精品解析：新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第101中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

乌鲁木齐市第101中学2024-2025学年高二上学期数学期末测试卷 考试时间：120分钟；满分：150分 一、单选题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 已知直线的方程，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间向量，，，则等于（ ） A. 18 B. C. D. 3. 已知数列的前n项和为，且，则（ ） A. 20 B. 28 C. 32 D. 48 4. 与圆及圆都外切的圆的圆心在（ ） A. 椭圆上 B. 双曲线上的一支上 C. 抛物线上 D. 圆上 5. 如图，在三棱柱中，M为中点，若，，，则下列向量与相等的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆，从点发出的光线，经轴反射后，恰好经过圆心，则入射光线的斜率为（ ） A B. C. D. 7. 已知双曲线E中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点，，则下列结论中错误的是（ ） A. E的标准方程为 B. E的离心率等于 C. E与双曲线的渐近线不相同 D. 直线与E有且仅有一个公共点 8. 如图， 正方体 中， 点 为线段 上的动点， 则下列结论正确的个数是（ ） （1）三棱锥的体积为定值； （2）直线与平面所成的角的大小不变； （3）直线与所成的角的大小不变， （4）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9. 已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（ ） A. 与是共线向量 B. 与同向的单位向量是 C. 在方向上的投影向量是 D. 平面ABC的一个法向量是 10. 已知是等差数列的前n项和，且，，则（ ） A. 数列递减数列 B. C. 的最大值为 D. 11. 抛物线的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ） A. l与有两个不同的交点 B. 当P，A，B三点共线时， C. 当时， D. 满足的点P有且仅有2个 三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12. 若直线与直线互相垂直，则__________. 13. 在棱长为的正方体中，是线段的中点，是线段的中点，则直线到平面的距离为__________. 14. 设P是椭圆上的任一点，为圆的任一条直径，则的最小值为______． 四、解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15. （1）已知点和，直线经过点，且与直线平行，求直线l的方程； （2）已知直线与圆心在原点的圆C相切，求圆C的方程． 16. （1）已知数列是等差数列，且，，求通项公式和前n项和； （2）已知数列，都是等差数列，且，，，求数列的前100项和． 17. 已知焦点在x轴上的椭圆C的长轴长是短轴长的3倍，且椭圆C经过点，过点的直线l交椭圆C于A，B两点． （1）求椭圆C标准方程与离心率； （2）当直线l的倾斜角是时，求的面积． 18. 如图，在三棱柱中，底面侧面． （1）证明：平面； （2）若三棱锥的体积为为锐角，求平面与平面的夹角的余弦值． 19. 已知点在抛物线上，过点作斜率为的直线交于另一个点，设与关于轴对称，再过作斜率为的直线交与另一个点，设与关于轴对称，以此类推一直做下去，设． （1）求抛物线的方程； （2）求证：数列是等差数列，并求、． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 乌鲁木齐市第101中学2024-2025学年高二上学期数学期末测试卷 考试时间：120分钟；满分：150分 一、单选题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 已知直线的方程，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线的斜率，进而求出其倾斜角. 【详解】直线：的斜率，所以直线l的倾斜角. 故选：D 2. 已知空间向量，，，则等于（ ） A. 18 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的坐标运算计算得解. 【详解】由，，得，而， 所以. 故选：B 3. 已知数列的前n项和为，且，则（ ） A. 20 B. 28 C. 32 D. 48 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用第n项与前n项和的关系求出. 详解】数列中，， 所以. 故选：A 4. 与圆及圆都外切的圆的圆心在（ ） A. 椭圆上 B. 双曲线上的一支上 C. 抛物线上 D. 圆上 【答案】B 【解析】 【分析】根据两圆方程得出两圆的圆心坐标和半径，判断出两圆的位置关系，再利用与两圆都外切的位置关系得出圆心距离所满足的等量关系，结合圆锥曲线的定义即可得出答案. 【详解】由圆可知，圆心，半径， 圆化为标准方程， 圆心，半径， 因此圆心距，所以两圆相离， 设与两圆都外切的圆的圆心为，半径为， 则满足，所以， 即圆心的轨迹满足到两定点距离之差为定值，且定值小于两定点距离， 根据双曲线定义可知，圆心的轨迹是某一双曲线的左支， 即圆心在双曲线的一支上. 故选：B. 5. 如图，在三棱柱中，M为的中点，若，，，则下列向量与相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的运算，用为基底表示出，可得选项. 【详解】 故选：D 6. 已知圆，从点发出的光线，经轴反射后，恰好经过圆心，则入射光线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆心的坐标，求出点关于轴的对称点的坐标，可知入射光线所在直线为直线，利用直线的斜率公式可求得结果. 【详解】圆标准方程为，圆心为， 点关于轴的对称点为，则反射光线所在直线为直线， 易知入射光线所在直线与直线关于轴对称， 所以，反射光线所在直线的斜率为. 故选：D. 7. 已知双曲线E的中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点，，则下列结论中错误的是（ ） A. E的标准方程为 B. E的离心率等于 C. E与双曲线的渐近线不相同 D. 直线与E有且仅有一个公共点 【答案】C 【解析】 【分析】分别设出焦点在轴上和在轴上的双曲线方程求解即可求出双曲线的标准方程，根据离心率和渐近线方程的公式可求出离心率的值和渐近线方程，将直线方程和双曲线方程联立利用判别式即可判断双曲线和直线交点个数. 【详解】对于A，当双曲线焦点在轴上时，设双曲线的方程为， 则，解得，此时的标准方程为， 当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线的方程为，则，无解，A正确； 对于B，，离心率 ，B正确； 对于C，双曲线的渐近线为，双曲线的渐近线为， 即两者的渐近线相同，C错误； 对于D，将直线与双曲线联立得， ，直线与有且仅有一个公共点，D正确. 故选： 8. 如图， 正方体 中， 点 为线段 上的动点， 则下列结论正确的个数是（ ） （1）三棱锥的体积为定值； （2）直线与平面所成的角的大小不变； （3）直线与所成的角的大小不变， （4）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得面，可得上任意一点到平面的距离相等，即可判断（1）；点P在直线上运动时，直线与平面所成的角和直线与平面所成的角不相等，即可判断（2）；根据线面垂直的判定定理可证得平面，再由线面垂直的性质即可判断（3）；由线面垂直的判定定理可证平面，即可判断（4） 【详解】 对于（1），因为，面，面，所以面， 所以上任意一点到平面的距离相等，又，所以三棱锥的体积不变，故正确； 对于（2），点P在直线上运动时，直线AB与平面所成的角和直线与平面所成的角不相等，故错误； 对于（3），设，则，又面，所以，又，所以平面, 又平面，所以，所以点P在直线上运动时，直线与直线所成的角的大小不变，故正确； 对于（4），因为为正方体，则平面，且平面，则，又，且，平面， 所以平面，且平面，所以， 又平面，且平面，所以，又， 且，平面，所以平面， 且平面，所以， 又，平面，所以平面， 且平面，所以，故正确； 故选：C 二、多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9. 已知空间中三个向量，，，则下列说法正确是（ ） A. 与是共线向量 B. 与同向的单位向量是 C. 在方向上的投影向量是 D. 平面ABC的一个法向量是 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用空间向量共线判断A；求出同向单位向量判断B；求出投影向量判断C；由法向量的意义判断D. 【详解】对于A，，，设，则得，显然无解， 故与不是共线向量，A错误； 对于B，与同向的单位向量是，B正确； 对于C，在方向上的投影向量为，C正确； 对于D，，，即坐标为的向量， 与、都垂直，因此平面ABC的一个法向量是，D正确. 故选：BCD 10. 已知是等差数列的前n项和，且，，则（ ） A. 数列为递减数列 B. C. 的最大值为 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由已知条件结合等差数列性质可判断B；判断出数列的公差小于0，可判断A；根据数列各项的正负情况以及单调性可判断C；利用前n项和公式结合等差数列性质判断D. 【详解】设等差数列的公差为d， 由于，，故， 则，B错误； ，则数列为递减数列，A正确， 由以上分析可知，时，， 故的最大值为，C正确； ，D错误， 故选：AC 11. 抛物线的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ） A. l与有两个不同的交点 B. 当P，A，B三点共线时， C. 当时， D. 满足的点P有且仅有2个 【答案】BD 【解析】 【分析】圆心到准线的距离来判断A；求出的坐标，进而得出切线长判断B；求出的坐标，验证是否成立判断C；设出点的坐标，建立方程并确定其解的情况判断D. 【详解】对于A，抛物线的准线为，的圆心到直线的距离等于圆的半径， 因此准线和相切，A错误； 对于B，三点共线时，即，则的纵坐标，横坐标，即， 此时切线长，B正确； 对于C，当时，，此时，点或， 取，，，，，不成立，C错误； 对于D，设，由可得，又，又， 根据两点间的距离公式，，整理得， ，则关于的方程有两个解，即存在两个这样的点，D正确. 故选：BD 三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12. 若直线与直线互相垂直，则__________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据两直线垂直的充要条件计算即可. 【详解】因为直线与直线互相垂直， 所以，解得或. 故答案为：或. 13. 在棱长为的正方体中，是线段的中点，是线段的中点，则直线到平面的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先证明平面，再求出平面的法向量和直线的方向向量后可求直线到平面的距离. 【详解】 建立如图所示的空间直角坐标系.， 则， 所以，所以， 而平面，平面，故平面， 所以直线到平面的距离即为点到平面的距离. 又，， 设平面的法向量为， 故，取，则， 故点到平面的距离为， 故答案：. 【点睛】方法点睛：点到平面的距离，可利用线面垂直来求解，也可利用斜线的方向向量和平面的法向量来求解，解题中注意合理选择方法. 14. 设P是椭圆上的任一点，为圆的任一条直径，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】设出，利用向量加减运算法则和数量积公式得到，借助二次函数求出的最小值. 【详解】依题意，，且，关于对称， 设椭圆上点，则，即，， ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15. （1）已知点和，直线经过点，且与直线平行，求直线l的方程； （2）已知直线与圆心在原点的圆C相切，求圆C的方程． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据平行关系得直线斜率，根据点斜式方程运算整理. （2）利用点到直线的距离公式求出圆的半径，即可得到圆的方程. 【详解】（1）直线的斜率，则直线的斜率 直线又过点，则直线的方程为：，即 所以直线的方程为. （2）依题意，圆的半径， 所以圆的方程为. 16. （1）已知数列是等差数列，且，，求通项公式和前n项和； （2）已知数列，都是等差数列，且，，，求数列的前100项和． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】（1）设出公差，由题意得到方程组，求出公差，得到通项公式，进而利用等差数列求和公式求和； （2）利用等差数列求和公式直接求和. 【详解】（1）设数列的公差为，因为，，所以， 所以，前n项和； （2）因为数列，都是等差数列，所以数列为等差数列， 又，，，所以数列的前100项和为. 17. 已知焦点在x轴上的椭圆C的长轴长是短轴长的3倍，且椭圆C经过点，过点的直线l交椭圆C于A，B两点． （1）求椭圆C的标准方程与离心率； （2）当直线l的倾斜角是时，求的面积． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）设出椭圆的标准方程，再由给定条件列出方程求解，进而求出离心率. （2）求出直线的方程并与椭圆方程联立，结合韦达定理求出三角形面积. 【小问1详解】 设椭圆的标准方程为：， 依题意，，解得， 所以椭圆的标准方程为：，离心率. 【小问2详解】 依题意，直线的方程为，设， 由消去得，，， 所以的面积. 18. 如图，在三棱柱中，底面侧面． （1）证明：平面； （2）若三棱锥的体积为为锐角，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直性质定理先证明平面，然后利用菱形的性质和线面垂直的判定定理即可得证； （2）以C为原点，CA，CB及平面ABC过点C的垂线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，根据向量法即可求解. 【小问1详解】 平面平面，平面， 平面平面， 平面， 平面，， ，， ，四边形为菱形， ， 平面， 平面． 【小问2详解】 平面ABC， ， ，可得， 又， ， 为锐角， 以C为原点，CA，CB及平面ABC过点C的垂线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 平面， 即为平面的法向量， 设平面的法向量为， 则，即， 令，可得， ， ∴平面与平面的夹角的余弦值为． 19. 已知点在抛物线上，过点作斜率为的直线交于另一个点，设与关于轴对称，再过作斜率为的直线交与另一个点，设与关于轴对称，以此类推一直做下去，设． （1）求抛物线的方程； （2）求证：数列是等差数列，并求、． 【答案】（1） （2）证明见解析，， 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入抛物线的方程，可得出的值，由此可得出抛物线的方程； （2）方法一：设，则，，将直线的方程与抛物线的方程联立，可得出，可推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列的通项公式，再由可得出数列的通项公式； 方法二：由点、、在抛物线上，利用点差法可推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列的通项公式，再由可得出数列的通项公式； 【小问1详解】 将点的坐标代入抛物线的方程可得，解得， 因此，抛物线的方程为. 【小问2详解】 方法一：在抛物线上，则，， 过，且斜率为的直线的方程为， 可得， 解得或，所以，可得， 所以数列是以首项为，公差为的等差数列， 所以，； 方法二：因为点、、在抛物线上， 所以，两式相减得：． 所以：可得， 所以数列是以首项为，公差为的等差数列， 所以，. 【点睛】方法点睛：等差数列的三种判定方法： （1）定义法：（常数）数列为等差数列； （2）等差中项法：数列为等差数列； （3）通项公式法：（、为常数，）数列为等差数列. 但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$