专题05 两直线的位置关系（8大题型+过关训练）-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（北师大版2024）

专题05 两直线的位置关系 目录 【题型一 对顶角、邻补角的定义】 1 【题型二 对顶角相等】 2 【题型三 垂线的定义及画法】 2 【题型四 垂线段最短】 3 【题型五 点到直线的距离】 4 【题型六 垂直的实际应用】 5 【题型七 与余角、补角有关的计算】 6 【题型八 同（等）角余（补）角相等的应用】 6 【题型一 对顶角、邻补角的定义】 例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）下列选项中，与是对顶角的是（   ） A．   B．   C．   D．   【变式训练】 1．（24-25七年级上·广东江门·期末）已知，则的补角等于（   ） A． B． C． D． 2．（21-22七年级上·全国·课后作业）四条直线两两相交，则图形中共有 对对顶角（平角除外）；有 对邻补角． 【题型二 对顶角相等】 例题：（24-25八年级上·黑龙江绥化·期中）已知与为对顶角，，则的补角的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，两条直线相交于一点，如果，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，直线相交于点O，，，则 ． 【题型三 垂线的定义及画法】 例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，直线，相交于点，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·贵州黔南·期末）过点P作直线l的垂线，下面三角板的摆放正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，点A，O，B在同一条直线上，若，，则图中互余的角共有 对． 【题型四 垂线段最短】 例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，天然气主管道的同侧有，两个小区，某市计划从主管道引一条支管道连接，两小区，下面的四个铺设方案中，所引天然气支管道长度最短的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法：①连接一点与直线上各点的线段中，垂线段最短；②直线，相交于点O，若，则；③相等的角是对顶角；④过直线l外一点P作于点Q，则线段的长度是点P到直线l的距离，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，点A，B，C，D，E在直线l上，点P在直线l外，于点C，在线段，，，，中，最短的一条线段是 ． 【题型五 点到直线的距离】 例题：（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，三角形中，，于点，若，，，则点到直线的距离是（   ） A． B．3 C．4 D．5 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知P为直线m外一点，A，B，C为直线m上三点，，，，则点P到直线m的距离为（   ） A． B． C．小于 D．不大于 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，在三角形中，，，垂足为．若，，，则点A到直线的距离为 ，点到直线的距离为 ，点到直线的距离为 ． 【题型六 垂直的实际应用】 例题：（24-25七年级上·全国·单元测试）如图是人行横道的示意图，若从点P通过马路，通过测量在四条路线中，距离最短的路线是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·贵州六盘水·期中）六盘水市年初中毕业生体育考试实行综合性结构评价，现目标效果测试项目第一类：立定跳远（男、女），分值分．体育课上，老师正在给准备参加体育中考的学生模拟测试立定跳远，成绩的示意图如图，即的长为丽丽同学的跳远成绩，其依据是（    ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2．（24-25七年级上·广东珠海·期末）下列三种现象中，可以用“两点之间，线段最短”来解释的现象是 (填序号)． 【题型七 与余角、补角有关的计算】 例题：（24-25七年级下·全国·随堂练习）若与互余，与互补，，则与的度数分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练】 1．（24-25七年级上·河南许昌·期末）将一副三角板按如图所示叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，此时，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，如果，时，那么的度数是 °． 【题型八 同（等）角余（补）角相等的应用】 例题：（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，若，则有，其依据是（   ） A．同角的余角相等 B．同角的补角相等 C．互为余角的两个角相等 D．互为余角的两个角的和为90° 【变式训练】 1．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，点是射线上一点，过作，作，垂足为，以下结论中：①是的余角；②；③图中互余的角共有对；④，正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 2．（24-25七年级上·河北唐山·期末）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，若，则等于 ．    一、单选题 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）一个角的补角比它的余角的3倍还多，则这个角的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列说法正确的有（   ） ①不相交的两条直线是平行线； ②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线； ③两条射线或线段平行，是指它们所在的直线平行； ④不相交的两条射线一定平行． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（24-25七年级上·天津滨海新·期末）如图，点在同一条直线上，射线和在直线的同侧，，分别是和的平分线．有下列结论： ①； ②与互余； ③的补角有两个； ④． 其中，正确的结论为 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 4．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，点在直线上，，若，则的补角的大小为（    ）    A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中与不相等的图形为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25七年级上·四川资阳·期末）如图，已知直线相交于点O，，，则的余角为 °．    7．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，为直线上一点，射线平分，射线平分，且，则的度数为 ． 8．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，运动会上，小明以直线为起跳线，两脚落在点P处，甲、乙两名同学测得小明的跳远成绩分别为米，米，则小明的真实成绩为 米． 9．（24-25七年级上·福建厦门·期末）如图，为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，各学习小组经过讨论后得到以下结论：①与互余；②；③与互补；④．则在下列选项中，正确的是 ． 10．（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图所示，将一副三角板摆放在一起，使一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若，则的补角是 ． 三、解答题 11．（24-25七年级上·福建福州·期末）若一个锐角的度数为，且这个锐角比它的余角小． (1)这个锐角的余角为______（用含的式子表示）； (2)求这个锐角的度数． 12．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，直线，相交于点，． (1)若，求的度数； (2)若，求和的度数． 13．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，射线、、、分别表示东、南、西、北方向，已知． (1)图中与互余的角是______； (2)图中与互补的角是______； (3)如果，那么点在点的______方向． 14．（24-25七年级上·四川资阳·期末）如图，于点，射线，的方向如各图所示，． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，射线平分．若，求，的度数； (3)如图3，射线平分，若，用含的代数式表示，的度数． 15．（24-25七年级上·云南曲靖·期末）如图，O是直线上一点，以O为顶点作，且，位于直线两侧，平分． (1)当时，求的度数； (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 两直线的位置关系 目录 【题型一 对顶角、邻补角的定义】 1 【题型二 对顶角相等】 3 【题型三 垂线的定义及画法】 4 【题型四 垂线段最短】 6 【题型五 点到直线的距离】 8 【题型六 垂直的实际应用】 9 【题型七 与余角、补角有关的计算】 11 【题型八 同（等）角余（补）角相等的应用】 13 【题型一 对顶角、邻补角的定义】 例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）下列选项中，与是对顶角的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了对顶角的概念．根据对顶角的概念可知，互为对顶角的两个角的两边应互为反向延长线，从而可判定满足条件的选项． 【详解】解：A. 与不是对顶角； B. 与不是对顶角； C. 与不是对顶角； D. 与是对顶角． 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·广东江门·期末）已知，则的补角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了补角的知识，掌握互补两角之和等于是解题的关键．利用互补两角和为，求解即可． 【详解】解：互补两角和为， 的互补角为， 故选：B． 2．（21-22七年级上·全国·课后作业）四条直线两两相交，则图形中共有 对对顶角（平角除外）；有 对邻补角． 【答案】 12 24 【分析】根据对顶角、邻补角的定义得到4×3＝12对对项角，6×4＝24对邻补角． 【详解】解：∠AOC与∠BOD互为对顶角，∠AOH与∠BOG互为对顶角，∠AOF与∠BOE互为对顶角； ∠COH与∠DOG互为对顶角，∠COF与∠DOE互为对顶角，∠COB与∠DOA互为对顶角； ∠HOF与∠GOE互为对顶角，∠HOB与∠GOA互为对顶角，∠HOD与∠GOC互为对顶角； ∠FOB与∠EOA互为对顶角，∠FOD与∠EOC互为对顶角，∠FOG与∠EOH互为对顶角， ∴对顶角共有12对； ∠AOC与∠BOC互为邻补角，∠AOH与∠BOH互为邻补角，∠AOF与∠BOF互为邻补角，∠AOE与∠BOE互为邻补角，∠AOG与∠BOG互为邻补角，∠AOD与∠BOD互为邻补角； ∠COH与∠DOH互为邻补角，∠COF与∠DOF互为邻补角，∠COB与∠DOB互为邻补角，∠COA与∠DOA互为邻补角，∠COE与∠DOE互为邻补角，∠COG与∠DOG互为邻补角； ∠GOE与∠HOE互为邻补角，∠GOA与∠HOA互为邻补角，∠GOC与∠HOC互为邻补角，∠GOD与∠HOD互为邻补角，∠GOB与∠HOB互为邻补角，∠GOF与∠HOF互为邻补角； ∠EOA与∠FOA互为邻补角，∠EOC与∠FOC互为邻补角，∠EOH与∠FOH互为邻补角，∠EOG与∠FOG互为邻补角，∠EOD与∠FOD互为邻补角，∠EOB与∠FOB互为邻补角， ∴邻补角共有24对， 故答案为：12；24． 【点睛】本题考查了对顶角、邻补角的定义；仔细观察图形弄清各个角之间的对顶角关系和邻补角关系是解题的关键． 【题型二 对顶角相等】 例题：（24-25八年级上·黑龙江绥化·期中）已知与为对顶角，，则的补角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查对顶角的性质以及补角的定义，根据对顶角、补角的性质，可得，，则，从而可得结论． 【详解】解：∵与为对顶角， ∴， 又∵与是补角， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式训练】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，两条直线相交于一点，如果，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角和邻补角，根据对顶角相等可得：，又因为，可以求出，根据邻补角定义可得：，所以可得：． 【详解】解：，， ， 又， ， 故选：A． 2．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，直线相交于点O，，，则 ． 【答案】35 【分析】本题考查了对顶角相等，角的和差计算，掌握对顶角相等是解题的关键． 根据对顶角相等得到，再由角度和差计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：35． 【题型三 垂线的定义及画法】 例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，直线，相交于点，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了几何图形中的角度计算问题，利用邻补角互补求角度，垂线的定义等知识点，熟练掌握几何图形中的角度计算问题是解题的关键． 利用邻补角互补可得，由可得，然后根据即可求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·贵州黔南·期末）过点P作直线l的垂线，下面三角板的摆放正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂线，根据垂线的定义，即可解答． 【详解】解：过点作的垂线，三角板的放法正确的是 故选：A． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，点A，O，B在同一条直线上，若，，则图中互余的角共有 对． 【答案】4 【分析】本题考查的是互余的含义，垂直的定义，根据垂直的定义可得，，，可得，进一步可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴互余的角共有4对． 故答案为： 【题型四 垂线段最短】 例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，天然气主管道的同侧有，两个小区，某市计划从主管道引一条支管道连接，两小区，下面的四个铺设方案中，所引天然气支管道长度最短的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点间线段最短可得B方案小于C，D方案，再根据垂线段最短得到B方案小于A方案即可解题． 【详解】解：根据垂线段最短和两点间线段最短，可得所引天然气支管道长度最短的是B选项， 故答案为：B． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法：①连接一点与直线上各点的线段中，垂线段最短；②直线，相交于点O，若，则；③相等的角是对顶角；④过直线l外一点P作于点Q，则线段的长度是点P到直线l的距离，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂线段的性质，点到直线的距离，对顶角定义，解题的关键是理解相关定义．根据垂线段定义，垂线段性质，点到直线的距离，逐项进行判断即可． 【详解】解：连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短，①说法错误； 当两条直线相交所构成的四个角中有一个角为时，这两条直线互相垂直，②说法正确； 对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，③说法错误； 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离，④说法正确． 综上分析可知：说法正确的有2个． 故选B 2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，点A，B，C，D，E在直线l上，点P在直线l外，于点C，在线段，，，，中，最短的一条线段是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了对点到直线的距离的应用，点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长，根据定义即可选出答案． 【详解】解：根据点到直线的距离的定义得出线段的长是点P到直线l的距离，从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短． 故答案是：． 【题型五 点到直线的距离】 例题：（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，三角形中，，于点，若，，，则点到直线的距离是（   ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了点到直线的距离的定义，点到直线的距离∶直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离， 根据定义可知点C到直线的距离即垂线段的长即可解答． 【详解】解：∵，， ∴点C到直线的距离是， 故选A． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知P为直线m外一点，A，B，C为直线m上三点，，，，则点P到直线m的距离为（   ） A． B． C．小于 D．不大于 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离的定义，熟练掌握“直线外一点到这条直线所画的线段中，垂线段最短”是解题的关键．根据点到直线的距离是直线外的点与直线上垂足间的线段的长，再根据垂线段最短，可得答案． 【详解】解∶当时，PC是点P到直线m的距离，即点P到直线m的距离为， 当不垂直m时，点P到直线m的距离小于的长，即点P到直线m的距离小于， 综上所述：点P到直线m的距离不大于， 故选∶D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，在三角形中，，，垂足为．若，，，则点A到直线的距离为 ，点到直线的距离为 ，点到直线的距离为 ． 【答案】 4 3 【分析】本题考查了点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握点到直线的距离的定义；根据三角形等面积法求出，再根据点到直线的距离的定义即可得解． 【详解】解：， ， ， 点A到直线的距离为，点到直线的距离为，点到直线的距离为， 故答案为：4，3，． 【题型六 垂直的实际应用】 例题：（24-25七年级上·全国·单元测试）如图是人行横道的示意图，若从点P通过马路，通过测量在四条路线中，距离最短的路线是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线间垂线段最短．熟练掌握平行线间垂线段最短是解题的关键． 根据平行线间垂线段最短判断作答即可． 【详解】解：由题意知，距离最短的路线是， 故选：C． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·贵州六盘水·期中）六盘水市年初中毕业生体育考试实行综合性结构评价，现目标效果测试项目第一类：立定跳远（男、女），分值分．体育课上，老师正在给准备参加体育中考的学生模拟测试立定跳远，成绩的示意图如图，即的长为丽丽同学的跳远成绩，其依据是（    ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【分析】此题主要考查了垂线段的性质，关键是掌握性质定理． 根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答即可． 【详解】解：的长为丽丽同学的跳远成绩，其依据是根据垂线段最短． 故选：C． 2．（24-25七年级上·广东珠海·期末）下列三种现象中，可以用“两点之间，线段最短”来解释的现象是 (填序号)． 【答案】② 【分析】本题主要考查了线段的性质，分别判断三种现象，确定用“两点之间，线段最短”来解释的现象即可． 【详解】解：①跳远测量反映的是“垂线段最短”； ②投铅球测量反映的是“两点之间，线段最短”； ③木条固定反映的是“两点确定一条直线”； 所以，可以用“两点之间，线段最短”来解释的现象是②， 故答案为：②． 【题型七 与余角、补角有关的计算】 例题：（24-25七年级下·全国·随堂练习）若与互余，与互补，，则与的度数分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了互为余角互为补角的定义，若两角的和为，则两角互余；若两角的和为，则两角互补，比较简单． 本题应先求的度数，再求的度数． 【详解】解：，与互补， ， 与互余， ， 与的度数分别是和， 故选C． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·河南许昌·期末）将一副三角板按如图所示叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，此时，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了余角和补角的计算．根据，，即可推出，再根据即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：A． 2．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，如果，时，那么的度数是 °． 【答案】15 【分析】本题考查了角的计算，掌握正方形的性质和互余的定义是解决问题的关键． 利用正方形的性质得到， ，，则利用互余得到，然后利用可计算出的度数． 【详解】解：根据题意得，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：15． 【题型八 同（等）角余（补）角相等的应用】 例题：（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，若，则有，其依据是（   ） A．同角的余角相等 B．同角的补角相等 C．互为余角的两个角相等 D．互为余角的两个角的和为90° 【答案】A 【分析】本题考查的是余角的概念和性质，熟知同角的余角相等是解题关键． 根据余角的概念证明，即可得到答案． 【详解】解：， ， 既是的余角，又是的余角， ，其依据是同角的余角相等， 故选A． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，点是射线上一点，过作，作，垂足为，以下结论中：①是的余角；②；③图中互余的角共有对；④，正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】此题考查了余角和补角，根据垂直定义可得，即得，即可判断①；由得，进而根据余角性质可得，即可判断②；根据余角定义可判断③；利用余角性质可得，进而根据补角性质可得，即可判断④，掌握余角和补角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴是的余角，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴图中互余的角共有对，故③错误； ∵，， ∴， ∵，， ∴，故④正确； ∴正确的是①②④， 故选：． 2．（24-25七年级上·河北唐山·期末）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，若，则等于 ．    【答案】/度 【分析】本题主要考查了余角的定义，余角的性质：同角或等角的余角相等．根据同角的余角相等是解此题的关键．根据分别与互余，与互余即可求解． 【详解】解：， ， 即与互余，与互余， ， ， 故答案为： 一、单选题 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）一个角的补角比它的余角的3倍还多，则这个角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了互为余角与补角的性质，根据互为余角的两个角的和等于，互为补角的两个角的和等于，列出方程，然后解方程即可． 【详解】解：设这个角为α，则它的余角为，补角为， 根据题意得，， ， 解得． 故选：C． 2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列说法正确的有（   ） ①不相交的两条直线是平行线； ②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线； ③两条射线或线段平行，是指它们所在的直线平行； ④不相交的两条射线一定平行． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的认识，射线、线段、直线的认识，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：在同一平面内，不相交的两条直线是平行线，故①②是错误的； 两条射线或线段平行，是指它们所在的直线平行，故③是正确的； 不相交的两条射线不一定平行，故④是错误的； 故选：B． 3．（24-25七年级上·天津滨海新·期末）如图，点在同一条直线上，射线和在直线的同侧，，分别是和的平分线．有下列结论： ①； ②与互余； ③的补角有两个； ④． 其中，正确的结论为 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了有关角平分线的计算，角与角的和与差，余角和补角的定义，余角的性质，根据题意，准确得到角与角之间的数量关系是解题的关键．根据角平分线的定义得出，，根据求出结果即可判断①；根据余角的定义可以判断②；根据补角定义可以判断③；根据余角的性质先得出，根据即可判断④． 【详解】解：∵分别是和的平分线， ∴，， ∴ ，故①正确； ∵，， ∴， ∴与互余，故②正确； 任何一个角的补角都是只有一个，因此的补角只有一个，而图中与互补的角有和两个，故③错误； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上分析可知：正确的有①②④． 故选：B． 4．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，点在直线上，，若，则的补角的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂线以及余角和补角，根据垂直定义可得，从而利用角的和差关系可得，然后利用邻补角的定义，进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴的补角的大小为． 故选：B． 5．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中与不相等的图形为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了余角和补角，根据三角尺摆放位置分析求出与的度数，再判断相等． 【详解】解：A选项中，∵，， ∴，故A不符合题意， B选项中，∵， ∴，故B不符合题意， C选项中，∵，， ∴，故C不符合题意， D选项中，，没有其他条件可以使用，无法确定与的度数，故D符合题意， 故选：D． 二、填空题 6．（24-25七年级上·四川资阳·期末）如图，已知直线相交于点O，，，则的余角为 °．    【答案】 【分析】本题考查了对顶角的定义，以及角的和差计算．先求出的度数，再根据，可求出的度数，据此求解即可． 【详解】解：∵与是对顶角， ∴， 又∵是平角， ∴， ∵， ∴； ∴的余角为； 故答案为：． 7．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，为直线上一点，射线平分，射线平分，且，则的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】本题主要考查了几何图形中的角度计算问题，角平分线的有关计算，利用邻补角互补求角度等知识点，熟练掌握几何图形中的角度计算问题是解题的关键． 由邻补角互补可得，由射线平分可得，由邻补角互补可得，由射线平分可得，然后根据即可得出答案． 【详解】解：， ， 射线平分， ， ， 射线平分， ， ， 的度数为， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，运动会上，小明以直线为起跳线，两脚落在点P处，甲、乙两名同学测得小明的跳远成绩分别为米，米，则小明的真实成绩为 米． 【答案】 【分析】本题考查的是垂线段最短，熟知“垂线段最短”是解答此题的关键． 根据垂线段最短即可得出结论． 【详解】解：∵小明的真实成绩为点P到直线的距离， ∴小明的真实成绩为米， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·福建厦门·期末）如图，为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，各学习小组经过讨论后得到以下结论：①与互余；②；③与互补；④．则在下列选项中，正确的是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，互余的定义，互补的定义，角的和差；①由角平分线的定义得，，由角的和差得，由互余及互补的定义即可判断；②同理可得，即可判断；③由角的和差得，，即可判断；④由角的和差得，即可判断；理解角平分线的定义，互余的定义，互补的定义，能熟练用角的和差表示出所求的角是解题的关键． 【详解】解：①平分，平分， ， ， ， ， ， 与互余； 故此项正确； ②平分，平分， ， ， 为直角， ， ； 故此项正确； ③， ， ， ， ， ， ， 与互补； ， 与不互补， 故此项错误； ④平分， 平分， ， ， ， ， ， 故此项正确； 故答案为：①②④． 10．（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图所示，将一副三角板摆放在一起，使一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若，则的补角是 ． 【答案】 【分析】本题考查求一个角的补角，根据角的和差关系求出的度数，进而求出的度数，再根据和为180度的两个角互为补角，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴， ∴的补角为； 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25七年级上·福建福州·期末）若一个锐角的度数为，且这个锐角比它的余角小． (1)这个锐角的余角为______（用含的式子表示）； (2)求这个锐角的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查互余的概念及计算，掌握互余的概念及计算方法是解题的关键． （1）根据余角的计算即可； （2）根据题意，列方程求解即可． 【详解】（1）解：这个锐角的余角为； （2）解：根据题意，得， 解得， 故这个锐角的度数为． 12．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，直线，相交于点，． (1)若，求的度数； (2)若，求和的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查几何图形中角度的计算，掌握互余、互补的概念及计算是解题的关键． （1）根据，，可得，由此即可求解； （2）根据题意可得，，则有，由，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴，即， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，． 13．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，射线、、、分别表示东、南、西、北方向，已知． (1)图中与互余的角是______； (2)图中与互补的角是______； (3)如果，那么点在点的______方向． 【答案】(1)， (2)， (3)北偏东 【分析】本题考查了余角和补角，方向角，角的计算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据已知易得∶ ，从而可得，，再根据余角定义即可解答； （2）根据已知易得∶ ，再根据等式的性质可得．然后利用平角定义可得．从而可得，再根据平角定义可得，最后根据补角定义即可解答； （3）利用角的和差关系可得∶ ，然后根据方向角的定义，即可解答． 【详解】（1）解∶ ， ，， 图中与互余的角是，， 故答案为∶ ，； （2）解∶ ， ， ， ， ， ， 图中与互补的角是，， 故答案为∶ ，； （3）解：，， ， 点在点的北偏东方向． 故答案为∶北偏东． 14．（24-25七年级上·四川资阳·期末）如图，于点，射线，的方向如各图所示，． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，射线平分．若，求，的度数； (3)如图3，射线平分，若，用含的代数式表示，的度数． 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】本题考查了垂直、角平分线，熟练掌握与角平分线有关的运算是解题关键． （1）先根据垂直的定义可得，再根据可得，最后根据求解即可得； （2）先根据垂直的定义可得，从而可得，再根据角平分线的定义可得，，最后根据和求解即可得； （3）先根据垂直的定义可得，从而可得，再根据角平分线的定义可得，，最后根据和求解即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵射线平分， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵射线平分， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴． 15．（24-25七年级上·云南曲靖·期末）如图，O是直线上一点，以O为顶点作，且，位于直线两侧，平分． (1)当时，求的度数； (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了角平分线的有关计算及角之间的数量关系，补角的定义； （1）由角的和差得，由角平线的定义得，由补角的定义即可求解； （2）由角的和差得，由补角的定义得，即可求解； 理解角平分线的定义，能结合补角的定义熟练利用角的和差表示出所求的角是解题的关键． 【详解】（1）解： ，， ， 平分， ， ； （2）解：猜想：， 理由如下： ， ．， 平分， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$