精品解析：重庆市2025届学业质量调研抽测 (第一次)数学试题（主城区）

高 2025 届学业质量调研抽测（第一次） 数学试题 一、选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一 个选项是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性求解对数不等式得集合，再求即得. 【详解】由可得，故， 又，则. 故选：C. 2. 已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断双曲线的焦点位置，由渐近线方程得到，再求离心率即可. 【详解】因双曲线 的焦点在轴上，由其渐近线方程，可得， 则双曲线的离心率为. 故选：B. 3. 有 4 位同学各掷骰子 5 次（骰子出现的点数可能为1，2，3，4，5，6），分别记录自己每次出现的点数，四位同学根据统计结果，并对自己的试验数据分别做了如下描述，可以判断一定没有出现点数 1的是（ ） A. 平均数为3 ，中位数为4 B. 中位数为3 ，众数为5 C. 平均数为4 ，方差为1.2 D. 中位数为4 ，方差为1.6 【答案】C 【解析】 【分析】根据数字特征的定义，依次对选项分析判断即可 【详解】对于A，由于平均数为3，中位数为4，所以这5个数从小到大排列后，第3次是4，当第3,4,5次为4,4,4时，总和为12，第1,2次总和为3，故这5个数可以是1,2,4,4,4， 故A错误； 对于B，由于中位数为3，众数为5，所以这5个数从小到大排列后，第3次是3，则第4和5次为5，所以这5个数可以是1,2,3,5,5，所以B错误； 对于C，由于平均数为4，方差为1.2，则5次总和为20，， 若有一个数为1，取，则，不合题意，则一定没有出现点数1，故C正确； 对于D，由中位数为4 ，方差为1.6，所以这5个数从小到大排列后，第3次是4，平均数最小值为2.8， ， ， 若有一个数为1，取，， 若取平均数为3，则， ，则符合要求，这5个数为1,2,4,4,4，故D错误， 故选：C. 4. 已知 是空间中的两条直线， 是两个平面，则（ ） A. 若 ，则是异面直线 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面，线线位置关系逐选项判断即可. 【详解】对于A，若，，当时，则，所以不是异面直线，故A错误； 对于B，若，当，也满足题意，不一定， 故B错误； 对于C，若，则或为异面直线，故C错误； 对于D，若，根据线面垂直性质，则，故D正确； 故选：D. 5. 某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重 （单位: 克） 与心率（单位: 次/分钟）的对应数据. 根据生物学常识和散点图得出与近似满足 （ 为参数），令 ，计算得到. 由最小二乘法得到经验回归方程为 ，则的值为（ ） A. B. 0.4 C. D. 0.2 【答案】A 【解析】 【分析】根据回归直线方程必过样本中心点求出，即可求出. 【详解】因为，两边取对数可得， 又， 依题意回归直线方程必过样本中心点， 所以，解得，所以. 故选：A. 6. 在平行四边形 中， 与 相交于 ，若 ， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三点共线，则可设，由三点共线，则可设，然后根据题意都用表示，从而可求出的值，进而可求得答案 【详解】 因为三点共线，所以可设， 所以， 因为三点共线，所以可设， 因为 ，，所以， 所以， 所以， 即，解得，， 所以， 故选：A. 7. 已知 ，则使 成立的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用必要不充分条件的定义逐项分析判断即得. 【详解】对于A，令，显然有，但，A不是； 对于B，当，时，，B不是； 对于C，，显然有，但，C不是； 对于D，当，则，即， 反过来，令，不等式成立，而， D是. 故选：D 8. 已知函数 满足: ① 是偶函数; ②在 上为增函数. 若 ， 且 ，则 与 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据是偶函数，可得函数图象关于对称，则在 上为减函数，讨论两种情况，分别利用单调性比较大小，即可得答案. 【详解】不妨设， 由是偶函数，则，即， 即函数 的图象关于对称，且， 因为在上为增函数，所以在上为减函数， 因为，且，所以， 若则，则，即； 若因为，则，所以； 综上可得：. 故选：A. 二、选择题: 本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 已知函数 的最小正周期为 ，则（ ） A. B. C. 的单调递增区间为 D. 将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由最小正周期为，求得，即可判断选项B；计算即可判断选项A；然后利用正弦函数的单调性求解即可判断选项C；由图象的平移伸缩变换求解函数的解析式即可判断选项D. 【详解】函数 的最小正周期为 ， 所以，解得，故B错误； 所以，所以，故A正确； 由，得， 所以的单调递增区间为，故C正确； 将函数的图象向右平移个单位后，得到， 再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，得到，故D正确； 故选：ACD. 10. 已知数列 满足 ，则（ ） A. 数列 是等差数列 B. C. 若 ，则 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由两边同时取倒数即可证明 是等差数列，判断选项A；从而得到的通项公式，即可判断选项B；由，裂项相消即可求解判断选项C；由 是等差数列，其前项和为，即可判断选项D. 【详解】因为，所以， 即，所以 是以为首项，为公差的等差数列，故A正确； ，所以，故B错误； 若 ， 所以，故C正确； ，故D错误； 故选：AC. 11. 已知抛物线 的焦点为 ，过 作两条互相垂直的直线 与 交于 两点， 与 交于 两点，线段 的中点为 ，线段 的中点为 ，则（ ） A. 当直线 的斜率为 时， B. 当 时， C. 的最小值为18 D. 的面积最小值为4 【答案】ABD 【解析】 【分析】设直线和的方程，与抛物线方程联立，再利用焦半径公式求解弦长，结合基本不等式判断ABC，利用两点求斜率，根据点斜式求出直线方程，求解直线恒过定点，将面积分割，结合韦达定理，再利用基本不等式求解最值判断D. 【详解】对于A，由题意得，，，，， 当直线 的斜率为 时，直线方程为， 由可得，则， 所以，A正确； 对于B，设直线方程为，则方程为， 联立直线方程与抛物线方程得. 则①，②，同理，，又， 所以，结合①②可得，所以，B正确 对于C，，， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为16，故C错误； 对于D，由B知， .， 所以直线GH：， 令得，所以直线GH恒过定点； 所以， 当且仅当时，等号成立.故D正确； 故选：ABD 【点睛】思路点睛：1.直线与圆锥曲线相交问题时，有时需要考查斜率不存在和存在两种情况，斜率存在的情况经常和曲线方程联立，利用根与系数的关系解决几何问题；2.一般涉及三角形面积问题时，采用面积分割法，结合韦达定理，利用基本不等式法求解范围或最值. 三、填空题: 本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 若(为实数，为虚数单位)，则________. 【答案】3 【解析】 【详解】因为，所以.又因为都为实数，故由复数的相等的充要条件得解得所以. 【点评】本题考查复数的相等即相关运算.本题若首先对左边的分母进行复数有理化，也可以求解，但较繁琐一些.来年需注意复数的几何意义，基本概念（共轭复数），基本运算等的考查. 13. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定: 100ml 血液中酒精含量大于或者等于 且小于 认定为饮酒驾车，大于或者等于 80 mg 认定为醉酒驾车. 假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了 . 如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时 30%的速度减少，那么他至少经过_____个小时后才能驾驶？（结果取整数. 参考数据:1g3 ≈ 0.48，1g7 ≈ 0.85） 【答案】 【解析】 【分析】设至少经过个小时后才能驾驶，由题意有，两边同时取对数得，然后求解即可. 【详解】设至少经过个小时后才能驾驶，则有， 即，两边同时取对数得，即， 因为，所以， 所以，即至少经过个小时才能驾驶. 故答案为：. 14. 已知各项均为正数的等比数列 满足 ，若存在两项 使得 ，则的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先根据等比数列的性质整理可得公比，再利用通项公式代入中，可得出与的关系，最后结合基本不等式即可求解。 【详解】由题，因为，， 所以， 因为各项均为正数，所以，则，解得或（舍去）， 又，则， 所以，即，则， 所以， 当且仅当时，可得的最小值为. 故答案为： 四、解答题: 本大题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在 中，内角的对边分别为，已知 ，且 . （1）求的值; （2）设 ，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先算出的值，再利用正弦定理得进行化简，然后得到相应的值； （2）由得到，再由余弦定理，得到，从而得到. 【小问1详解】 由，且， 则， 又因为，由正弦定理得， 所以 【小问2详解】 因为，得， 所以，即 由余弦定理得： 所以得， 所以， 所以. 16. 已知函数 在 处的切线方程为 ，其中 为常数，为自然对数的底数. （1）试确定 的值; （2）求函数 的单调区间; （3）若对任意 ，不等式 恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）， （2）减区间为，增区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据，以及切点处曲线的函数值与切线的函数值相等列方程组求解即可. （2）由（1）求出函数解析式，判断导函数符号，求出函数的单调区间即可. （3）结合（2）求出的最小值，再解一元二次不等式求解即可. 【小问1详解】 函数定义域为，求导得， 因为函数 在 处的切线方程为 ， 所以， 可得，化为①， 由，可得②， 由①②解得， 所以，. 【小问2详解】 由（1）知（）， 当时，，在上为减函数， 当时，，在上为增函数， 所以函数的减区间为，增区间为． 【小问3详解】 由（1）， 由（2）知，在处取得最小值， 因，恒成立，则，解得或， 所以的取值范围为． 17. 如图，在斜三棱柱 中， 在底面 上的射影恰为的中点 . （1）证明: 平面 ; （2）求二面角 的正弦值. 【答案】（1）因为平面，平面，所以， 又，，所以， 因为，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可得答案； （2）取的中点，设，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，根据求出，求出平面、平面的一个法向量，由二面角的向量求法可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，因为是的中点，所以， 因为平面，平面，所以， 可得，设， 以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 因为，所以，即， 解得，，舍去， 所以， ， 设为平面的一个法向量， 则，即，令，则， 所以， 设为的一个法向量， 则，即，令，则， 所以， 所以， 设二面角的平面角为， 则. 所以二面角 的正弦值为. 18. 椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为5 . （1）求椭圆 的方程; （2）若直线与椭圆 相交于（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆 的左顶点，求证:直线过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】（1） （2）证明：由（1）可知椭圆左顶点， 设，，∵以为直径的圆过， ∴即，∴， ∵，， ∴① 联立直线与椭圆方程： ，整理得 ∴，， ∴， ，代入到① ， ∴， ∴，即， ∴或， 当时，：，∴恒过 当时，：，∴恒过，但为椭圆左顶点，不符题意，故舍去， ∴恒过. 【解析】 【分析】（1）由左焦点到点的距离及离心率可求解； （2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理可得和，把用和表示化简可得出答案. 【小问1详解】 设左焦点， ∴，解得， ，，由， ∴椭圆方程为. 【小问2详解】 略 19. 在某场乒乓球比赛中，甲、乙两运动员进入到了比赛决胜局，且在该局中的比分为10:10，接下来比赛规则如下: 两人轮流各发一个球，谁赢此球谁就获得 1 分，直到有一方得分超过对方 2 分时即可获得该局的胜利. 已知甲先发球，且甲此球取胜的概率为0.6 . 比赛既是实力的较量，也是心态的比拼，以后每球比赛，若上一球甲获胜则甲在下一球比赛中获胜的概率为0.8，若上一球乙获胜则甲在下一球比赛中获胜的概率为 . （1）求甲以 的比分赢得比赛的概率; （2）若要使甲运动员以后每球比赛获胜的概率都大于 0.6，求的范围; （3）若 ，设甲运动员在第 球比赛中获胜的概率为 ，数列 满足 ，求证: . （参考知识: 当 时，若 ，则 .） 【答案】（1）； （2）； （3）证明：当时，由（2）可得，， 则， ， ， ， ， 故：. 【解析】 【分析】（1）根据条件概率公式即可得到答案； （2）记甲运动员在第球比赛中获胜的概率为，可推得，再对分类讨论即得； （3）根据（2）得到，则，化简计算，最后利用累加法和等比数列求和公式即可得证. 【小问1详解】 记第一球比赛甲运动员获胜的事件为，第二球比赛甲运动员获胜的事件为， 由题意知：，且， ∴. 即甲以 的比分赢得比赛的概率为. 【小问2详解】 记甲运动员在第球比赛中获胜的概率为，则 ， 则, 可知数列是首项为，公比为的等比数列， 则有，, ①当时，，又，故是一个递减数列， 当时，，依题需使，即与条件矛盾,舍去； ②当时，，不合题意； ③当时，，又，故是一个递增数列， 依题意，只需，即，解得，故； ④当时，，符合题意； ⑤当时，，又，因此是一个摆动数列， 若为偶数，则，； 若为奇数，则是一个递增数列，只需，而， 因，于是， 得：，解得，故. 综上：时，甲运动员以后每球比赛获胜的概率都大于0.6. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是得到，再对分类讨论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高 2025 届学业质量调研抽测（第一次） 数学试题 一、选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一 个选项是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合 ，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3. 有 4 位同学各掷骰子 5 次（骰子出现的点数可能为1，2，3，4，5，6），分别记录自己每次出现的点数，四位同学根据统计结果，并对自己的试验数据分别做了如下描述，可以判断一定没有出现点数 1的是（ ） A. 平均数为3 ，中位数为4 B. 中位数为3 ，众数为5 C. 平均数为4 ，方差为1.2 D. 中位数为4 ，方差为1.6 4. 已知 是空间中的两条直线， 是两个平面，则（ ） A. 若 ，则是异面直线 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重 （单位: 克） 与心率（单位: 次/分钟）的对应数据. 根据生物学常识和散点图得出与近似满足 （ 为参数），令 ，计算得到. 由最小二乘法得到经验回归方程为 ，则的值为（ ） A. B. 0.4 C. D. 0.2 6. 在平行四边形 中， 与 相交于 ，若 ， ，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知 ，则使 成立的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数 满足: ① 是偶函数; ②在 上为增函数. 若 ， 且 ，则 与 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 二、选择题: 本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 已知函数 的最小正周期为 ，则（ ） A. B. C. 的单调递增区间为 D. 将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则 10. 已知数列 满足 ，则（ ） A. 数列 是等差数列 B. C. 若 ，则 D. 11. 已知抛物线 的焦点为 ，过 作两条互相垂直的直线 与 交于 两点， 与 交于 两点，线段 的中点为 ，线段 的中点为 ，则（ ） A. 当直线 的斜率为 时， B. 当 时， C. 的最小值为18 D. 的面积最小值为4 三、填空题: 本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 若(为实数，为虚数单位)，则________. 13. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定: 100ml 血液中酒精含量大于或者等于 且小于 认定为饮酒驾车，大于或者等于 80 mg 认定为醉酒驾车. 假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了 . 如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时 30%的速度减少，那么他至少经过_____个小时后才能驾驶？（结果取整数. 参考数据:1g3 ≈ 0.48，1g7 ≈ 0.85） 14. 已知各项均为正数的等比数列 满足 ，若存在两项 使得 ，则的最小值为_____. 四、解答题: 本大题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在 中，内角的对边分别为，已知 ，且 . （1）求的值; （2）设 ，求的值. 16. 已知函数 在 处的切线方程为 ，其中 为常数，为自然对数的底数. （1）试确定 的值; （2）求函数 的单调区间; （3）若对任意 ，不等式 恒成立，求的取值范围. 17. 如图，在斜三棱柱 中， 在底面 上的射影恰为的中点 . （1）证明: 平面 ; （2）求二面角 的正弦值. 18. 椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为5 . （1）求椭圆 的方程; （2）若直线与椭圆 相交于（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆 的左顶点，求证:直线过定点，并求出该定点的坐标. 19. 在某场乒乓球比赛中，甲、乙两运动员进入到了比赛决胜局，且在该局中的比分为10:10，接下来比赛规则如下: 两人轮流各发一个球，谁赢此球谁就获得 1 分，直到有一方得分超过对方 2 分时即可获得该局的胜利. 已知甲先发球，且甲此球取胜的概率为0.6 . 比赛既是实力的较量，也是心态的比拼，以后每球比赛，若上一球甲获胜则甲在下一球比赛中获胜的概率为0.8，若上一球乙获胜则甲在下一球比赛中获胜的概率为 . （1）求甲以 的比分赢得比赛的概率; （2）若要使甲运动员以后每球比赛获胜的概率都大于 0.6，求的范围; （3）若 ，设甲运动员在第 球比赛中获胜的概率为 ，数列 满足 ，求证: . （参考知识: 当 时，若 ，则 .） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $