精品解析：山西省太原某校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

数学 一、单项选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每个小题给岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若向量，，则向量与（ ） A. 相交 B. 垂直 C. 平行 D. 以上都不对 2. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，，则直线与平面（ ） A. 垂直 B. 平行 C. 相交但不垂直 D. 平行或在平面内 3. 已知方程表示的曲线是椭圆,则实数的取值范围是 A. B. C. D. 4. 为圆内异于圆心一点，则直线与该圆的位置关系为（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 相切或相交 5. 已知圆,直线,若直线上存在点，过点引圆的两条切线,使得,则实数的取值范围是（ ） A. B. [,] C. D. ） 6. 已知A，B，C是椭圆上的三个点，直线AB经过原点O，直线AC经过椭圆的右焦点F，若，且，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 7. 已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，，为椭圆上一点（异于左，右顶点），且的周长为6，则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆焦距为1 B. 椭圆的短轴长为 C. 面积的最大值为 D. 椭圆上存在点，使得 8. 已知，，是空间的三个单位向量，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B 若，，两两共面，则，，共面 C. 对于空间的任意一个向量，总存在实数，，，使得 D. 若是空间一组基底，则也是空间的一组基底 9. 已知F为椭圆的左焦点，直线与椭圆C交于A、B两点，，垂足为E，BE与椭圆C的另一个交点为P，则（ ） A. 的最小值为2 B. 的面积的最大值为 C. 直线BE的斜率为 D. 为直角 二．填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.) 10. 已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为_________． 11. 在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点，在轴上，离心率为，过作直线交于两点，且的周长为，那么的方程为__________． 12. 已知F1，F2是离心率为的椭圆的焦点，M是椭圆上第一象限的点，若I是的内心，G是的重心，记与的面积分别为S1，S2，则___________. 四、解答题(本题共3小题，共37分.) 13. 已知向量，，. （Ⅰ）当时，若向量与垂直，求实数和的值； （Ⅱ）若向量与向量，共面，求实数值. 14. 已知圆C经过坐标原点O和点，且圆心在x轴上． （1）求圆C的方程． （2）设直线l经过点，且l与圆C相交所得弦长为，求直线l的方程． 15. 已知椭圆及直线，. （1）当为何值时，直线与椭圆有公共点； （2）若直线与椭圆交于、两点，且，为坐标原点，求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 一、单项选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每个小题给岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若向量，，则向量与（ ） A. 相交 B. 垂直 C. 平行 D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量共线的坐标运算判断即可. 【详解】因为向量，，且， 所以向量与平行. 故选：C 2. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，，则直线与平面（ ） A. 垂直 B. 平行 C. 相交但不垂直 D. 平行或在平面内 【答案】D 【解析】 【分析】计算的结果，从而可判断. 【详解】因为，所以， 所以直线与平面平行或平面内. 故选：D. 3. 已知方程表示的曲线是椭圆,则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为方程表示的曲线是椭圆，所以，解得且，即实数的取值范围是，故选B. 4. 为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 相切或相交 【答案】C 【解析】 【分析】先根据点在圆内，得到，再计算圆心到直线的距离为d，并与半径作比较，即可得到答案． 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为M在圆内，且不为圆心，则， 则圆心到直线的距离为， 所以直线与该圆的位置关系为相离. 故选：C． 5. 已知圆,直线,若直线上存在点，过点引圆的两条切线,使得,则实数的取值范围是（ ） A. B. [,] C. D. ） 【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合几何性质可知点P的轨迹方程为，则原问题转化为圆心到直线的距离小于等于半径，据此求解关于k的不等式即可求得实数k的取值范围. 【详解】圆C（2,0），半径r＝，设P（x，y）， 因为两切线，如下图，PA⊥PB，由切线性质定理，知： PA⊥AC，PB⊥BC，PA＝PB，所以，四边形PACB为正方形，所以，｜PC｜＝2， 则：，即点P的轨迹是以（2,0）为圆心，2为半径的圆. 直线过定点（0，－2），直线方程即， 只要直线与P点的轨迹（圆）有交点即可，即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径， 即：，解得：， 即实数的取值范围是）. 本题选择D选项. 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，轨迹方程的求解与应用，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 6. 已知A，B，C是椭圆上的三个点，直线AB经过原点O，直线AC经过椭圆的右焦点F，若，且，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设椭圆左焦点为，设，根据椭圆对称性表示相关线段长，以及推出，利用勾股定理推出，在中，再利用勾股定理即可得的关系，即可求得答案. 【详解】设椭圆左焦点为，连接， 设，结合椭圆对称性得， 由椭圆定义得，则. 因为，则四边形为平行四边形， 则，而，故， 则，即， 整理得， 在中，，即， 即，故， 故选：C 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 7. 已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，，为椭圆上一点（异于左，右顶点），且的周长为6，则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆的焦距为1 B. 椭圆的短轴长为 C. 面积的最大值为 D. 椭圆上存在点，使得 【答案】BC 【解析】 【分析】根据，解得可判断AB；设，由知当点为椭圆的上顶点或下顶点时面积最大，求出面积的最大值可判断C；假设椭圆上存在点，设，求出、，可看作方程，求出判别式可判断D. 【详解】由已知得，，解得，， 对于A，椭圆的焦距为，故A错误； 对于B，椭圆短轴长为，故B正确； 对于C，设，，当点为椭圆的上顶点或下顶点时面积的最大，此时，所以面积的最大值为，故C正确； 对于D，假设椭圆上存在点，使得，设， 所以，，， 所以是方程，其判别式，所以方程无解，故假设不成立，故D错误. 故选：BC. 8. 已知，，是空间的三个单位向量，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，两两共面，则，，共面 C. 对于空间的任意一个向量，总存在实数，，，使得 D. 若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 【答案】AD 【解析】 【详解】根据空间向量共面的判定定理及空间向量基底的概念逐项判断即可. 【解答】解：，，是空间的三个单位向量， 由，，则，故A正确； ，，两两共面，但是，，不一定共面，，，可能两两垂直，故B错误； 由空间向量基本定理，可知只有当，，不共面，才能作为基底，才能得到，故C错误； 若 是空间的一组基底，则，，不共面，可知也不共面，所以也是空间的一组基底，故D正确． 故选：AD. 9. 已知F为椭圆的左焦点，直线与椭圆C交于A、B两点，，垂足为E，BE与椭圆C的另一个交点为P，则（ ） A. 的最小值为2 B. 的面积的最大值为 C. 直线BE的斜率为 D. 为直角 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件设出点A、P坐标，结合椭圆定义、均值不等式、斜率坐标公式逐项分析计算作答. 【详解】设椭圆C的右焦点，由椭圆对称性知线段AB，互相平分于点O，则四边形为平行四边形，如图， 则，有 ，当且仅当，即时取“=”，A不正确； 设，，则，当且仅当，即时取“=”， 即，因，垂足为E，则，B正确； 因，有，由椭圆对称性可得，而，则直线BE的斜率，C正确； 设，由及得， ，即， 直线PA，PB的斜率有，而， 于是得，有，所以为直角，D正确. 故选：BCD 【点睛】结论点睛：过椭圆中心的弦(除椭圆长轴外)与椭圆二焦点围成平行四边形. 二．填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.) 10. 已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量坐标运算求得正确答案. 【详解】设为空间坐标原点， 由于四边形是平行四边形， 所以， 所以 故答案为： 11. 在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点，在轴上，离心率为，过作直线交于两点，且的周长为，那么的方程为__________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：依题意：4a＝16，即a＝4，又e＝＝，∴c＝，∴b2＝8. ∴椭圆C的方程为 考点：椭圆的定义及几何性质 12. 已知F1，F2是离心率为椭圆的焦点，M是椭圆上第一象限的点，若I是的内心，G是的重心，记与的面积分别为S1，S2，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据离心率确定，再根据条件用表示的面积，然后寻找及与的面积的关系即可得出结果. 【详解】由于椭圆的离心率为，所以，即， 设的面积为S，内切圆的半径为r， 则， 所以， 所以， 因为G是的重心， 所以， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题的关键是及和的面积建立联系. 四、解答题(本题共3小题，共37分.) 13. 已知向量，，. （Ⅰ）当时，若向量与垂直，求实数和的值； （Ⅱ）若向量与向量，共面，求实数的值. 【答案】（Ⅰ）实数和的值分别为和.（Ⅱ） 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据可求得,再根据垂直的数量积为0求解即可. (Ⅱ)根据共面有,再求解对应的系数相等关系求解即可. 【详解】解：(Ⅰ)因为,所以. 且. 因为向量与垂直, 所以. 即. 所以实数和的值分别为和. (Ⅱ)因为向量与向量，共面,所以设（）. 因为, 所以 所以实数的值为. 【点睛】本题主要考查了空间向量的基本求解方法,包括模长的运算以及垂直的数量积表达与共面向量的关系等.属于基础题. 14. 已知圆C经过坐标原点O和点，且圆心在x轴上． （1）求圆C的方程． （2）设直线l经过点，且l与圆C相交所得弦长为，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）和 【解析】 【分析】（1）设圆心，则圆心到与距离相同且等于半径，由此求出，进而求出圆C的方程. （2）分别研究斜率存在与斜率不存在时两种情况：当斜率不存在时，直线为，符合要求；当斜率存在时，设直线l为，则圆心到直线的距离，再结合弦长公式即可求出k的值，由此能出直线l的方程. 【小问1详解】 设圆心，则圆心到与距离相同且等于半径， 所以，解得， 所以圆心为，半径， 所以圆C的方程为． 【小问2详解】 当斜率存在时，设直线l为，整理得， 则圆心到直线的距离，① 又因为，解得，② 由①②解得：， 所以直线方程为，整理得； 当斜率不存在时，直线为，此时圆心到直线的距离， 所以其弦长为，符合题意. 综上，所求直线方程为和. 15. 已知椭圆及直线，. （1）当为何值时，直线与椭圆有公共点； （2）若直线与椭圆交于、两点，且，为坐标原点，求直线的方程. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）将直线的方程与椭圆的方程联立，利用可求得实数的取值范围； （2）设点、，列出韦达定理，由，可得出，利用平面向量数量积的坐标运算，并代入韦达定理，进而可计算得出的值，由此可求得直线的方程. 【详解】（1）联立直线的方程与椭圆的方程，消去得， 由于直线与椭圆有公共点，则，解得， 因此，实数的取值范围是； （2）设点、，由韦达定理可得，， ，所以，，解得. 因此，直线方程为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$