山东省济南市2024-2025学年九年级上学期数学寒假学习质量检测

九年级数学试题 第 1 页（共 8 页） 绝密★启用前 2025 年 2 月九年级寒假学习质量检测 数 学 试 题 本试题共 8 页，满分 150 分，考试用时 120 分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号，座号填写在答题卡和试卷的指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题的答案，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑，如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，用 0.5mm 的黑色签字 笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，每小题只有一项符合题目要求. 1．8 的立方根是（ ） A．2 B．±2 C．±4 D．﹣2 2．“中国白”是世界瓷都的品牌，如图是德化白瓷的一种包装盒，它的主视图为（ ） A． B． C． D． 3．太阳与地球的平均距离大约是150000000千米，数150000000用科学记数法表示为（ ） A．1.5×10 7 B．1.5×10 8 C．15×10 7 D．15×10 6 4．在中国悠久的历史长河中，古窗作为建筑艺术的重要组成部分，展现了中华民族深邃的 文化底蕴和审美情趣．下列窗户图案中，是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 5．一个多边形的每个内角都是 108°，那么这个多边形是（ ） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 6．下列运算正确的是（ ） A．a 2 •a 5 ＝a 10 B．（a 3 ） 2 ＝a 9 C．a 8 ÷a 2 ＝a 4 D．（﹣2a 3 ） 2 ＝4a 6 九年级数学试题 第 2 页（共 8 页） 7．一个不透明的袋子中装有 4 个分别标有化学元素符号 H，O，C，N 的小球，这些小球除 元素符号外无其他差别，从袋子中随机摸出两个小球，所标元素能组成“CO”（一氧化 碳）的概率是（ ） A． 1 2 B． 1 3 C． 1 4 D． 1 6 8．二次函数 y＝ax 2 +bx+c 满足以下三个条件：①ac＞0；②b 2 ＞4ac；③a﹣b+c＜0，则它的 图象可能是（ ） A． B． C． D． 9．如图，在▱ABCD 中，AB＝6，AD＝9，以点 A 为圆心，AB 长为半径画弧交 AD 于点 F； 以点 A 为圆心，适当长为半径画弧分别交 AB、AD 于 M、 N 两点；分别以点 M、N 为圆心，大于 1 2 𝑀𝑁长为半径画弧， 两弧在平行四边形内交于点G，连接AG并延长交BC于E， 连接 EF、BD，BD 分别交 AE、EF 于 P、Q 两点，下列结 论不正确的是（ ） A．AE 平分∠BAD B．四边形 ABEF 是菱形 C． 𝐷𝐹 𝐵𝐸 = 1 2 D．PQ＝QD 10．如图 1，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，D 为 AC 上 一点，𝐶𝐷 = √2，动点 P 以每秒 1 个单位长度的速 度从点 C 出发，沿 C→B→A 的方向匀速运动，到 达点 A 时停止，以 DP 为边作正方形 DPEF．设点 P 的运动时间为 t s，正方形 DPEF 的面积为 S，当 点 P 由点 B 运动到点 A 时，经探究发现 S 是关于 t 的二次函数，并绘制成如图 2 所示的图象，则由图 象可知线段 AC 的长为（ ） A．7 B．6√2 C．5√3 D．4√2 二、填空题：本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分 11．已知 x＝1 是一元二次方程 x 2 +x﹣m＝0 的一个根，则 m 的值为 ． 九年级数学试题 第 3 页（共 8 页） 12．如图，转盘中 3 个扇形的面积都相等．任意转动转盘 1 次，当转 盘 停 止 转 动 时 ， 指 针 所 落 扇 形 中 的 数 为 偶 数 的 概 率 为 ． 13．一把直尺和一个含 30°角的直角三角板按如图方式放置，若 ∠1＝20°，则∠2＝ ． 14．一辆大客车和一辆小轿车同时从甲地出发去乙地，匀速而行， 大客车到达乙地后停止，小轿车到达乙地后停留 4h，再按照 原速从乙地出发返回甲地，小轿车返回甲地后停止，已知两 车距甲地的距离 s（km）与所用的时间 t（h）的关系如图所示．在 小轿车从乙地返回甲地的过程中，当两车相遇时，两车出发 了 h． 15．如图，菱形纸片 ABCD 中，∠A＝60°，将纸片折叠，点 A、 D 分别落在 A′、D′处，且 A′D′经过 B，EF 为折痕，当 D′ F⊥CD 时，若 DF＝6，则 CF＝ ． 三、解答题：本题共 10 小题，共 90 分，解答时应写出文字说明，证明或演算步骤 16．（本小题满分 7 分）计算：√4 + 2𝑠𝑖𝑛45° − (𝜋 − 3)0 + |√2 − 2|． 17．（本小题满分 7 分）解不等式组．{ 2𝑥 + 5 ≤ 3(𝑥 + 2) 2𝑥 − 1+3𝑥 2 ＜1 ，并写出它的非负整数解． 18．如图，在矩形 ABCD 中，∠BCD 的角平分线交 AD 于点 E，F 是 AB 延长线上一点，满 足 BF＝AE，连接 EF，CF．求证：EF＝CF． 九年级数学试题 第 4 页（共 8 页） 19．（本小题满分 8 分）打铁花，是流传于豫晋地区民间传统的烟火，国家级非物质文化遗 产之一，铁花飞溅，寓意着生活多姿多彩．春节前夕，在渝北区龙湖天街广场举行了一 次打铁花表演．小明家在点 A 处，表演场地 C 在小明家北偏东 53°．小明有两种方式去 看表演，路线①从 A 经过一段楼梯 AD 到达点 D，𝑡𝑎𝑛∠𝐷𝐴𝐵 = 5 12 ，再沿 DC 到达 C 处， 已知点 C 在点 D 的东北方向1600√2𝑚处；路线②从 A 出发沿正东方向到达点 B，再沿正 北方向到点 C 处．（A、B、C、D 在同一平面内）（参考数据：√2 ≈ 1.41，𝑠𝑖𝑛37° ≈ 3 5 ， 𝑐𝑜𝑠37° ≈ 4 5 ，𝑡𝑎𝑛37° ≈ 3 4 ) （1）求楼梯 AD 的长度； （2）小明计划 19：30 出门，如果选择路线①只能走路，走路的最快速度是 100m/min， 如果选择路线②则可以跑步跑步的平均速度是 200m/min，表演正式开始时间是 20：00， 小明能赶在表演前到达点 C 处吗？如果能，选择哪条路线，如果不能，具体说明原因（数 据保留 1 位小数）． 20．（本小题满分 8 分）如图，AB 为圆 O 的直径，C 为圆上一点，E 为弦 BC 的中点，过 C 作圆 O 的切线 CP 交 OE 延长线于点 P，OP 交圆 O 于点 D．连接 PB． （1）证明：PB 为圆 O 的切线； （2）过点 D 作 DH⊥AB，DH 交 AB 于 H，DH 交 CB 于 F，DF＝4，CF＝8，求圆 O 的 半径． 九年级数学试题 第 5 页（共 8 页） 21．（本小题满分 9 分）某校在七、八两个年级举办中华传统文化知识大赛．为了解比赛情 况，从两个年级随机抽取部分学生进行调查，并对他们的成绩进行了整理、描述和分析 （满分为 100 分，学生成绩 x 均为不小于 60 分的整数，分为四个等级：D：60≤x＜70， C：70≤x＜80，B：80≤x＜90，A：90≤x≤100），信息如下： 信息一：七、八两个年级学生成绩的频数分布直方图： 信息二：七年级学生成绩在 B 等级的数据（单位：分）如下： 80 84 85 86 87 87 87 87 89 信息三： 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查抽取的七年级学生成绩为 等级的学生人数最多（填“A”或“B” 或“C”或“D”）； （2）求七年级扇形统计图中 D 等级对应扇形的圆心角度数； （3）该校七年级共有 320 名学生，全年级学生都参加本次大赛，请估计成绩为 A 等级的 学生人数； （4）把七年级抽取的学生成绩由高到低排列，记排名第五的学生成绩为 x1，把八年级抽 取的学生成绩由高到低排列，记排名第五的学生成绩为 x2，比较 x1，x2 的大小，并说明 理由． 九年级数学试题 第 6 页（共 8 页） 22．（本小题满分 10 分）济南趵突泉的夜景引来众多游客观赏，拍照打卡者络绎不绝，也带 来了商机．李师傅今年元旦节网购 A、B 两种类型的拍立得相纸前往趵突泉为游客开展陪 拍服务，已知购进 1 盒 A 型号相纸比购进一盒 B 型号相纸便宜 13 元，并且花费 180 元购 进 A 型号相纸和花费 232 元购进 B 型号相纸盒数相等． （1）求购进 A、B 两型号相纸的单价分别是多少元？ （2）李师傅购进 A，B 两种型号的相纸共 50 盒，每盒均包含 10 张相纸，并把 A，B 两 种型号的相纸分别以 8 元/张，10 元/张进行陪拍服务，如果李师傅计划本次陪拍服务后 的总利润不低于 1890 元，那么最多购进 A 型号相纸多少盒？ 23．（本小题满分 10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在反比例函数𝑦 = 𝑚 𝑥 第一象限内的 图象上． （1）已知点 B 也在反比例函数𝑦 = 𝑚 𝑥 第一象限内的图象上，且点 B 在点 A 的下方，延长 AB 与 x 轴交于点 C． ①如图 1，如果 m＝2，∠OAB＝90°，且 OB 平分∠AOC，求△OAB 的面积； ②如图 2，如果点 B 是线段 AC 的中点，直线 OA 的表达式为 y＝k1x，直线 OB 的表达式 为 y＝k2x，求 𝑘1 𝑘2 的值； （2）已知点 D 在射线 OA 上（点 D 不与点 A 重合），过点 D 作 x 轴的垂线，与反比例函 数𝑦 = 𝑚 𝑥 的图象交于点 E，联结 AE，请问是否存在点 E，使得 AD＝AE？如果存在，求点 A 的坐标（用 m 表示）；如果不存在，请说明理由． 九年级数学试题 第 7 页（共 8 页） 24．（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax 2 +bx+c 与 x 轴交于 A（﹣1，0）， B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，点 T 是 x 轴上一动点，将顶点 M 绕点 T 旋转 90°刚好落在抛物线上的点 N 处，求点 T 的坐标； （3）点 P 为抛物线 y＝ax 2 +bx+c 的对称轴上一定点，过点 P 的直线交抛物线于点 E、F （点 E 在 F 的左侧）．若 1 𝑃𝐸 + 1 𝑃𝐹 恒为定值 m，求 m 的值． 九年级数学试题 第 8 页（共 8 页） 25．（本小题满分 12 分）【问题初探】 数学课上，同学们将两块大小不一的等腰直角三角板叠放在一起，使得其中的一个顶点 重合，然后绕着这个顶点转动一个三角板，可以得到如图 1，图 2 所示的两种情况，据此 得到如图 3，图 4 所示的两个图形． （1）小明发现：图 3 中存在全等三角形，进而发现 BD＝CE，且 BD⊥CE； （2）小强发现：图 4 中存在相似三角形，进而发现 𝐵𝐸 𝐶𝐷 = ( 𝐴𝐸 𝐴𝐷 )2． 请你直接写出小强发现的所有的相似三角形： ．（对应顶点要写 在对应的位置） 【类比分析】 小红发现，图3中的两个全等三角形可以看作是将一个三角形绕着顶点A逆时针旋转90° 得到的，她在图 4 中进行了类似的操作，进而发现了 BD，DE，EC 之间的数量关系． 请你先进行小红的操作，再探究 BD，DE，EC 之间的数量关系． 【学以致用】 如图 5，在等边△ABC 中，点 D，E 在 BC 边上，∠DAE＝30°，BD＝2，EC＝4，求此 时△ADE 的面积．