精品解析：福建省三明市2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题

2024-2025学年第一学期期末质量监测试题 八年级数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共6页． （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 4．考试结束，考生必须将答题卡交回． 第I卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 的立方根为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 1或 2. 若中一条直角边和斜边的长分别为6和10，则另一条直角边的长是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 3. 下列方程组是二元一次方程组的是（） A. B. C. D. 4. 点在轴的左侧，在轴的上方，距离每个坐标轴都是4个单位长度，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线被直线所截，下列条件不能证明的是（ ） A. B. C. D. 6. 八年级（1）班有学生45人，八年级（2）班有学生50人，期末数学测试中，（1）班学生的平均分为100分，（2）班学生的平均分为分，这两个班95名学生的平均分为（ ） A. 100 B. C. 102 D. 7. 下列各数中，界于5和6之间的数是（ ） A. B. C. D. 8. 已知一次函数，随的增大而减小，且，则在直角坐标系内它的大致图象是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，一次函数与的图象交于，则关于的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 10. 在中，，M，N分别是AC，BC边上的动点，将沿折叠得到，若与的边平行，则的度数为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 第II卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 2的算术平方根是_______ 12. 在平面直角坐标系中，点在轴上，则_____． 13. 甲、乙两名战士在相同的条件下各射击10次，对射击的成绩进行统计分析，若，，，，则甲、乙中射击成绩较稳定的是_____． 14. 在函数中，自变量的取值范围是_____． 15. 《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三百，得酒十斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有300钱，买得10斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为斗，行酒为斗，则可列二元一次方程组为_____． 16. 我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补证明了勾股定理，如图，设直角三角形的边长分别是，，斜边的长为，作三个边长分别为，，的正方形，把它们拼成如图所示形状，使，，三点在一条直线上．若，四边形与面积之和为37，则正方形的面积为_____． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算 （1）； （2） 18. 解方程组： 19. 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）在所给的平面直角坐标系中，画出； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出，使与关于轴对称，并求的面积． 20. 学校开展以“书香校园”为主题的读书活动，同学们积极参与主题活动的规划、实施、组织和管理，组成调查组、采购组、规划组等多个研究小组．调查组设计了一份问卷，并实施两次调查．活动前，调查组随机抽取20名同学，调查他们一周的课外阅读时间（单位：h），并分组整理，制成如下条形统计图．活动结束一个月后，调查组再次随机抽取20名同学，调查他们一周的课外阅读时间（单位：h），按同样的分组方法制成如下扇形统计图．其中组为，组为，组为，组为，组为． 根据以上信息，解答下列问题： （1）写出扇形统计图中的值； （2）判断活动前、后两次调查课外阅读时间的中位数分别落在哪一组； （3）该校共有2000名学生，请根据活动后的调查结果，估计该校学生一周的课外阅读时间不小于的人数． 21. 如图，在四边形中，，． （1）求的度数； （2）平分交于点，．求证：． 22. 【阅读材料】平面内两点，，则由勾股定理可得，这两点间的距离． 【解决问题】 如图，在平面直角坐标系中，已知，． （1）求直线的函数表达式； （2）判断的形状，并说明理由． 23. “我在闽江源头有棵树”，某市黄花梨果大皮薄、果肉洁白、质地细腻、汁多味甜、富含维生素，现欲将一批黄花梨运往外地销售，若用1辆型车和2辆型车载满黄花梨一次可运走11吨；用2辆型车和1辆型车载满黄花梨一次可运走13吨．现有黄花梨32吨，计划同时租用型、型车，一次运完，且恰好每辆车都载满黄花梨．根据以上信息，解答下列问题： （1）1辆型车和1辆型车载满黄花梨一次可分别运送多少吨？ （2）若1辆型车的租金为200元/次，1辆型车的租金为150元/次，请问有几种租车方案？选出费用最少的租车方案，并求出最少的租车费． 24. 如果两点到一条直线的距离相等，则称该直线为“两点的等距线”． （1）已知线段及点，如图1．过作点，的一条等距线（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （2）如图2，，，是正方形网格中的三个格点． ①在该网格中，过点用无刻度的直尺画出点，的所有等距线； ②在该网格中，是否存在异于点的格点，使得与的面积相等？若存在，在图3将所有满足条件的格点涂黑，并依次用，，，标识这些格点；若不存在，说明理由． 25. 设一个三角形的三边长分别为，，，则有下列面积公式： （秦九韶公式）； （海伦公式），其中． 如图1，在中，，，． （1）求的面积． （2）以为坐标原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． ①证明：； ②已知“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”．设的三条角平分线交于一点，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期期末质量监测试题 八年级数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共6页． （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 4．考试结束，考生必须将答题卡交回． 第I卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 的立方根为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 1或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了立方根，掌握立方根的定义是解题的关键．根据立方根的定义即可解答． 【详解】解：的立方根为． 故选：A． 2. 若中一条直角边和斜边的长分别为6和10，则另一条直角边的长是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意得，另一条直角边的长是． 故选：C． 3. 下列方程组是二元一次方程组的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组，据此进行判断即可． 【详解】解：中含有3个未知数，不符合二元一次方程组的定义，则A不符合题意； 中不是整式，则B不符合题意； 中的次数不是1，则C不符合题意； 符合二元一次方程组的定义，则A符合题意； 故选：D． 4. 点在轴的左侧，在轴的上方，距离每个坐标轴都是4个单位长度，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标的确定与意义，点到x轴的距离是其纵坐标的绝对值，到y轴的距离是其横坐标的绝对值.在y轴左侧，在x轴的上侧，即点在第二象限，横坐标为负，纵坐标为正． 【详解】解：∵点在y轴左侧，在x轴的上方， ∴点横坐标为负，纵坐标为正； 又∵距离每个坐标轴都是4个单位长度， ∴点的坐标为． 故选：B 5. 如图，直线被直线所截，下列条件不能证明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐项判断即可求解，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴由同位角相等，两直线平行，可得，该选项不合题意； 、和是一对对顶角， ∴不能证明 、∵， ∴由内错角相等，两直线平行，可得，该选项不合题意； 、∵， ∴由同旁内角互补，两直线平行，可得，该选项不合题意； 故选：． 6. 八年级（1）班有学生45人，八年级（2）班有学生50人，期末数学测试中，（1）班学生的平均分为100分，（2）班学生的平均分为分，这两个班95名学生的平均分为（ ） A. 100 B. C. 102 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是加权平均数的求法，有理数四则混合运算的应用，本题利用加权平均数公式求解，要分清数据中的权． 【详解】解：由题意知，（分）． 故选：C． 7. 下列各数中，界于5和6之间的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了立方根、算术平方根、无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解题的关键．由和可得，再由和可得，结合选项即可得出结论． 【详解】解：，，， ， ，，， ， 由选项可得，界于5和6之间的数是． 故选：C． 8. 已知一次函数，随的增大而减小，且，则在直角坐标系内它的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质．，图象过第一，三象限；，图象过第二，四象限．，图象与轴正半轴相交；，图象过原点；，图象与轴负半轴相交．利用一次函数的性质进行判断． 【详解】解：一次函数，随着的增大而减小， ， 又， ， 此一次函数图象过第一，二，四象限． 故选：C． 9. 如图，一次函数与的图象交于，则关于的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)， 利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 【详解】∵一次函数与的图象交于点， ∴一次函数与的图象交于点， ∴关于的方程组的解为， 故选：A． 10. 在中，，M，N分别是AC，BC边上的动点，将沿折叠得到，若与的边平行，则的度数为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了翻折的性质，三角形内角和定理，平行线的性质；分类讨论：①当时， ②当时；能根据与的不同的边平行进行分类讨论是解题的关键. 【详解】如图1中，①当 由折叠得， ②当时，如图2 ， 由折叠得， ∴的度数为或； 故选：B． 第II卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 2的算术平方根是_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的定义，正确理解算术平方根的定义是解题的关键．根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：2的算术平方根是． 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，点在轴上，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了轴上点的坐标特点，根据在轴上的点纵坐标为0进行求解即可． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点在轴上， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 甲、乙两名战士在相同的条件下各射击10次，对射击的成绩进行统计分析，若，，，，则甲、乙中射击成绩较稳定的是_____． 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，熟练掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定是解题的关键．根据方差的意义，方差越小数据越稳定即可得出结论． 【详解】解：由题意得，，， 射击成绩较稳定的是乙． 故答案为：乙． 14. 在函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的范围，二次根式有意义的条件，根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，． 故答案为：． 15. 《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三百，得酒十斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有300钱，买得10斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为斗，行酒为斗，则可列二元一次方程组为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．设醇酒为斗，行酒为斗，根据“今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有300钱，买得10斗酒”列出方程组． 【详解】解：依题意得：， 故答案为：． 16. 我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补证明了勾股定理，如图，设直角三角形的边长分别是，，斜边的长为，作三个边长分别为，，的正方形，把它们拼成如图所示形状，使，，三点在一条直线上．若，四边形与面积之和为37，则正方形的面积为_____． 【答案】58 【解析】 【分析】作于点，根据四边形、四边形、四边形都是正方形，得，，，证明，由题意得，，证明，再证明，得出，根据，，通过计算可得，． 【详解】解：如图，作于点，则， 四边形、四边形、四边形都是正方形， ，，， ， ， ，， ，，， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ①， ， ②， 由①②得， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查勾股定理的证明、全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、乘法公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算 （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，在二次根式的混合运算中，结合题目特点，灵活运用乘法公式，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． （1）利用平方差公式计算； （2）利用二次根式的除法法则计算； 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 18. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，运用加减消元法，即得：，则，再把代入②，得，解得，即可作答． 【详解】解：依题意 得：， ∴， 把代入②，得， 解得：， ∴原方程组的解是． 19. 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）在所给的平面直角坐标系中，画出； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出，使与关于轴对称，并求的面积． 【答案】（1） 如图，为所求作． （2） 如图，为所求作． 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，画已知图形的轴对称图形，求图形的面积等知识，熟练掌握关于轴对称的点的特征是解题的关键． （1）根据的三个顶点坐标，在平面直角坐标系中描出对应的点，再顺次连接即可； （2）关于x轴对称的点的坐标，横坐标不变，纵坐标互为相反数，从而可得出的坐标；在坐标系中描出这三个点，依次连接这三个点即可得到所画的图形并利用填补法，将填补成一个梯形，再利用梯形的面积减去多余三角形的面积即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作轴， 20. 学校开展以“书香校园”为主题的读书活动，同学们积极参与主题活动的规划、实施、组织和管理，组成调查组、采购组、规划组等多个研究小组．调查组设计了一份问卷，并实施两次调查．活动前，调查组随机抽取20名同学，调查他们一周的课外阅读时间（单位：h），并分组整理，制成如下条形统计图．活动结束一个月后，调查组再次随机抽取20名同学，调查他们一周的课外阅读时间（单位：h），按同样的分组方法制成如下扇形统计图．其中组为，组为，组为，组为，组为． 根据以上信息，解答下列问题： （1）写出扇形统计图中的值； （2）判断活动前、后两次调查课外阅读时间的中位数分别落在哪一组； （3）该校共有2000名学生，请根据活动后的调查结果，估计该校学生一周的课外阅读时间不小于的人数． 【答案】（1）的值为 （2）活动前调查课外阅读时间的中位数落在组；活动后调查课外阅读时间的中位数落在组 （3）1100人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图、中位数的定义，理解题意，从统计图中获取信息是解题的关键． （1）根据扇形统计图的比例计算即可； （2）结合统计图的信息，根据中位数的定义求解即可； （3）根据扇形统计图得到学生一周的课外阅读时间不小于的百分比，再用该校学生总人数乘以所占百分比即可解答． 【小问1详解】 解：由扇形统计图可得，， 扇形统计图中的值为． 【小问2详解】 解：由条形统计图可得，活动前调查课外阅读时间的中位数落在组； 由扇形统计图可得，活动后调查课外阅读时间的中位数落在组； 综上所述，活动前调查课外阅读时间的中位数落在组；活动后调查课外阅读时间的中位数落在组． 【小问3详解】 解：根据活动后的调查结果，学生一周的课外阅读时间不小于的百分比为， 估计该校学生一周的课外阅读时间不小于的人数为（人）． 答：根据活动后的调查结果，估计该校学生一周的课外阅读时间不小于的人数为1100人． 21. 如图，在四边形中，，． （1）求的度数； （2）平分交于点，．求证：． 【答案】（1） （2） 证明：平分，， ． 又∵， ． ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，以及角平分线的性质， （1）根据平行线的性质得，结合已知即可求得； （2）根据角平分线的性质得，结合平行线的性质得，进一步依据平行线的判定即可判定． 【小问1详解】 解：∵， ． 又∵， ∴； 【小问2详解】 略 22. 【阅读材料】平面内两点，，则由勾股定理可得，这两点间的距离． 【解决问题】 如图，在平面直角坐标系中，已知，． （1）求直线的函数表达式； （2）判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：是等腰直角三角形，理由如下： ，，， 根据两点间的距离公式，可得： ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形． 【解析】 【分析】（1）设直线的函数表达式为，把，代入，得，解得，由此即可得出直线的函数表达式； （2）根据两点间的距离公式，可得，，，由勾股定理的逆定理可知，再结合及等腰三角形的定义即可得出结论． 【小问1详解】 解：设直线的函数表达式为， 把，代入，得： ， 解得：， 直线的函数表达式为； 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，解二元一次方程组，已知两点坐标求两点距离，勾股定理的逆定理，等腰三角形的定义等知识点，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式、勾股定理及其逆定理是解题的关键． 23. “我在闽江源头有棵树”，某市黄花梨果大皮薄、果肉洁白、质地细腻、汁多味甜、富含维生素，现欲将一批黄花梨运往外地销售，若用1辆型车和2辆型车载满黄花梨一次可运走11吨；用2辆型车和1辆型车载满黄花梨一次可运走13吨．现有黄花梨32吨，计划同时租用型、型车，一次运完，且恰好每辆车都载满黄花梨．根据以上信息，解答下列问题： （1）1辆型车和1辆型车载满黄花梨一次可分别运送多少吨？ （2）若1辆型车的租金为200元/次，1辆型车的租金为150元/次，请问有几种租车方案？选出费用最少的租车方案，并求出最少的租车费． 【答案】（1）1辆型车载满黄花梨一次可运送5吨，1辆型车载满黄花梨一次可运送3吨 （2）一共有2种租车方案，方案一：租型车1辆，型车9辆；方案二：租型车4辆，型车4辆．最省钱的方案是：方案二：租型车4辆，型车4，最少租车费为1400元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）设1辆型车载满黄花梨一次可运送吨，1辆型车载满黄花梨一次可运送吨，根据用1辆型车和2辆型车载满黄花梨一次可运走11吨；用2辆型车和1辆型车载满黄花梨一次可运走13吨，列出方程组，解方程组即可； （2）设租用车辆，车辆，根据有黄花梨32吨，列出方程，根据，都是正整数，解方程得出答案即可． 【小问1详解】 解：设1辆型车载满黄花梨一次可运送吨，1辆型车载满黄花梨一次可运送吨． 由题意，得：， 解得：， 答：1辆型车载满黄花梨一次可运送5吨，1辆型车载满黄花梨一次可运送3吨． 【小问2详解】 解：由题意，设租用车辆，车辆，得：， ，都是正整数， 或， 一共有2种租车方案，方案一：租型车1辆，型车9辆；方案二：租型车4辆，型车4辆． 方案一的租金为：（元）， 方案二的租金为：（元）． 最省钱的方案是：方案二：租型车4辆，型车4，最少租车费为1400元． 24. 如果两点到一条直线的距离相等，则称该直线为“两点的等距线”． （1）已知线段及点，如图1．过作点，的一条等距线（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （2）如图2，，，是正方形网格中的三个格点． ①在该网格中，过点用无刻度的直尺画出点，的所有等距线； ②在该网格中，是否存在异于点的格点，使得与的面积相等？若存在，在图3将所有满足条件的格点涂黑，并依次用，，，标识这些格点；若不存在，说明理由． 【答案】（1） 解：若等距线经过线段的中点，如图： 若等距线，如图： 如图所示，等距线即为所求． （2） 解：①如图，等距线，即为所求： ②如图所示，，，，，为所求： 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图、格点作图、点到直线的距离，理解题意，掌握等距线的定义并正确作图是解题的关键． （1）根据等距线的定义，结合图形分2种情况：①等距线经过线段的中点；②等距线，分别利用尺规作图的方法作出对应的图形即可； （2）①分别作出经过线段的中点或平行于的直线，2种情况的直线即为点，的所有等距线；②由与的面积相等，可得点在过点的点，的等距线上，或者在关于直线对称的直线上，再根据格点作图找出所有的格点即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 设一个三角形的三边长分别为，，，则有下列面积公式： （秦九韶公式）； （海伦公式），其中． 如图1，在中，，，． （1）求的面积． （2）以为坐标原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． ①证明：； ②已知“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”．设的三条角平分线交于一点，求点的坐标． 【答案】（1） （2） ①证明：过作轴，轴的垂线，垂足分别为，． 则的面积． 由（1）知，． ， ． 在Rt中，， ． ∵， ． 又，． ． ，． 延长到点，使得． 则为线段的垂直平分线． ． 又， 为等边三角形． ． ． ② 【解析】 【分析】（1）根据秦九韶公式或海伦公式计算即可； （2）①过作轴，轴的垂线，垂足分别为，．由等面积法求解，可得，证明，可得，．延长到点，使得．则为线段的垂直平分线．证明为等边三角形．再进一步求解即可； ②由（2）知，，则．如图，连接，，．设到各边的距离为．由等面积法求解，设直线的函数表达式为，，再进一步求解即可. 【小问1详解】 解：依题意，在中，,,． 根据秦九韶公式，的面积． ． ． 依题意，在中，，，， 则． 根据海伦公式，的面积． ． 【小问2详解】 解：①略 ②由（2）知，，则． 如图，连接，，． 在的平分线上， 到的距离与到的距离相等． 同理，到的距离与到的距离相等． 即到各边的距离相等． 设到各边的距离为． 则，，的距离分别为，，．则． 又， ． ． 在轴上方，故可设． 设直线的函数表达式为，． 则， ． 直线的函数表达式为． 是的平分线， 点在上， ． 解得． ． 【点睛】本题考查的是三角形的面积的计算，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，坐标与图形，角平分线的性质，正比例函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $