精品解析：广东省佛山市2024-2025学年高三上学期普通高中教学质量检测（一）数学试卷

2024～2025学年佛山市普通高中教学质量检测（一） 高三数学 2025.1 本试卷共4页，19小题．满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必要填涂答题卷上的有关项目． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．请考生保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 等比数列中，，设甲：，乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数在区间上的零点个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式，某景区的旅游人数大约每年以的增长率呈指数增长，那么至少经过多少年后，该景区的旅游人数翻一倍？（参考数据：，）（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. 在平面直角坐标系中，满足不等式组的点表示的区域面积为（ ） A. B. C. D. 7. 若直线与曲线相切，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 8. 已知直线与平面所成的角为，若直线，直线，设与的夹角为，与的夹角为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 有一组成对样本数据，，，，设，，由这组数据得到新成对样本数据，下面就这两组数据分别先计算样本相关系数，再根据最小二乘法计算经验回归直线，最后计算出残差平方和，则（ ） 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．相关系数． A. 两组数据的相关系数相同 B. 两组数据的残差平方和相同 C. 两条经验回归直线的斜率相同 D. 两条经验回归直线的截距相同 10. 在中，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 在方向上的投影向量为 D. 若，则 11. 已知定义域为的函数满足，且，为的导函数，则（ ） A. 为偶函数 B. 为周期函数 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数是______． 13. 记的内角的对边分别为且，则______． 14. 直线过双曲线的左焦点，交的渐近线于两点．若，且，则的离心率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，直三棱柱的体积为，侧面是边长为1的正方形，，点分别在棱上． （1）若分别是的中点，求证：平面； （2）若，，求． 16. ACE球是指在网球对局中，一方发球，球落在有效区内，但接球方却没有触及到球而使发球方直接得分的发球．甲、乙两人进行发球训练，规则如下：每次由其中一人发球，若发出ACE球，则换人发球，若未发出ACE球，则两人等可能地获得下一次发球权．设甲，乙发出ACE球的概率均为，记“第次发球的人是甲”． （1）证明：； （2）若，，求和． 17. 已知函数，其中． （1）当时，讨论关于的方程的实根个数； （2）当时，证明：对于任意的实数，都有． 18. 已知的顶点在轴上，，，且边的中点在轴上，设的轨迹为曲线． （1）求的方程； （2）若正三角形的三个顶点都在上，且直线的倾斜角为，求． 19. 将项数列重新排序为的操作称为一次“洗牌”，即排序后的新数列以为首项，将排在之后，将排在之后．对于数列，将“洗牌”后得到的新数列中数字的位置定义为．例如，当时，数列经过一次“洗牌”后变为，此时，，，，，． （1）写出数列经过3次“洗牌”后得到的新数列； （2）对于满足的任意整数，求经过一次“洗牌”后的解析式； （3）当（其中）时，数列经过若干次“洗牌”后能否还原为？如果能，请说明至少需要多少次“洗牌”；如果不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年佛山市普通高中教学质量检测（一） 高三数学 2025.1 本试卷共4页，19小题．满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必要填涂答题卷上的有关项目． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．请考生保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法可求. 【详解】因为，故， 故选：B. 2. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合是否为空集进行分类讨论，由此求得的取值范围. 【详解】当时，，满足， 当时，，由， 可知， 综上所述，. 故选：D 3. 等比数列中，，设甲：，乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比中项可判断两者之间的条件关系. 【详解】因为为等比数列，故为等比数列，且三者同号， 若，则由可得，故甲是乙的充分条件； 若，则由及可得，故甲是乙的必要条件； 故甲是乙的充要条件， 故选：C. 4. 函数在区间上的零点个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式可得或，故可求零点个数. 【详解】令，则， 故或，而， 所以或或或或， 故共有5个零点， 故选：B. 5. 随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式，某景区的旅游人数大约每年以的增长率呈指数增长，那么至少经过多少年后，该景区的旅游人数翻一倍？（参考数据：，）（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件列不等式，由此可得正确答案. 【详解】设经过年后，人数翻一倍， 则， 两边取以为底的对数得， 所以， 所以至少经过年后，该景区的旅游人数翻一倍. 故选：B 6. 在平面直角坐标系中，满足不等式组的点表示的区域面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆与圆的位置关系来求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以不等式组表示的区域是圆与圆公共的内部区域， 画出图象如下图所示，，两圆半径都是， 设两个圆相交于两点，则， 由于，， 所以是圆的切线，是圆的切线， 同理是圆的切线，是圆的切线， ，所以四边形是正方形， 所以区域面积为. 故选：D 7. 若直线与曲线相切，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】通过设切点，利用导数的几何意义列出等式，再利用二次函数的性质求其最小值. 【详解】设直线与曲线的切点为. 对求导，根据，可得. 因为直线的斜率为，由导数的几何意义可知， 在切点处，即. 又因为切点既在直线上又在曲线上， 所以且，即. 将代入可得：，即. 将代入可得： ， 所以当，时，取得最小值为. 故选：A 8. 已知直线与平面所成的角为，若直线，直线，设与的夹角为，与的夹角为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】把直线和平面放置在锥体中，然后利用异面直角夹角定义，结合三余弦定理及余弦函数的单调性得，根据二面角平面角的定义，结合最大角定理及正弦函数单调性得，即可得解. 【详解】如图，设斜线为直线，平面为平面，且， 由图可知，当恰为时，此时与的夹角为； 当为时，， 由于，知， 故由在上单调递减得，知.综上可知； 由于，故是二面角所成角，即，， 由于，则， 故由在上单调递增得，即，可知. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 有一组成对样本数据，，，，设，，由这组数据得到新成对样本数据，下面就这两组数据分别先计算样本相关系数，再根据最小二乘法计算经验回归直线，最后计算出残差平方和，则（ ） 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．相关系数． A. 两组数据的相关系数相同 B. 两组数据的残差平方和相同 C. 两条经验回归直线的斜率相同 D. 两条经验回归直线的截距相同 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用公式求相关系数，通过对公式的理解，可以作出判断. 【详解】由于新成对样本数据， 其平均数分别为， 同理， 这样根据公式， 用样本数据减去平均数得与新成对数据， 用样本数据减去平均数得与新成对数据， 即它们每一个对应数据的差值都是一样的， 这就说明两条经验回归直线的斜率相同，两组数据的相关系数相同， 故A、C正确； 由于回归直线经过样本数据的样本点为，而新数据的样本点为， 即样本数据的回归直线方程为，而新数据的回归直线方程为， 故两条经验回归直线的截距不相同，故D错误； 由于样本数据回归直线和新数据回归直线是平行关系，所以实际值与估计值的差的平方和应该是相同的，即两组数据的残差平方和相同，故B正确； 故选：ABC. 10. 在中，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 在方向上的投影向量为 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项对题干条件直接根据数量积的定义，化简成，然后根据边角转化求解；B选项利用两角和的正切公式求解；C选项结合正弦定理，投影向量公式求解；D选项根据正弦定理算出三边长度之后根据数量积定义求解. 【详解】A选项，对于，根据数量积的定义展开可得，， 即，即，由正弦定理，， 即，则为锐角，由， 解得，，A选项正确， B选项：由A选项和题干可知，， ，故，B选项错误. C选项：在方向上的投影向量为， 由B知，，，且，解得， 由正弦定理，，则，C选项正确. D选项：由正弦定理，，即，解得， 于是，，D选项错误. 故选：AC 11. 已知定义域为的函数满足，且，为的导函数，则（ ） A. 为偶函数 B. 为周期函数 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过对给定的函数关系式进行赋值等操作来分析函数的性质，并结合导数来判断各个选项的正确性，从而确定正确答案. 【详解】令，代入可得： ，即，所以， 令，则，即， 令得， 以替换，则， 以替换，则，所以函数是周期为的周期函数. 令，则，即， 所以是偶函数，A选项正确. 因为是周期为的周期函数，对两边求导得： ，即. 替换，则. 以替换，则， 所以是周期为的周期函数，B选项正确. 由的周期为，且，，，. ，C选项错误. 因为的周期为，，所以. 又，两边求导得，即， 所以. 而，令， 可得，即，. 对两边求导得，令，得. 对两边对求导， 得， 即 令， 可得，所以，则，D选项正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛： 对于抽象函数性质的研究，赋值法是一种重要手段，通过合理选取赋值，能够挖掘出函数的奇偶性、周期性等关键性质. 函数与其导函数之间存在紧密联系，对函数等式两边求导，能从函数的性质推导出导函数的性质，反之亦然. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式可求的系数. 【详解】的展开式的通项公式为， 的展开式的通项公式为， 令，则的展开式中的系数为， 的展开式中的系数为， 故的展开式中的系数为， 故答案为：. 13. 记的内角的对边分别为且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】切化弦后结合正余弦定理可得，故可求. 【详解】因为， 故， 所以， 整理得到：，故， 故答案为：. 14. 直线过双曲线的左焦点，交的渐近线于两点．若，且，则的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】先判断出直线的斜率，由此求得直线的方程，通过联立方程求得两点的坐标，再根据比例列方程，化简求得双曲线的离心率. 【详解】双曲线的左焦点，到渐近线的距离为 所以直线与渐近线垂直，所以直线的斜率为， 直线的方程为，设， 联立，消去并化简得点横坐标为. 联立，消去并化简得点横坐标. 因为，所以. 即，， ，. ， ， ， ， ，， 又因为， 所以双曲线的离心率. 故答案为： 【点睛】方法点睛： 利用双曲线焦点到渐近线的距离与已知条件建立联系，确定直线与渐近线的位置关系，进而得到直线方程，这是解决本题的关键之一. 通过联立直线与渐近线方程求出交点坐标，再结合向量关系列出等式，最后利用双曲线的基本性质和离心率公式求解离心率，这是处理此类双曲线与直线、向量综合问题的常见方法. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，直三棱柱的体积为，侧面是边长为1的正方形，，点分别在棱上． （1）若分别是的中点，求证：平面； （2）若，，求． 【答案】（1）证明：如图，连接，则彼此平分，而为的中点， 故为的中点，而为的中点，故， 而平面，平面，故平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，可得，根据线面平行的判定定理可证平面； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量的垂直表示可求的坐标，从而可求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由直三棱柱的体积为可得， 而，故，而为三角形内角，故， 故即，结合直三棱柱可建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设，， 则，而， 由，可得，解得. 故，故 16. ACE球是指在网球对局中，一方发球，球落在有效区内，但接球方却没有触及到球而使发球方直接得分的发球．甲、乙两人进行发球训练，规则如下：每次由其中一人发球，若发出ACE球，则换人发球，若未发出ACE球，则两人等可能地获得下一次发球权．设甲，乙发出ACE球的概率均为，记“第次发球的人是甲”． （1）证明：； （2）若，，求和． 【答案】（1）证明：若第次为甲发球的条件下第次还是甲发球， 则第次甲没有发出ACE球，故此时， 若第次不是甲发球的条件下第次是甲发球， （1）乙发ACE球，则第次是甲发球； （2）乙没有发出ACE球，则有的概率第次是甲发球； 故， 故. （2）, 【解析】 【分析】（1）根据条件概率的意义可证明； （2）利用（1）中的结果可求，结合全概率公式可得，利用构造法可求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，, 故，所以即， 所以， 故 而，故为等比数列， 故即. 17. 已知函数，其中． （1）当时，讨论关于的方程的实根个数； （2）当时，证明：对于任意的实数，都有． 【答案】（1）当时，方程有0个解， 当或时，方程有1个解， 当时，方程有2个解. （2）要证，即证， 由于，故只需证， 不妨设，即证， 两边同时除以并化简，即证， 令，则，设， ，由(1)知在上单调递增， 故，故在上单调递增， 所以，从而命题得证. 【解析】 【分析】（1）利用导数研究的单调性，结合图象确定正确答案. （2）将要证明的不等式进行转化，利用构造函数法，结合导数来证得不等式成立. 【小问1详解】 当时， 方程解的个数，转化为与有交点的个数， 的定义域为， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，，且， 当时，方程有0个解， 当或时，方程有1个解， 当时，方程有2个解. 【小问2详解】 略 18. 已知的顶点在轴上，，，且边的中点在轴上，设的轨迹为曲线． （1）求的方程； （2）若正三角形的三个顶点都在上，且直线的倾斜角为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，求得点的坐标，根据列方程，化简求得的方程； （2）设出直线的方程并与的方程联立，化简写出根与系数关系，利用弦长公式求得的表达式，根据是正三角形 【小问1详解】 设，， 因为是的中点且在轴上，根据中点坐标公式， 若为，则，所以，即， 已知，且， 根据两点间距离公式，，， 因为，所以， 两边平方可得， 展开式子：， 化简得，所以曲线的方程为. 【小问2详解】 设，，直线的方程为， 由消去得，即， 由韦达定理得，，， 则，， 根据弦长公式（这里）， 所以， 因为是正三角形，设中点为，则，即， 直线与直线垂直，直线斜率为，则直线斜率为， 点在曲线上，设，则， 又因为， 根据两点间距离公式，， 由，可得， 由可得，即， ，则， ， ，， 由，，， 两式相减得， ，解得或， 当时，， 当时，(舍去)， 所以. 【点睛】方法点睛： 求轨迹方程时，常通过设动点坐标，结合已知条件找到动点坐标满足的等式关系，再进行化简,本题利用中点坐标关系确定点坐标，通过距离相等建立等式，是求轨迹方程的典型方法. 对于直线与曲线相交的问题，联立直线与曲线方程，利用韦达定理得到交点坐标之间的关系，进而解决弦长等问题。在涉及三角形形状相关问题时，要充分利用三角形的性质，如正三角形三边相等、三线合一等，建立等式求解. 19. 将项数列重新排序为的操作称为一次“洗牌”，即排序后的新数列以为首项，将排在之后，将排在之后．对于数列，将“洗牌”后得到的新数列中数字的位置定义为．例如，当时，数列经过一次“洗牌”后变为，此时，，，，，． （1）写出数列经过3次“洗牌”后得到的新数列； （2）对于满足的任意整数，求经过一次“洗牌”后的解析式； （3）当（其中）时，数列经过若干次“洗牌”后能否还原为？如果能，请说明至少需要多少次“洗牌”；如果不能，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）至少需要次＂洗牌＂． 【解析】 【分析】（1）直接写出三次洗牌后的数列； （2）分和讨论即可； （3）通过特殊情况猜想至少通过次＂洗牌＂，再利用数学归纳法证明即可. 【小问1详解】 数列经过一次＂洗牌＂变为， 再经过一次＂洗牌＂变为，第三次＂洗牌＂后变为． 【小问2详解】 依题意，当时，； 当时，． 因此， 【小问3详解】 先观察简单的情形． 当时，数列经过1次＂洗牌＂变为（＂倒序＂）， 再经过1次＂洗牌＂就还原为； 当时，数列经过2次＂洗牌＂变为（＂倒序＂），再经过2次＂洗牌＂就还原为； 当时，由（1）知数列经过3次＂洗牌＂变为（＂倒序＂）， 再经过3次＂洗牌＂就还原为． 由此，我们猜想数列经过次＂洗牌＂后就能还原为．下面证明这个猜想. 令，其中是任意正整数， 则为次＂洗牌＂后数字的位置. 由第（2）问可知， 且 因此， 注意到总是的非负整数倍． 下面用数学归纳法证明对任意正整数总是的非负整数倍． （i）当时，结论已成立； （ii）假设时，， 其中为非负整数，则， 即即当时结论仍成立． 综合（i），（ii）知对任意正整数总是的非负整数倍． 当时，能被整除． 特别地，能被整除． 又能被整除，故能被整除． 而故，其中只有能被整除， 故，即任意数字经次＂洗牌＂后位置不变，证毕． 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用数学归纳法来证明对任意正整数总是的非负整数倍． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $