精品解析：湖南省长沙市2024-2025学年高三上学期新高考适应性考试数学试题

长沙市2025年新高考适应性考试数学 本试卷共5页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.请保持答题卡的整洁.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知是虚数单位，则复数的值是（ ） A. 1 B. C. i D. 2. 若空间中三条不同直线满足，且，则直线与直线必定（ ） A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 异面 3. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的图象如下图所示，则其导函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 若在区间上是增函数，则的最大值是（ ） A. B. C. 1 D. 6. 在中，.若于，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线上两点满足，若线段的中点的纵坐标的最小值为4，则（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知函数，若在存在最小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 为了解某种新产品的加工情况，并设定工人每天加工该产品的最少数量.相关部门从工厂随机抽查了100名工人在某天内加工该产品的数量.现将这些观测数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），绘制出如图所示的频率分布直方图，则（ ） A. 样本观测数据的极差不大于50 B. 样本观测数据落在区间上的频率为0.025 C. 样本观测数据的平均数大于中位数 D. 若将工人每天加工产品的最少数量设为55，估计80%的工人能完成任务 10. 已知是等比数列的前项和，满足成等差数列，则（ ） A. 成等比数列 B. 成等差数列 C. 成等比数列 D. 成等差数列 11. 已知函数的定义域为，若存在常数与，且，使得任意，恒有，则称函数是广义周期函数.下列说法正确的有（ ） A. 一次函数（为常数）是广义周期函数 B. 若是广义周期函数，则存在实数，使得是周期函数 C. 若有两个不同的对称中心，则是广义周期函数 D. 若与都是广义周期函数，则也是广义周期函数 三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知长为2的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则线段的中点的轨迹方程是______. 13. 如图所示，将一个圆心角为的扇形纸板剪掉扇形，得到扇环，现将扇环围成一个圆台侧面.若，则该圆台的体积为______. 14. 在中，角所对的边分别为，且外接圆半径为，则的最大值为______. 四、解答题:本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 甲同学计划去参观某景点，但门票需在网上预约.该同学从第一天开始，每天在规定的预约时间段开始预约，若预约成功，便停止预约；若连续预约三天都没成功，则放弃预约.假设该同学每天预约门票成功的概率均为0.7， （1）求甲同学到第三天才预约成功的概率； （2）记为甲同学预约门票的天数，求的分布列和期望. 16. 如图，在平行六面体中，，且，设与的交于点. （1）证明:平面； （2）若，且，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知函数，其中. （1）若在点处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积为，求的值； （2）若是的极小值点，证明:. 18. 已知椭圆的左顶点为，焦距为，且离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于两点，点为的外心. （i）若为等边三角形，求点的坐标； （ii）若点在直线上，求点到直线的距离的取值范围. 19. 已知无穷数列满足.对于集合，定义若，则；若，则. （1）若，求集合； （2）若，集合，且，求中元素个数的可能值； （3）若，集合，对任意的，满足，且，证明:. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市2025年新高考适应性考试数学 本试卷共5页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.请保持答题卡的整洁.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知是虚数单位，则复数的值是（ ） A. 1 B. C. i D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用复数的乘方运算化简即可得. 【详解】根据复数乘方运算，有. 故选：D 2. 若空间中三条不同直线满足，且，则直线与直线必定（ ） A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 异面 【答案】C 【解析】 【分析】设直线的方向向量分别为，由条件证明，由此判断结论. 【详解】设直线的方向向量分别为，则都不是零向量， 因为，且， 所以，， 所以. 所以直线与直线必定垂直. 故选：C. 3. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据任意角三角函数定义，可得答案. 【详解】由角的终边经过点，所以 根据任意角三角函数定义，得. 故选：C 4. 已知函数的图象如下图所示，则其导函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的单调性可得到导函数的正负，当时，原函数斜率为零，即可得到结果. 【详解】由题可得函数的图象为单调递增，则其导函数恒成立， 排除A、D两个选项， 对于B，当，，对应的原函数此时斜率为零，该选项满足题意； 选项C不符合题意； 故选：B. 5. 若在区间上是增函数，则的最大值是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】易知，由时，，根据在区间上是增函数，由求解. 【详解】解：， 当时，， 因为在区间上是增函数， 所以，则， 所以， 则的最大值是， 故选：A 6. 在中，.若于，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题，B，C，D三点共线，可设，然后由 可得答案. 【详解】由图及题，B，C，D三点共线，则. 又于，则 . ， 则. 故选：B 7. 已知抛物线上两点满足，若线段的中点的纵坐标的最小值为4，则（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】解法一：连接，利用抛物线的性质即可求得，即可求解. 解法二：设直线，联立方程结合弦长可得，进而求得，结合对勾函数单调性分析最值即可. 【详解】解法一：设，则， 如图，连接，过点，，分别向其准线作垂线，垂足分别为， 则， 所以，所以， 当且仅当，，三点共线时取等号，又点的纵坐标的最小值为4， 所以，所以， 故选：B. 解法二：显然直线的斜率存在，设直线， 联立方程，消去y可得， 则，且， 由题意可得，整理可得， 又因为， 令，则， 构建 当，即时，在内单调递增， 则，即， 可得，解得，不合题意； 当，即时，在内单调递减，在内单调递增， 则，即， 可得，解得，符合题意； 综上所述：. 故选：B. 【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法 1.数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解； 2.构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值（注意：有时需先换元后再求最值）． 8. 已知函数，若在存在最小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出和时，函数的最小值，由题意，列出不等式，借助函数的单调性解不等式即可. 【详解】当时，单调递增， 所以当时，有最小值， 当时，单调递减， 所以，无最小值， 因为在存在最小值， 所以， 令， 因为和在上均单调递增， 所以在上均单调递增， 又因为， 所以当时，，即成立， 所以的解集为. 故选：D 二、选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 为了解某种新产品的加工情况，并设定工人每天加工该产品的最少数量.相关部门从工厂随机抽查了100名工人在某天内加工该产品的数量.现将这些观测数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），绘制出如图所示的频率分布直方图，则（ ） A. 样本观测数据的极差不大于50 B. 样本观测数据落在区间上的频率为0.025 C. 样本观测数据的平均数大于中位数 D. 若将工人每天加工产品的最少数量设为55，估计80%的工人能完成任务 【答案】ACD 【解析】 【分析】由频率分布直方图可求出极差判断A；由频率公式判断B，分别求出平均数和中位数判断C；由数据落在区间上的频率判断D. 【详解】对于A，由频率分布直方图可知，样本数据极差最大值为，故A正确； 对于B，由频率分布直方图可知，数据落在区间上的频率为，故B错误； 对于C，由频率分布直方图可知， 数据的平均数为， 因为数据落在区间上的频率为， 数据落在区间上的频率为， 所以中位数位于区间中，设为， 则，解得， 所以数据的中位数为，，故C正确； 对于D，由C知，数据落在区间上的频率为，故将工人每天加工产品的最少数量设为55，估计80%的工人能完成任务.D正确. 故选：ACD 10. 已知是等比数列的前项和，满足成等差数列，则（ ） A. 成等比数列 B. 成等差数列 C. 成等比数列 D. 成等差数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据等比数列的性质，可判断A 的真假，根据条件，求等比数列的公比，结合等比数列的通项公式及前项和公式，可判断BCD的真假. 【详解】对A：因为数列为等比数列，可设首项为（），公比为（）， 则，所以，，成等比数列，故A正确； 对B：若等比数列的公比，则，，， 根据，，成等差数列，则，即， 这与矛盾，故不成立； 当时，由. 所以， 两边同乘以得：，即， 所以，，成等差数列，故B正确； 对C：若，，成等比数列，则， 因为，所以：， 又，所以， 所以，所以，这与矛盾， 故，，不可能成等比数列，故C错误； 对D：因为，，两边同乘以，得， 可得，即， 所以，，成等差数列，故D正确. 故选：ABD 11. 已知函数的定义域为，若存在常数与，且，使得任意，恒有，则称函数是广义周期函数.下列说法正确的有（ ） A. 一次函数（为常数）是广义周期函数 B. 若是广义周期函数，则存在实数，使得是周期函数 C. 若有两个不同的对称中心，则是广义周期函数 D. 若与都是广义周期函数，则也是广义周期函数 【答案】ABC 【解析】 【分析】把代入一次函数的解析式即可证明一次函数为广义周期函数，根据广义周期函数的定义可推出选项正确，利用对称中心的结论可解决选项.，选项可通过周期函数的结论来推. 【详解】对于,由，只需使 故一次函数（为常数，且）是广义周期函数，故正确； 对于,若是广义周期函数，则存在常数与，且，使， 则, 令，得,即存在实数，使得， 此时，是周期函数，即正确； 对于,若有两个不同的对称中心和， 因为为函数的对称中心，所以， 因为为函数的对称中心，所以， 上面两式做减法可得：， 所以 用去代替上式中的可得：， 故是广义周期函数，故正确. 对于,因为与都是广义周期函数，则存在常数与，恒有， 存在常数与，恒有. 设，因与没有特定的数量关系，故得不到为广义周期函数.故错误. 故选：. 三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知长为2的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则线段的中点的轨迹方程是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出线段的中点到原点的距离，再根据圆的定义写出该点的轨迹方程. 【详解】解：设线段的中点， 若不与原点重合时，则是直角三角形，且为直角，则,即的轨迹是以原点为圆心，以为半径的圆， 方程为， 若有一个是原点，同样满足， 故线段的中点的轨迹方程是：. 故答案为： 13. 如图所示，将一个圆心角为的扇形纸板剪掉扇形，得到扇环，现将扇环围成一个圆台侧面.若，则该圆台的体积为______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用圆台的体积为一个大圆锥的体积减去一个小圆锥的体积，利用母线长可求得大圆锥的底面圆半径，进而求得圆锥的高，可求大圆锥的体积，同理求得小圆锥的体积，可求圆台的体积. 【详解】圆台的体积为一个大圆锥的体积减去一个小圆锥的体积， 扇形所围成的大圆锥的弧长为，所围成底面圆的半径为， 所以圆锥的高为， 故扇形所围成的大圆锥的体积为. 同理可得扇形所围成的小圆锥的体积为， 所以则该圆台的体积为. 故答案为：. 14. 在中，角所对的边分别为，且外接圆半径为，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理和三角形的面积公式可得，又，利用余弦定理和三角形的面积公式可得，再由基本不等式可得，进而得，即可求得的最大值. 【详解】设的面积为，的外接圆半径为， 由正弦定理， 则， 则， 由余弦定理， 则 ， 由，得， 所以 ，当且仅当时取等号， 所以， 则的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是先由正弦定理和三角形的面积公式可得，再由余弦定理和三角形的面积公式结合基本不等式可得. 四、解答题:本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 甲同学计划去参观某景点，但门票需在网上预约.该同学从第一天开始，每天在规定的预约时间段开始预约，若预约成功，便停止预约；若连续预约三天都没成功，则放弃预约.假设该同学每天预约门票成功的概率均为0.7， （1）求甲同学到第三天才预约成功的概率； （2）记为甲同学预约门票的天数，求的分布列和期望. 【答案】（1） （2）分布列如下： 2 3 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式及互斥事件的概率求和公式可得答案. （2）求出随机变量的可能取值和概率可得答案； 【小问1详解】 设甲同学到第三天才预约成功的事件为， 根据独立事件的乘法公式，； 【小问2详解】 随机变量的可能取值为， ， ， ， 2 3 ； 16. 如图，在平行六面体中，，且，设与的交于点. （1）证明:平面； （2）若，且，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：因为底面为平行四边形，且， 所以为菱形，所以. 又，，平面，且， 所以平面. 因为平面，所以. 在和中： （）. 所以. 又为中点，所以. 又，平面，且， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先通过证明平面，得到，再通过等腰三角形的性质得到，根据线面垂直的判定定理可证平面. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求直线与平面所成角的正弦. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，，，两两垂直，所以以为原点，建立如图空间直角坐标系： 因为，，， 所以，，. 所以，，，. 所以，，. 设平面的法向量为， 则， 取，得. 所以，，. 设直线与平面所成的角为， 则. 17. 已知函数，其中. （1）若在点处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积为，求的值； （2）若是的极小值点，证明:. 【答案】（1）； （2）由（1），且，，， 由是的极小值点，则且，可得， 要证，即，需证，即， 令且，只需证，而， 所以当时，，当时，， 所以上单调递减，上单调递增，故， 综上，只需，即即可， 若，则，故， 此时，且， 对于，则，显然时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增，则， 所以，故单调递增，无极小值，不符合题设； 综上，，故得证. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程，根据切线与两坐标轴所围成三角形的面积列方程求参数即可； （2）对函数求导，根据易知可得，应用分析法转化为证明，构造且，问题化为，导数研究函数最值可得，应用反证法证明时得到矛盾结论，即可证结论. 【小问1详解】 由题设，则， 所以在点处的切线为， 令，则；令，则， 所以切线与两坐标轴所围成三角形的面积，可得. 【小问2详解】 略 18. 已知椭圆的左顶点为，焦距为，且离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于两点，点为的外心. （i）若为等边三角形，求点的坐标； （ii）若点在直线上，求点到直线的距离的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据焦距为，离心率为即可求出，再由即可求出，进而得椭圆的方程； （2）（i）根据为等边三角形，可设直线的方程为：，根据求得的值，点为外心，即为中垂线的交点； (ii)设直线的方程为：，设，联立方程组有，的外心点在直线上， 所以有，即可得，最后由点到直线的距离得，利用函数求出最值即可. 【小问1详解】 因为椭圆的焦距为， 又因为离心率为，所以， 由得， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 （i）因为为等边三角形，所以， 由对称性可知关于轴对称， 可设直线的方程为：，当时，， 所以点，点，， 因为，所以， 化简整理有：，解得或-（舍去）， 又因为点为的外心，即为的重心， 设，则有，所以； （ii）当直线的斜率为0时，线段的中垂线为轴，不满足题意. 设直线的方程为：，则有：， 所以， 设，则有：， 设、为线段，的中点，则，， 可得线段的中垂线方程为，即①， 同理可得线段的中垂线方程为②， 联立①②解得 ， 由，可得，即，代入不等式， 解得且，则， 所以点到直线的距离为， 设函数，，则在为减函数， 在为增函数，可得，进而得. 综上，点到直线的距离的取值范围为. 【点睛】难点点睛：圆锥曲线类的综合解答题，解答思路一般并不困难，难点在于复杂的计算，并且大多都是字母参数的运算，因此要求学生有较强的计算能力和推理能力. 19. 已知无穷数列满足.对于集合，定义若，则；若，则. （1）若，求集合； （2）若，集合，且，求中元素个数的可能值； （3）若，集合，对任意的，满足，且，证明:. 【答案】（1） （2）0或1 （3） 设，中最小元素为， 而， 由于最大，故， 那么， 由于， 所以，即， 所以. 【解析】 【分析】（1）由数列新定义可得； （2）由数列新定义分、结合等比数列的求和公式讨论即可； （3）由数列新定义结合等比数列的求和公式证明即可； 【小问1详解】 由题意可得， 因为，所以集合. 【小问2详解】 ，设，， 不妨设，，表示集合中元素个数， 当时，，； 当时，，； 由于，故， 当，显然找不到满足条件的， 所以中元素个数的可能值为0或1. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够理解数列新定义，并结合等比数列的求和公式计算. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $