分，平分，，垂足为，试说明：． 12．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，已知，平分，交直线于点F，若，则与平行吗？请说明理由． 补全以下解题过程： 解：平行．理由如下： 因为，平分， 所以__________=__________°（角平分线的定义） 又因为， 所以____________________， 所以（__________）． 13．（24-25八年级上·河南南阳·期中）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 14．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）将一副直角三角尺和按如图所示方式放置，其中，若，试判断与的位置关系，并说明理由． 15．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）用无刻度直尺在网格中画图（图中的点都在网格的格点上）： (1)过点画直线，使得且，标出点的位置（请用铅笔或黑色水笔加黑加粗）； (2)在直线上画出点，使最小． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 探索直线平行的条件 目录 【题型一 同位角、内错角、同旁内角的概念辨析】 1 【题型二 平行公理及其推论的应用】 3 【题型三 添加条件使两直线平行】 5 【题型四 同位角相等、内错角相等、同旁内角互补两直线平行】 7 【题型五 用直尺 三角板画平行】 9 【题型六 与三角板有关的角度问题】 12 【题型七 证明两直线平行】 14 【题型一 同位角、内错角、同旁内角的概念辨析】 例题：（24-25七年级下·全国·随堂练习）和是同位角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同位角的概念：两条直线被第三条直线所截而形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同侧，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、和不是同位角，故该选项不符合题意； B、和是同位角，故该选项符合题意； C、和不是同位角，故该选项不符合题意； D、和不是同位角，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·云南昆明·期末）下列判断错误的是(　　) A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同位角 【答案】C 【分析】此题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，根据同位角、内错角、同旁内角的定义进行解答即可． 【详解】解：A、与是同旁内角，故此选项不符合题意； B、与是内错角，故此选项不符合题意； C、与不是同旁内角，故此选项符合题意； D、与是同位角，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．（22-23七年级下·黑龙江绥化·期中）如图，的同旁内角是 ，的内错角是 ，的同位角是 ．    【答案】 【分析】两直线被第三条直线所截，同位角位于两直线同侧，第三条直线的同旁；内错角位于两直线之间，第三条直线的两侧；同旁内角位于两直线之间，第三条直线的同侧． 【详解】解：由图可得：的同旁内角是； 的内错角是； 的同位角是， 故答案为：；；． 【点睛】本题涉及到三线八角的知识，熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是关键． 【题型二 平行公理及其推论的应用】 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法： ①在同一平面内，不相交的两条线段叫做平行线； ②过一点，有且只有一条直线平行于已知直线； ③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等； ④同旁内角相等，两直线平行． 正确的个数有（）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】此题主要考查了平行线的判定与性质以及平行公理等知识，正确把握相关定理是解题关键．分别根据平行线的判定以及平行线定义和平行公理分析得出即可． 【详解】解：①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故原命题错误； ②过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线，故原命题错误； ③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原命题正确； ④同旁内角互补，两直线平行，故原命题错误． 综上分析可知：正确的有1个． 故选：A． 【变式训练】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．过点作，根据平行公理得出，根据平行线的性质得出，，求出结果即可． 【详解】解：过点作，如图所示： ∵， ， ，， ． 故选：A． 2．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，已知直线，将一块直角三角板按如图所示方式放置，若，则 ． 【答案】/34度 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，角的和差等相关知识，作，则，则，然后根据平行线的性质和角度和差即可求解，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】如图，作，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型三 添加条件使两直线平行】 例题：（23-24九年级下·河北石家庄·开学考试）老师在黑板上画出如图所示的图形，要求学生添加条件，使得，随后抽取了四名学生的答案纸展示如下： 甲：； 乙：； 丙：； 丁：． 则不能得到的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等，得两直线平行；内错角相等，得两直线平行；同旁内角互补，得两直线平行；据此逐项分析，即可作答． 【详解】解：甲、当时，由同旁内角互补，两直线平行得，故不符题意； 乙、当时，由内错角相等，两直线平行得，故不符合题意； 丙、当时，由同位角相等，两直线平行得，故不符合题意； 丁、当时，由内错角相等，两直线平行得，故符合题意． 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·陕西汉中·阶段练习）如图，已知，点，分别在射线，上，点为内一点，连接，，不添加辅助线，请添加一个条件使得，则可添加为 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解答本题的关键是熟练掌握平行线的判定定理．平行线判定方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．据此可得结论． 【详解】解：添加利用同位角相等，两直线平行判定； 添加利用内错角相等，两直线平行判定； 添加利用同旁内角互补，两直线平行判定． 故答案为：(答案不唯一)· 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知，要使，还需添加一个条件，你想添加的条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等两直线平行．添加：，再加上条件可得，再根据同位角相等两直线平行可得． 【详解】解：添加：， 故答案为：（答案不唯一）． 【题型四 同位角相等、内错角相等、同旁内角互补两直线平行】 例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，下列条件中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题关键．根据平行线的判定定理判断求解即可． 【详解】解：因为，所以，故A不符合题意； 因为，所以，故B不符合题意； 因为，所以，故C不符合题意； 因为，所以，故D符合题意． 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·江苏无锡·开学考试）如图，点在的延长线上，点在的延长线上，下列条件：①，②，③，其中能判断的是（   ） A．①②③ B．①③ C．②③ D．①② 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 根据平行线的判定定理判断求解即可． 【详解】解：， ， 故①符合题意； ， ， 故②不符合题意； ， ， 故③符合题意； 能判断的是①③, 故选：B． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图①是公园的一个健身器材，如图②是该器材的正面示意图，若该器材的标准为，则在以下三组数据中：①，；②；③，．满足要求的是 ．（请填写序号） 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了平行线的判定，熟悉掌握判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定方法逐一判断即可． 【详解】①，同旁内角互补，两直线平行，则，满足要求； ②，无法判定，不满足要求； ③，同旁内角互补，两直线平行，则，满足要求； 综上所述：①③符合要求； 故答案为：①③． 【题型五 用直尺 三角板画平行】 例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，是一个由边长为1的小正方形组成的的网格纸，三角形的三个顶点均在格点上，根据下列要求完成以下操作： (1)过点作的平行线； (2)过点作直线的垂线，垂足为，则点到直线的距离为线段______的长度． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析， 【分析】本题考查画垂线和平行线： （1）根据平行线的定义，过点画即可； （2）根据垂线的定义，画出垂线，根据点到直线的距离为垂线段的长，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． （2）如图，直线即为所求． 点到直线的距离为线段的长． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）在如图所示的正方形网格中，网格中纵向和横向线段的交点叫做格点，点、、均在格点上．按下述要求画图（仅用无刻度直尺）： (1)过点画的平行线； (2)在线段上画一点，使得； (3)线段、这两条线段大小关系是_______（用“<”号连接），理由是______． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)，垂线段最短 【分析】本题主要考查了画平行线，画垂线，垂线段最短等知识点，熟练掌握利用网格画垂线、平行线是解题的关键． （1）按照画平行线的方法作图即可； （2）按照画垂线的方法作图即可； （3）根据垂线段最短即可解答． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求作； （2）解：如图，点即为所求作； （3）解：线段、这两条线段大小关系是：，理由是：垂线段最短， 故答案为：，垂线段最短． 2．（23-24七年级下·贵州遵义·期中）如图，点P是内一点． (1)按下列要求画出图形． ①过点P画的垂线，垂足为点D； ②过点P画交于点E；过点P画交于点F； (2)在（1）所画出的图形中，若，求和的度数． 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】本题主要考查了画平行线，垂线，平行线的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握平行线的性质． （1）按要求画图即可； （2）根据平行线的性质得出，，根据直角三角形两锐角互余求出即可． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【题型六 与三角板有关的角度问题】 例题：（21-22七年级下·浙江湖州·期中）将直角三角板按照如图方式摆放，直线ab，∠1＝132°，则∠2的度数为（    ） A．38° B．42° C．45° D．48° 【答案】B 【分析】过直角三角形板的直角顶点作，先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质即可得． 【详解】解：如图，过直角三角形板的直角顶点作， ， ， ， ， ， 又， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质、平行公理推论，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 【变式训练】 1．（2024九年级上·河南安阳·学业考试）将一副三角板按如图所示摆放，过点E作直线，过点F作直线，且．若，则 ． 【答案】45 【分析】本题主要考查平等线的判定与性质，根据题意得，再证明，由平行线的性质可得结论． 【详解】解：如图， 由题意得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：45． 2．（22-23七年级下·甘肃庆阳·期末）将一副直角三角板按如图所示的方式放置，若，求证：．    【答案】见解析 【分析】根据可得出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：证明：，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟知内错角相等，两直线平行是解题的关键． 【题型七 证明两直线平行】 例题：（24-25七年级下·全国·期中）补全下面的推理依据． 如图，已知，，试说明： 解：因为（已知）， 所以（________）， 所以（________）． 因为（已知）， 所以（________）． 所以（________）． 【答案】内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定与性质等知识点，熟记平行线的判定与性质是解题关键．先根据平行线的判定可得，再根据平行线的性质可得，然后根据等量代换可得，最后根据平行线的判定即可得证． 【详解】证明：∵（ 已知 ）， ∴（ 内错角相等，两直线平行 ）， ∴（两直线平行，内错角相等 ）． ∵（ 已知 ）， ∴（ 等量代换）． ∴（ 同位角相等，两直线平行 ）． 故答案为：内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，点在上，，，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．先由同角的补角得到，进而利用全等证明，即可证明． 【详解】证明：，， ， 在和中， ， ， ， ． 2．（24-25八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，是的平分线，交边于点，在上取点，连接，使． (1)求证：； (2)当，时，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角和内角和定理以及平行线的判定及性质． （1）根据平分，得到，再由等量代换推出，根据“内错角相等，两直线平行”即可得证． （2）先根据平行线的性质求出的度数，然后根据三角形内角和定理求出的度数，由平分推出的度数，最后根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）∵， ∴ 在中，， ∴， 又∵平分， ∴ ∴． 一、单选题 1．（24-25七年级上·吉林四平·期末）如图，木工师傅用图中的角尺画平行线的依据是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线的判定的应用，根据同位角相等，两直线平行可得答案． 【详解】解：木工师傅用图中的角尺画平行线的依据是： 同位角相等，两直线平行． 故选：B 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行公理推论，平行线的性质，过作，则，根据平行线的性质得，，然后利用角度和差即可求解，掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴, 故选：． 3．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，是的中线，E，F分别在上和延长线上，且，连接，，下列结论不正确的是（　　） A． B．和面积相等 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形中线、全等三角形的判定和性质、平行线的判定和角平分线的定义，根据题意得，利用即可证明；利用的边和的边上的高相同，和面积相等；由于不一定是的角平分线，则和不一定相等；由于，则有． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴，选项A正确，不符合题意； ∵， 的边和的边上的高相同， ∴和面积相等，选项B正确，不符合题意； ∵是的中线， ∴不一定是的角平分线， ∴和不一定相等，选项C不正确，符合题意； ∵， ∴， ∴，选项D正确，不符合题意， 故选：C． 4．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，，，则，与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，添加平行线是解题的关键．过点E作，过点F作，根据平行线的性质可求得，，，所以，再证明，即可代入得到答案． 【详解】过点E作，过点F作， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，直线，被直线所截，给出下列条件：①；②；③；④．其中能判定的是（   ） A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，理解并掌握平行线的性质是解题关键．根据同位角相等两直线平行，即可判断①；根据内错角相等两直线平行，即可判断②；根据对顶角相等和同旁内角互补两直线平行，即可判断③；根据对顶角相等和同旁内角互补两直线平行，即可判断④，综合即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵， 又∵， ∴， ∴，故③正确； ∵，， 又∵， ∴， ∴，故④正确， 综上可得：能判断的条件是①②③④． 故选：D． 二、填空题 6．（22-23七年级下·陕西渭南·期末）如图，给出以下结论：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同位角；④与是内错角．其中正确的是 ．（填序号）    【答案】①③④ 【分析】根据对顶角，同位角，内错角，同旁内角的定义分析即可． 【详解】①与是对顶角，故①正确； ②与是对顶角，故②错误； ③与是同位角，故③正确； ④与是内错角，故④正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了对顶角，同位角，内错角，同旁内角的定义，正确理解定义是解答本题的关键． 7．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，已知直线被直线所截，则和 是同位角，和 是内错角，和 是同旁内角． 【答案】 【分析】本题考查了三线八角的识别，理解并掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键． 根据同位角、内错角、同旁内角的定义，图形结合分析即可求解． 【详解】解：与是同位角，与是内错角，与是同旁内角， 故答案为：①；②；③ ． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）生活情境·丁字尺 绘图员画图时经常使用丁字尺，丁字尺分尺头、尺身两部分，尺头的里边和尺身的上边应平直，并且一般互相垂直，也有把尺头和尺身用螺栓连接起来，可以转动尺头，使它和尺身成一定的角度．用丁字尺画平行线的方法如下面的三个图所示．画直线时要按住尺身，推移丁字尺时必须使尺头靠紧图画板的边框．利用丁字尺画平行线的理论依据是 ． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查画平行线，根据同位角相等，两直线平行，作答即可． 【详解】解：根据丁字尺的构造和画平行线的方法，可知，理论依据为：同位角相等，两直线平行； 故答案为：同位角相等，两直线平行． 9．（23-24七年级上·山西临汾·期末）如右图，已知条件：①；②；③；④；其中能够判定直线的是 ．（只填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了平行线的判定和平行线有关的辅助线，根据各选项逐项判定即可． 【详解】解：若，根据内错角相等两直线平行可得，故①符合题意； 若，根据同旁内角互补两直线平行可得，故②符合题意； 若， ∵ ∴，根据同位角相等两直线平行可得，故③符合题意； 若， 过点C作直线b， 则， 由已知，， ∴， ∴直线a， ∴， 故④符合题意； 故答案为：①②③④ 10．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，平分，平分，则 ． 【答案】/90度 【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键．过点作，先根据平行线的性质可得，，再根据角平分线的定义可得，，从而可得，然后根据角的和差、等量代换求解即可得． 【详解】解：如图，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，直线，相交于点，平分，平分，，垂足为，试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，垂直的定义，熟悉掌握平行线的判定方法是解题的关键． 利用角平分线的定义证出的度数，再通过同位角的关系去判定即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 12．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，已知，平分，交直线于点F，若，则与平行吗？请说明理由． 补全以下解题过程： 解：平行．理由如下： 因为，平分， 所以__________=__________°（角平分线的定义） 又因为， 所以____________________， 所以（__________）． 【答案】；60；；；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义，先因为，平分，得，结合，则，即可证明． 【详解】解：解：平行．理由如下： 因为，平分， 所以（角平分线的定义） 又因为， 所以， 所以（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：；60；；；同位角相等，两直线平行． 13．（24-25八年级上·河南南阳·期中）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，学会利用全等三角形的性质解决问题． （1）利用可证明，可得，便可证得； （2）根据全等三角形的性质可知，推出，由此即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵ ∴ 在和中， ， ∴ ∴ ∴； （2）解：∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 14．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）将一副直角三角尺和按如图所示方式放置，其中，若，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】此题考查了平行线的判定，根据平角的定义得到，则，根据内错角相等，两直线平行即可得到结论． 【详解】解：． 理由：∵点在上， ． ∵， ， ∴（内错角相等，两直线平行）． 15．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）用无刻度直尺在网格中画图（图中的点都在网格的格点上）： (1)过点画直线，使得且，标出点的位置（请用铅笔或黑色水笔加黑加粗）； (2)在直线上画出点，使最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了画平行线，画垂线，垂线段最短； （1）根据题意过点画直线，使得且，即可求解； （2）根据垂线段最短，找到的格点，连接，则交点为，则点即为所求； 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求； ∵ ∴当垂足时，最小， 1 学科网（北京）股份有限公司 $$