第一章 整式的乘除单元培优卷【新教材】-2024-2025学年七年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（北师大版） - 副本

第一章 整式的乘除单元培优卷 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：第1章 整式的乘除，共25题； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．世界上体积最小的动物要比蚂蚁小很多很多，它是被命名为H39的原生动物，它的最长直径也不过0.00003厘米，其中0.00003用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（      ） A． B． C． D． 3．若，，则（ ） A．32 B．16 C．4 D．64 4．已知数m，n满足，则的值为（   ） A．12 B．10 C．8 D．4 5．，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．如图①，从边长为a的大正方形纸片中挖去一个边长为b的小正方形纸片后，将其沿虚线裁成两个相同的直角梯形，然后拼成一个等腰梯形（如图②），则通过计算图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式是（   ） A． B． C． D． 7．如图，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接，，若两个正方形的边长满足，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 8．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 9．多项式分解因式的结果是，则的值（      ） A． B．3 C． D． 10．已知 ，若 ，则的值为（     ） A．51 B． C．15 D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．要使的展开式中不含项，则的值为 ． 12．一个三角形的面积为，一边长为，则这条边上的高是 ． 13．计算： ． 14．新素材 我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图是他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”．此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律． 请仔细观察，填出的展开式中所缺的系数． ． 15．根据整式与整式相乘，可以得到等式：．试利用这个等式解决以下问题：如图，中，，分别以、、为边向外侧作正方形．如果、、的长分别是、、，且，，那么这三个正方形的面积和是（   ） A．70 B．107 C．60 D．83 16．已知是正整数，若，则的值为 ． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．已知，求的值． 18．先化简，再求值：，其中． 19．如图，一个柱体工件的体积为．其形状和部分尺寸如图所示，求工件的长．（用含的式子表示） 20．计算： (1)； (2)； (3)． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．如图，某市准备用一块大正方形土地来建造住宅，广场和商业用地，其中住宅区域是长为，宽为的长方形，广场区域是边长为的正方形，商业用地是长为，宽为的长方形． (1)用两种方法表示大正方形土地的面积为：①________，②________，并得出一个等式：________； (2)若，，求商业用地的面积． 22．在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“若，，求的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即，所以，所以． (1)若，，请你也利用逆向思考的方法求出的值． (2)下面是小贤用逆向思考的方法完成的一道作业题，请你参考小贤的方法解答下面的问题： 小贤的作业 计算：． 解：． ①小贤的求解方法逆用了哪一条幂的运算性质，直接写出该逆向运用的公式：______． ②计算：． 23．以下是小明化简代数式的过程： 解：原式① ② ．③ (1)解答过程中哪几步错误？原因是什么？ (2)写出正确解答过程． 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成正方形． (1)观察图2填空：正方形的边长为________，阴影部分的小正方形的边长为________； (2)观察图2，试猜想式子之间的等量关系； (3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题：设，若，求的值． 25．数学活动课上，老师准备了若干个如图（1）的三种纸片．甲种纸片是边长为的正方形，乙种纸片是边长为的正方形，丙种纸片是长为、宽为的长方形． 【观察发现】 用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成如图（2）的大正方形．观察图（2）的面积关系，写出正确的等式：______． 【操作探究】 若要拼出一个面积为的长方形，则需要甲种纸片______张，乙种纸片______张，丙种纸片______张．（所拼图形不重叠无缝隙） 【拓展延伸】 两个正方形、如图（3）摆放，边长分别为，，连接，．若，，求图中阴影部分的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 整式的乘除单元培优卷 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：第1章 整式的乘除，共25题； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．世界上体积最小的动物要比蚂蚁小很多很多，它是被命名为H39的原生动物，它的最长直径也不过0.00003厘米，其中0.00003用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查科学记数法，掌握形式为的形式，其中，为整数是关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数． 【详解】解：． 故：C． 2．计算的结果是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂的运算法则即可求解． 此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知积的乘方公式和同底数幂的除法公式． 【详解】， 故选D． 3．若，，则（ ） A．32 B．16 C．4 D．64 【答案】A 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆用．根据，然后代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 4．已知数m，n满足，则的值为（   ） A．12 B．10 C．8 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算．先将整理成，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：B． 5．，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是实数的比较大小，有两种比较方法：①将指数变相同，比较底数；②将底数变相同，比较指数. 将上述三个数的指数变为111，比较底数的大小即可得出答案. 【详解】解：因为，，． 又因为， 所以， 所以， 故选：B． 6．如图①，从边长为a的大正方形纸片中挖去一个边长为b的小正方形纸片后，将其沿虚线裁成两个相同的直角梯形，然后拼成一个等腰梯形（如图②），则通过计算图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了乘法公式几何背景问题的解决能力，关键是能根据题意准确列式，并能利用关系式推导出乘法公式． 根据阴影部分面积的不同方式可求得此题结果． 【详解】解：解：∵图形①中阴影部分的面积可表示为：， 图形②中阴影部分的面积可表示为， ∴， 故选：D． 7．如图，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接，，若两个正方形的边长满足，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式与图形的面积；根据阴影部分的面积等于两个正方形的面积之和减去空白的面积，列式化简，再把，代入计算即可． 【详解】解：大小两个正方形边长分别为、， 阴影部分的面积； ，， ． 故选：B． 8．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式，同底数幂的乘法，积的乘方，根据完全平方，同底数幂的乘法的性质，积的乘方的性质，平方差公式，对各选项分析判断后利用排除法求解即可． 【详解】解：A、，故本选项错误； B、，故本选项错误； C、，故本选项错误； D、，故本选项正确． 故选：D． 9．多项式分解因式的结果是，则的值（      ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】此题考查因式分解的应用，代数式求值，解题关键在于掌握的将展开，根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，把展开，可得，则有；利用“两个多项式相等，则对应项的系数相等”得到关于m、n的方程组，解出m，n的值，再把m，n值代入中计算即可． 【详解】解：， ； ， 解得：， ， 故选：C． 10．已知 ，若 ，则的值为（     ） A．51 B． C．15 D． 【答案】A 【分析】把和的值代入式子中进行计算，即化简，再根据绝对值和偶次方的非负性，求出a、b值，然后代入化简式计算即可． 【详解】解： ，， ； ， ，， ，， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了整式的混合运算化简求值，完全平方公式，平方差公式，绝对值和偶次方的非负性，准确熟练地进行计算是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．要使的展开式中不含项，则的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了整式的乘法，熟练掌握单项式乘多项式的运算是解题的关键．根据单项式乘多项式的运算，再结合展开式中不含项，即可解答． 【详解】解：， 要使的展开式中不含项， ． 故答案为：0． 12．一个三角形的面积为，一边长为，则这条边上的高是 ． 【答案】 【分析】此题考查多项式除以单项式法则：用多项式中的每一项分别除以单项式，再把结果相加．利用面积公式计算即可得到答案． 【详解】解：设这条边上的高为a， 由题意得：， ∴， 故答案为：． 13．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14．新素材 我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图是他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”．此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律． 请仔细观察，填出的展开式中所缺的系数． ． 【答案】 6 4 【分析】本题考查了多项式乘多项式规律问题，根据杨辉三角，下一行的系数是上一行相邻两系数的和，然后写出各项的系数即可． 【详解】解：， 故答案为：6，4． 15．根据整式与整式相乘，可以得到等式：．试利用这个等式解决以下问题：如图，中，，分别以、、为边向外侧作正方形．如果、、的长分别是、、，且，，那么这三个正方形的面积和是（   ） A．70 B．107 C．60 D．83 【答案】A 【分析】本题考查整体代入，整式的乘法公式的变形，根据所给等式可得，然后整体代入计算即可． 【详解】解：由公式得：， ∴这三个正方形的面积和是， 故选：A． 16．已知是正整数，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，解一元一次方程，先由合并同类项和幂的乘方法则得，然后转化为一元一次方程，再解方程即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，掌握完全平方公式的计算是解题的关键． 根据完全平方公式计算即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∵， ∴． 18．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． 先运用平方差公式，完全平方公式，和单项式乘多项式计算，再合并同类项，再把代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式. 19．如图，一个柱体工件的体积为．其形状和部分尺寸如图所示，求工件的长．（用含的式子表示） 【答案】工件的长 【分析】本题考查了整式除法运算的应用．用柱体工件的体积除以底面积，即可求得工件的长． 【详解】解：根据题意得，工件的长 ． 20．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）运用平方差公式计算即可； （2）运用完全平方公式计算即可； （3）运用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．如图，某市准备用一块大正方形土地来建造住宅，广场和商业用地，其中住宅区域是长为，宽为的长方形，广场区域是边长为的正方形，商业用地是长为，宽为的长方形． (1)用两种方法表示大正方形土地的面积为：①________，②________，并得出一个等式：________； (2)若，，求商业用地的面积． 【答案】(1)；； (2)600 【分析】此题考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握正方形及长方形面积公式是解本题的关键． （1）大正方形的面积可以用边长的平方来求，也可以分为两个小长方形面积与小正方形面积之和来求； （2）利用完全平方公式变形后，把已知等式代入计算即可求出所求． 【详解】（1）解：用两种方法表示大正方形土地的面积为：①；②，并得出一个等式． 故答案为：；；； （2）解：因为，， 所以， 即， 所以， 所以商业用地的面积为600． 22．在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“若，，求的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即，所以，所以． (1)若，，请你也利用逆向思考的方法求出的值． (2)下面是小贤用逆向思考的方法完成的一道作业题，请你参考小贤的方法解答下面的问题： 小贤的作业 计算：． 解：． ①小贤的求解方法逆用了哪一条幂的运算性质，直接写出该逆向运用的公式：______． ②计算：． 【答案】(1)6 (2)①；②5 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方，学会逆向运用幂的运算性质是解答本题的关键． （1）逆向运用同底数幂的乘法、幂的乘方运算法则计算即可； （2）①根据幂的运算性质，得出求解方法逆向运用了积的乘方运算法则，即可得出结论；②逆向运算积的乘方运算法则计算即可； 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ． 的值为6． （2）解：①小贤的求解方法逆用了积的乘方运算性质，即， 故答案为：； ② ． 23．以下是小明化简代数式的过程： 解：原式① ② ．③ (1)解答过程中哪几步错误？原因是什么？ (2)写出正确解答过程． 【答案】(1)解答过程中第①步错，完全平方公式运用出错；第②步错，去括号出错 (2)见解析 【分析】此题考查了平方差公式，整式的加减，以及完全平方公式， （1）观察小明解答过程，找出出错的步骤即可； （2）写出正确的解答过程即可． 【详解】（1）解：解答过程中第①步错，完全平方公式运用出错； 第②步错，去括号出错； （2）解：原式 ． 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成正方形． (1)观察图2填空：正方形的边长为________，阴影部分的小正方形的边长为________； (2)观察图2，试猜想式子之间的等量关系； (3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题：设，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的几何背景进行求解是解决本题的关键． （1）根据图形，正方形的边长为等于小长方形两边的和，阴影部分的正方形的边长等于小长方形两边的差； （2）正方形可以直接用边长的平方求解，也可用阴影正方形的面积加上四个小长方形的面积，由此解答即可； （3）先求得，再利用（2）中的结论求出的值，然后求解即可． 【详解】（1）由图可知 正方形的边长为，阴影部分的正方形的边长为； 故答案为：； （2），理由如下： 由图可知： 正方形的面积为，也等于4个长为m，宽为n的长方形与边长为的阴影部分正方形面积的和，即为， 故得到 （3） ， 又 由（2）得： 25．数学活动课上，老师准备了若干个如图（1）的三种纸片．甲种纸片是边长为的正方形，乙种纸片是边长为的正方形，丙种纸片是长为、宽为的长方形． 【观察发现】 用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成如图（2）的大正方形．观察图（2）的面积关系，写出正确的等式：______． 【操作探究】 若要拼出一个面积为的长方形，则需要甲种纸片______张，乙种纸片______张，丙种纸片______张．（所拼图形不重叠无缝隙） 【拓展延伸】 两个正方形、如图（3）摆放，边长分别为，，连接，．若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】观察发现：；操作探究：1，2，3；拓展延伸：10 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则． 观察发现：根据图（2）的面积边长为的正方形的面积一个边长为的正方形的面积一个边长为的正方形面积个长为，宽为的长方形面积，列出算式即可； 操作探究：利用多项式乘多项式法则进行计算，然后根据计算结果进行判断即可； 拓展延伸：先根据已知条件可知，然后根据已知条件为完全平方公式，求出，最后根据阴影部分的面积边长是的正方形面积边长是的正方形的面积的面积的面积，列出算式进行计算即可． 【详解】观察发现： 解：观察图形可知：图（2）的面积为：，还可以表示为：， 正确的等式为：， 故答案为：； 操作探究： 解： ， 需要甲种纸片1张，乙种纸片2张，丙种纸片3张， 故答案为：1，2，3； 拓展延伸： 解：，，， ， ， ， ， ， ， ， 或（不合题意，舍去）， 阴影部分的面积 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$