精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市第八中学校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷

黑龙江省齐齐哈尔市第八中学校2024-2025学年高一上学期期末考试 数学试卷 （试卷满分：150分；考试时间：120分钟） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填在答题卡上.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题中条件，由交集的概念直接求解即可. 【详解】因为，所以； 故选：A 2. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】在中，由解出的值，再利用充分条件、必要条件的定义判断可得出合适的选项. 【详解】在中，，若，则或， 所以，“”“”且“”“”. 因此，在中，“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A. 3. 已知函数存在唯一的零点，则零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算区间端点处的函数值，即可根据零点存在性定理求解. 【详解】由于， 故零点所在的区间为， 故选：B 4. 若角的终边经过点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数定义，由题中条件求出正弦和正切，即可求出结果. 【详解】由题意，，， 所以； 故选：C 5. 幂函数在上是减函数，则（ ） A. -3 B. -1 C. 1 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数的特征，先求得或，再分别代入函数解析式，判断其单调性即可. 【详解】因为函数为幂函数， 所以，解得或， 当时，在上显然单调递减，符合题意； 当时，在上显然单调递增，不符合题意； 所以； 故选：D 6. 某工厂设计了一款纯净水提炼装置，该装置可去除自来水中的杂质并提炼出可直接饮用的纯净水，假设该装置每次提炼能够减少水中50%的杂质，要使水中的杂质不超过原来的4%，则至少需要提炼的次数为（ ）（参考数据：取） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意列出相应的不等式，利用对数值计算可得答案. 【详解】设经过次提炼后，水中的杂质不超过原来的4%， 由题意得， 得， 所以至少需要5次提炼， 故选：A. 7. 已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据韦达定理可得，即可代入化简，利用基本不等式求解即可. 【详解】由于的解集为，故是方程的两个实数根， 故，即， 因此， 由于，则，故，当且仅当取等号， 故， 故选：C 8. 已知函数的图象关于原点对称，且在区间上是减函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦型函数的奇偶性可得出，化简函数的解析式，利用正弦型函数的单调性与最值可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】因为函数的图象关于原点对称，则， 由于，则，所以，， 当时，， 因为函数在区间上为减函数， 则函数在区间上增函数， 所以，，可得，解得， 由可得， 当时，，由题意可得，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：D. 【点睛】思路点睛：三角函数图象与性质问题的求解思路： （1）将函数解析式变形为或的形式； （2）将看成一个整体； （3）借助正弦函数或余弦函数的图象和性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等）解决相关问题. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由，将等式两边平方可得，可判断；继而利用求得，结合选项即可逐一求解. 【详解】∵, ， 等式两边平方得 ， 解得 ∵，， ∴,A错误， 由可知， ， 且 ， 解得， 联立可得，，进而可得，故BD正确，C错误 故选：BD 10. 已知函数的图象关于点中心对称，则（ ） A. B. 在区间有两个零点 C. 直线是曲线的对称轴 D. 在区间单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正弦型函数的对称性、单调性，结合函数零点的定义逐一判断即可. 【详解】对于A,代入点，得, ,,,故A正确; 对于B,由， ，所以或，所以该函数区间有两个零点，故B正确； 对于C,代入，，故C错误; 对于D, 处于正弦函数的递增区间内，故D正确． 故选：ABD 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉.函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，例如：.已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 是周期函数 C. 的值域为 D. 在上单调递增 【答案】BC 【解析】 【分析】取特殊值，可判断A错；计算，可判断B正确；计算时的值域，可判断D错；再计算时的值域，求出在的值域，结合其周期性，即可判断C正确； 【详解】因为，,，所以不是奇函数，故A错； 因为, 所以是周期为3的函数，故B正确； 当时，,，所以为定值；故D错； 当时，,，所以； 又； 所以在的值域为， 因为是周期为3的函数，所以的值域为，故C正确； 故选：BC 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，且，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】结合奇函数性质求解即可. 【详解】由，， 设函数，， 则， 即函数为奇函数，则， 所以， 则，即. 故答案为：. 13. 函数的单调递增区间为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正切函数的单调递增区间利用整体代换解不等式可得结果. 【详解】易知正切函数的单调递增区间为， 所以令，解得； 即该函数的单调递增区间为. 故答案为：. 14. 已知函数，若函数有四个不同的零点，记作，则的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式，求得的关系，从而对目标式进行消元，构造关于的函数，求其值域即可. 【详解】对于，可知其对称轴为， 令，解得或； 令，解得或； 作出函数的图象如图所示：    若函数有四个不同的零点， 即方程有四个不同的实根， 则与有四个不同的交点，交点横坐标依次为， 对于，，可得，所以； 对于，，，，，可得； 故 由对勾函数性质可知在上单调递增， 得， 所以的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据对数的运算性质可得，所以；根据二次函数的对称性可得. 四、解答题（本大题共77分.解答应写出证明过程或计算步骤.） 15. 已知. （1）化简； （2）若为第三象限角，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简即可； （2）利用诱导公式化简，再用同角公式求值即可. 【小问1详解】 即 【小问2详解】 由，可得． 因为为第三象限角， 因此， 故 16. 设函数，且. （1）求实数的值及函数的定义域； （2）求函数在区间上的最小值. 【答案】（1），定义域为 （2）0 【解析】 【分析】（1）根据题中条件，即可对数运算，得到的值；再根据真数大于零，列出不等式组求解，即可求出定义域； （2）由（1）将函数解析式整理得到，判断其在给定区间的单调性，即可得出最小值. 【详解】（1）因， 由，得，则，解得； 又，解得， 所以的定义域为； （2）由（1）得， 因为，令， 令，则函数单调递增， 故，即时，取最小值， 故的最小值为0． 17. 已知函数. （1）求函数的对称中心坐标； （2）求函数的单调递减区间； （3）若，求函数的值域. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用整体法即可根据求解， （2）利用整体法即可列不等式求解， （3）利用整体法求解，即可结合余弦函数的性质求解. 【小问1详解】 令，解得：，此时， 的对称中心为； 【小问2详解】 令，解得：， 的单调递减区间为 【小问3详解】 当时，，则， ，即的值域为 18. 某食品公司拟在下一年度开展系列促销活动，已知其产品年销量x万件与年促销费用t万元之间满足与成反比例，当年促销费用万元时，年销量是1万件．已知每一年产品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件产品需再投入32万元的生产费用，若将每件产品售价定为：其生产成本的与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销完． （1）求x关于t的函数； （2）将下一年的利润y（万元）表示为促销费t（万元）的函数； （3）该食品公司下一年的促销费投入多少万元时，年利润最大？ （注：利润=销售收入-生产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用） 【答案】（1） （2） （3）当促销费投入7万元时，企业年利润最大 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可. （2）利用销售收入减去成本即得利润. （3）利用基本不等式处理该最值问题. 【小问1详解】 由题意：与成反比例， 所以设， 将t＝0，x＝1代入，得k＝2， 所以. 【小问2详解】 当年生产x(万件)时，年生产成本为：， 当销售x(万件)时，年销售收入为：， 由题意，生产x万件产品正好销完，且年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费， 所以 即：. 【小问3详解】 由（2）有： 因为，所以，当且仅当， 即时，等号成立.所以，，即. 所以当促销费投入7万元时，企业年利润最大． 19. 已知函数和函数. （1）若函数的定义域为R，求实数的取值范围； （2）是否存在非负实数，使得函数的定义域为，值域为，若存在，求出的值；若不存在，则说明理由； （3）当时，求函数的最大值. 【答案】（1） （2）存在，， （3） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数性质，即可根据判别式求解， （2）根据二次函数的单调性，将问题转化为是的两根，即可求解, （3）代入化简，结合三角函数的性质可将问题转化为在上的最大值，根据二次函数的性质，结合分类讨论即可求解. 【小问1详解】 函数的定义域为R， 所以在R上恒成立， 当时，恒成立； 当时，若在R上恒成立， 则，解得， 综上得：，故实数的取值范围； 【小问2详解】 因为函数， 即， 假设存在非负实数m，n，定义域为，值域为， 则在单调递增， ，即是的两根 解得，所以当时，定义域为，值域为， 【小问3详解】 ， 当时，令， 则，对称轴为， 若时，函数在上递增，则； 若时，则： 若时，则； 若时，函数在上递减，则； 故. 【点睛】关键点点睛：代入化简函数，根据在单调递增，得到，即是的两根. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 黑龙江省齐齐哈尔市第八中学校2024-2025学年高一上学期期末考试 数学试卷 （试卷满分：150分；考试时间：120分钟） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填在答题卡上.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数存在唯一的零点，则零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 4. 若角的终边经过点，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 幂函数在上是减函数，则（ ） A. -3 B. -1 C. 1 D. 3 6. 某工厂设计了一款纯净水提炼装置，该装置可去除自来水中的杂质并提炼出可直接饮用的纯净水，假设该装置每次提炼能够减少水中50%的杂质，要使水中的杂质不超过原来的4%，则至少需要提炼的次数为（ ）（参考数据：取） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的图象关于原点对称，且在区间上是减函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A B. C. D. 10. 已知函数的图象关于点中心对称，则（ ） A. B. 区间有两个零点 C. 直线是曲线的对称轴 D. 在区间单调递增 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉.函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，例如：.已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 是周期函数 C. 的值域为 D. 在上单调递增 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，且，则____________. 13. 函数单调递增区间为____________. 14. 已知函数，若函数有四个不同的零点，记作，则的取值范围是____________. 四、解答题（本大题共77分.解答应写出证明过程或计算步骤.） 15. 已知. （1）化简； （2）若为第三象限角，且，求值. 16. 设函数，且. （1）求实数值及函数的定义域； （2）求函数在区间上的最小值. 17. 已知函数. （1）求函数的对称中心坐标； （2）求函数的单调递减区间； （3）若，求函数的值域. 18. 某食品公司拟在下一年度开展系列促销活动，已知其产品年销量x万件与年促销费用t万元之间满足与成反比例，当年促销费用万元时，年销量是1万件．已知每一年产品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件产品需再投入32万元的生产费用，若将每件产品售价定为：其生产成本的与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销完． （1）求x关于t的函数； （2）将下一年的利润y（万元）表示为促销费t（万元）的函数； （3）该食品公司下一年的促销费投入多少万元时，年利润最大？ （注：利润=销售收入-生产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用） 19. 已知函数和函数. （1）若函数的定义域为R，求实数的取值范围； （2）是否存在非负实数，使得函数的定义域为，值域为，若存在，求出的值；若不存在，则说明理由； （3）当时，求函数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$