2025年沪科版九年级中考数学总复习压轴题训练- 二次函数与最值

2025年沪科版九年级中考数学总复习压轴题训练- 二次函数与最值 一、选择题： 1.已知二次函数，当，下列说法正确的是(    ) A. 有最小值 B. 有最小值 C. 有最小值 D. 有最大值 2.已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 3.已知抛物线为常数，当时，其对应的函数值最小为，则的值为(    ) A. B. C. 或 D. 或 4.设二次函数是实数，则(    ) A. 当时，函数的最大值为 B. 当时，函数的最大值为 C. 当时，函数的最大值为 D. 当时，函数的最大值为 5.已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 6.已知二次函数当时，函数的最大值与最小值的差为，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 7.已知实数满足，则的最大值为          ． 8.已知二次函数，当自变量满足时，的最大值为，最小值为，则的值为          ． 9.已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为          ． 10.如图，已知二次函数的图象与一次函数的图象交于点，，过线段上一动点作直线轴交抛物线于点，则面积的最大值为__________． 第10题图 第11题图 11.当时，函数的最大值为，则的值为          ． 三、解答题： 12.已知抛物线：与轴交于，两点． 求抛物线的解析式； 当时，的最大值为，求的值； 直线与抛物线交于、两点点在点的左侧，点，连结交抛物线于另一点求证：点与点关于直线对称． 13. 如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，且，抛物线图象经过，，三点。 求，两点的坐标； 求抛物线的解析式； 若点是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点，当的值最大时，求此时点的坐标及的最大值。 第13题图 14.如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为． 求此抛物线对应的函数表达式． 是直线上方抛物线上一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为，请探究是否有最大值若有最大值，求出该最大值及此时点的坐标；若没有最大值，请说明理由． 若为该抛物线上的点，，请直接写出点的坐标． 第14题图 15.如图，抛物线与轴相交于点，与轴交于点，点是第二象限内抛物线上一动点，点是轴上一动点． 求这条抛物线的解析式； 当取最大值时，判断点是否为抛物线顶点； 若点为抛物线顶点，连接，把线段绕点旋转，使得旋转后的线段与线段有交点，请求出的取值范围． 第15题图 2025年沪科版九年级中考数学总复习压轴题训练- 二次函数与最值 参考答案 1.【答案】  【解答】 解：二次函数， 该函数的对称轴是直线，函数图象开口向上， 在的取值范围内，当时取得最大值，当时，取得最小值， 故选：． 2.【答案】  【解答】 解：因为， 所以抛物线的对称轴为直线，且顶点坐标为． 因为， 所以和时的函数值相等． 因为，当时，函数取得最大值， 所以， 又因为当时，函数取得最小值， 所以， 所以， 解得． 故选：． 3.【答案】  【解答】 解：抛物线的对称轴为直线， 当时，随增大而增大，故当时，有最小值． 时，， 所以， 解得舍去，； 当时，，不合题意舍去； 当时，随增大而减小，故当时，有最小值， 当时，， 所以，解得舍去，；综上所述，的值为或． 4.【答案】  【解答】解：由题意，令， ， ． 二次函数与轴的交点坐标是． 二次函数的对称轴是：直线． ， 有最大值． 当，最大， 即， 当时，函数的最大值为； 当时，函数的最大值为． 综上，选项正确． 故选：． 5.【答案】  6.【答案】  【解答】 解：对称轴为轴，开口向下 当时， 当时，； 当时， 舍去 则 7.【答案】  【解答】解：， ， ． ， 当时，有最大值，最大值为． 故答案为：． 8.【答案】  【解答】解：二次函数， 该函数图象开口向上，对称轴为直线， 当自变量满足时，的最大值为，最小值为， 当时，取得最大值，当时，函数取得最小值， ，， ， 故答案为：． 9.【答案】  【详解】解：二次函数， 当时，该函数取得最小值， 当时，的最小值为， 当时，时取得最小值，此时，该方程无解； 当时，时取得最小值，此时，得； 当时，当时取得最小值，此时，得； 故答案为：． 10.【答案】  【解答】解：联立二次函数与一次函数的方程： 解得： 交点的坐标为，点坐标为． 设点的横坐标为， 点在直线上，点的坐标为． 轴交抛物线于点，点的横坐标为， 将代入，可得点的坐标为． 是到的距离， 是到的距离， ， 是到的距离，是到的距离，为点与点之间的水平距离，，点在点上方，，， ， 当时，取到最大值为． 故答案为：． 11.【答案】或 【解答】解：当时，有， 解得：，， ， 抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， 当或时，， 时，函数的最大值为 或， 或， 故答案为：或． 12.【答案】解：将，代入， 得， 解得， ． ， ， 开口向上，对称轴为直线， 分情况讨论： 当， 即时，当时，为最大值， ， ，不合题意，舍去； 当， 即时，当时，为最大值， ，不合题意，舍去． 综上：或． 证明：将直线与抛物线与点向左平移一个单位可得： 直线，抛物线，点， 设，，， 令， 整理得， ， 点坐标为， 设直线解析式为， 令， 整理得， ， ，且， ， 即点，关于轴对称， 将图象向右平移个单位可得点，关于直线对称．  13.【答案】解：如图，的坐标为 故点、的坐标分别为、 抛物线的表达式为： 把代入得： ，解得： 故抛物线的表达式为： 直线过点，设其函数表达式为： 将点坐标代入上式并解得： 故直线的表达式为： 过点作轴的平行线交于点 轴 设点，则点 有最大值当时，其最大值为此时点  14.【答案】【】抛物线与轴交于、两点，  【】有最大值当时，，设直线对应的函数表达式为将代入，得，解得．直线对应的函数表达式为设，则．．当时，取得最大值，为，此时点的坐标为 【小题】点的坐标为或   如图，以为对角线作正方形，则．、与抛物线的另一个交点即为点过点作轴的平行线交轴于点，过点作于点，则，．．又，．，设，则．．，．．设直线对应的函数表达式为，则，解得．直线对应的函数表达式为联立解得不合题意，舍去或．，，，四边形是正方形，易得同理，可得直线对应的函数表达式为联立解得或不合题意，舍去．综上所述，点的坐标为或． 15【答案】解：把，代入 解得 抛物线解析式为 如图 记与抛物线的交点为为与平行且与抛物线相切的直线 设直线的解析式为 把，代入 解得 直线的解析式为 将与联立 得 由可知 将与联立 得出 当取最大值时，为， ， 顶点坐标为， 点不为抛物线顶点 如图 ， 与垂直 ， 旋转后的线段即与线段有交点 令 线段与有交点 则与同号 由图象可知，当时，两式同号且都大于等于， ．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$