精品解析：广东省深圳市宝安区2024-2025学年高一上学期期末调研测试数学试题

宝安区2024－2025学年第一学期期末调研测试卷 高一数学 2025.1 注意事项： 1．答题前，请将姓名，班级和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并正确粘贴条形码. 2．作答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案写在答题卡指定区域内，写在本试卷或草稿纸上，其答案—律无效. 3．本试卷共4页，19小题，满分为150分.考试时间120分钟. 4．考试结束后，请将答题卡交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简集合，再由补集的概念，即可求出结果. 【详解】因集合，， 所以； 故选：D 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式直接化简求值即可. 【详解】； 故选：A 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题，即可得到. 【详解】命题“”的否定为：. 故选：A. 4. 记函数的零点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的单调性与零点存在性定理判断即可． 【详解】因在上都单调递增， 所以在上单调递增， 又，，即， 故的零点所在区间为. 故选：C. 5. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对数的运算性质有，显然，即可求解. 【详解】，，所以，，所以. 故选：A. 6. “在定义域内是增函数”是“函数是幂函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分必要条件的定义，结合对数函数和幂函数的性质判断. 【详解】若在定义域内是增函数，则，即， 此时不一定等于1，所以函数不一定是幂函数， 故“在定义域内是增函数”是“函数是幂函数”的不充分条件； 反之若函数是幂函数，则， 得或，此时或， 此时，即在定义域内是增函数， 所以“在定义域内是增函数”是“函数是幂函数”的必要条件； 故“在定义域内是增函数”是“函数是幂函数”的必要不充分条件. 故选：B 7. 已知函数下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递减 C. 当时，取得最大值 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦函数周期公式可求周期，即可判断A；求出函数单调递减区间，可判断B；将带入解析式计算，可判断C；求出的值可判断D. 【详解】对于选项A：的最小正周期为，故选项A错误； 对于选项B：令，得， 所以在上单调递减，B错误； 对于选项C：， 显然当时，取得最大值，C正确； 对于选项D： ，故，D错误 故选：C 8. 已知定义在上的奇函数，当时，，若恒成立，则函数的零点个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】的零点个数等于曲线和直线的交点个数，根据函数的对称性与周期性画出的图象，再在同一坐标系内画出的图象，数形结合可得答案. 【详解】等价于，故的零点个数等于曲线和直线的交点个数， ，故的一个周期为4， 又，故曲线关于直线对称， 当时，递增，可画出在上的图象， 再根据曲线关于直线对称可画出在上图象， 最后利用周期性可画出的图象，再在同一坐标系内画出的图象， 由图可知两图象共有5个交点，则函数的零点个数为5，故选D选项． 故选：D. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关于角的说法中，正确的为（ ） A. 若的终边在轴上，则 B. 若是第二象限角，则不是第二象限角 C. 若，则 D. 若扇形的圆心角为，半径为2，则该扇形的面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据轴线角的表示，可得A错；由是第二象限角，求出的范围，可判断B正确；由正切大于零，可得角是第一或第三象限角，故C错；由扇形面积公式，可得D正确. 【详解】若的终边在轴上，则，故A错； 若是第二象限角，则， 则， 当时，，则是第一象限角； 当时，，则是第三象限角； 故B正确； 若，则可以是第一或第三象限角，故可能取正也可能取负，故C错； 若扇形的圆心角为，半径为2，则该扇形的面积为，故D正确； 故选：BD 10. 下列选项正确的是（ ） A. B. ，使 C. 若，则 D. 曲线与在有6个交点 【答案】AC 【解析】 【分析】根据诱导公式化简即可判断A；利用换元法，结合定义法证明函数的单调性求出函数的最值即可判断B；根据同角的平方关系和诱导公式计算即可判断C；根据同角的商数关系和正切函数的图象与性质即可判断D. 【详解】A：，故A正确； B：，则，， 所以 ， 设， 令， 则， 又， 所以，即函数在上单调递增， 同理可证在上单调递减，且， 所以，即取到最大值1， 所以对于任意的，使得，故B错误； C：由，得，又， 所以，则， 所以，故C正确； D：令，得， 所以函数与直线在上只有2个交点， 即曲线在上只有2个交点，故D错误. 故选：AC 11. 已知，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为4 【答案】ACD 【解析】 【分析】将条件代入选项，利用基本不等式和二次函数的性质，即可判断选项. 【详解】对于A选项，，当时等号成立，故A选项正确； 对于B选项，，故当时，有最小值，故B选项错误； 对于C选项，，当时等号成立，故C选项正确； 对于D选项，，当且仅当，即时，等号成立，故D选项正确. 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设不等式的解集为，则_________． 【答案】1 【解析】 【分析】把分式不等式转化为整式不等式，然后求解． 【详解】原不等式可化为, 即，所以，解得， 所以，. 故答案为：1 13. 已知为奇函数，则实数的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据奇偶函数的定义域关于原点对称建立的方程，解之即可求解. 【详解】由题意知，，得， 令，解得或， 又该函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称， 所以，解得. 经检验，符合题意， 所以. 故答案为： 14. 若，则_________． 【答案】5 【解析】 【分析】构造函数，根据函数单调性可得，从而得解. 【详解】根据题意，，， 设函数，其是增函数，方程有唯一解， 又， ． 故答案为：5 【点睛】关键点点睛：根据题意，，，构造函数，得解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合. （1）当时，求； （2）当，且时，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先解指数不等式，化简集合；再解一元二次不等式，化简集合，最后求并集即可； （2）先由将中不等式化为，讨论，，三种情况，分别求集合，再由交集为空集，即可求出结果. 【小问1详解】 由，解得， 当时，即为， 即为，， ． 【小问2详解】 ， 当，即时，，符合题意； 当，即时，，符合题意； 当，即时，则，不合题意； 综上所述，实数的取值范围是． 16. 设函数． （1）用定义证明：在区间上单调递增； （2）设，求不等式的解集． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用单调性的定义证明； （2）利用函数单调性解不等式. 【小问1详解】 任取，且， 则， ， ， 即，在上单调递增． 【小问2详解】 易知，原不等式等价于， ， 又由（1）可知，在区间上单调递增， 等价于， 即， 不等式的解集为． 17. 已知函数． （1）求函数的最小值 （2）当且仅当时，取得最小值，求在的值域 （3）若，对恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）－1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1），当取最小值； （2）当且仅当时，取得最小值即可求出的值，从而求出在的最值即可； （3）对恒成立转化为，求出的最小值即可. 【小问1详解】 由题： ， 时，取得最小值为－1． 【小问2详解】 由（1）可知：，故 当时， 故当时，即时，取得最小值－1 故当时，即时，取得最大值15 的值域为 【小问3详解】 由题：当，原不等式为， 即时， ，当且仅当取等 故此时取得最小值为0. 18. 某地为打造“生态水果庄园”，对某种果树进行调研.经调研发现，施用肥料千克时，这种果树的单株产量（单位：千克），单株施用肥料及其它成本的总投入为元.已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求.记该果树的单株利润为（单位：元）． （1）求的解析式； （2）当施用肥料为多少千克时，该果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）施用肥料为3千克时，该果树的单株利润最大，最大利润是390元 【解析】 【分析】（1）根据可得的解析式. （2）利用二次函数的性质及基本不等式可求的最大值. 【小问1详解】 由已知得，， ∵， ∴， 整理得，. 【小问2详解】 当时，，对称轴为直线， ∴. 当时， ， 当且仅当，即时等号成立，故， ∵，∴的最大值为390， ∴当施用肥料为3千克时，该果树的单株利润最大，最大利润是390元． 19. 已知函数和，且． （1）若的最小值为，求实数的值． （2）若与的图像有且仅有一个交点，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由条件转化为函数的最小值为，讨论的取值范围，确定函数的最值，即可求解； （2）由条件转化为对数方程只有1个实数根，讨论的取值，结合根的个情况，即可求解. 【小问1详解】 由题可知：函数的最小值为． ①当时，，此时 ②当时，，此时无最小值 ③当时，，得或在这两段上的取值范围均为，故不成立． ④当时，，此时无最小值 ⑤当时，，此时，有最小值，无最大值， 综上：或 【小问2详解】 由题可知 对于①，可得，即 （i）当时，只有一个零点，代入②③检验成立． （ii）当时，方程有两个零点，由题只能有一个零点满足题意 若满足，则，得 且不满足，若同时满足②③，则， 则不满足条件为．故无解． 若满足，即不满足，即故． 综上所述： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 宝安区2024－2025学年第一学期期末调研测试卷 高一数学 2025.1 注意事项： 1．答题前，请将姓名，班级和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并正确粘贴条形码. 2．作答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案写在答题卡指定区域内，写在本试卷或草稿纸上，其答案—律无效. 3．本试卷共4页，19小题，满分为150分.考试时间120分钟. 4．考试结束后，请将答题卡交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A B. C. D. 3. 命题“”否定是（ ） A. B. C. D. 4. 记函数的零点为，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. “在定义域内是增函数”是“函数是幂函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知函数下列说法正确的是（ ） A. 最小正周期为 B. 在上单调递减 C. 当时，取得最大值 D. 8. 已知定义在上的奇函数，当时，，若恒成立，则函数的零点个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关于角的说法中，正确的为（ ） A. 若的终边在轴上，则 B. 若是第二象限角，则不是第二象限角 C. 若，则 D. 若扇形的圆心角为，半径为2，则该扇形的面积为 10. 下列选项正确的是（ ） A. B. ，使 C. 若，则 D. 曲线与在有6个交点 11. 已知，且，则（ ） A. 最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设不等式的解集为，则_________． 13. 已知为奇函数，则实数的值是_________． 14. 若，则_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合. （1）当时，求； （2）当，且时，求实数的取值范围． 16. 设函数． （1）用定义证明：在区间上单调递增； （2）设，求不等式的解集． 17. 已知函数． （1）求函数最小值 （2）当且仅当时，取得最小值，求在的值域 （3）若，对恒成立，求的取值范围． 18. 某地为打造“生态水果庄园”，对某种果树进行调研.经调研发现，施用肥料千克时，这种果树的单株产量（单位：千克），单株施用肥料及其它成本的总投入为元.已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求.记该果树的单株利润为（单位：元）． （1）求的解析式； （2）当施用肥料为多少千克时，该果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 19. 已知函数和，且． （1）若的最小值为，求实数的值． （2）若与的图像有且仅有一个交点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$