第02讲 平面向量的线性运算（八大考点）-2024-2025学年高一数学考点剖析及精准练习（人教A版2019必修第二册）

2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第二册） 第02讲 平面向量的线性运算 学习目标： 1.借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量加法及减法运算,理解其几何意义； 2.了解向量的数乘的概念,并理解这种运算的几何意义； 3.理解并掌握向量数乘的运算律,会运用向量的数乘运算进行向量运算； 4.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法,并能熟练处理有关共线向量的问题. 重点难点： 重点：1.向量加、减法的运算法则及其几何意义； 2.实数与向量积的定义、运算律，向量平行的充要条件 难点：对向量加法、减法运算法则的理解；理解实数与向量的积的定义 一、向量的加法 三角形法则：已知非零向量,在平面内任取一点,作,再作向量,则向量叫做与的和,记作 平行四边形法则：已知不共线的两个向量,在平面内任取一点,以同一点为起点的两个已知向量,以为邻边作,则就是与的和 , 规定：零向量与任意向量的和,都有 运算律：①交换律：；②结合律： 相反向量 1.定义:与向量长度相等、方向相反的向量,叫做的相反向量,记作,与互为相反向量, 3.性质：①；②若互为相反向量,则； ③的相反向量是 二、向量的减法 1.向量的减法的定义:向量加上的相反向量,叫做与的差,即,求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2.运算法则:在平面内取一点O,作,则. 3.几何意义表示从向量的终点指向的终点的向量. 4.向量减法的两个重要结论: ①如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始点,被减向量的终点为终点的向量； ②一个向量等于它的终点相对于点的位置向量减去它的始点相对于点的位置向量或简记“终点向量减去始点向量”. 三、向量的数乘运算 1.定义:规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作,它的长度和方向规定如下: ①; ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时， 2.运算律:设为任意实数,则有①；②； ③ 特别地,有. (3)向量的线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量以及任意实数恒有. 四、共线向量定理 1.共线向量定理的内容：向量与共线的充要条件是存在唯一一个实数,使. 2.三点共线向量表示的两个结论 结论1：如左图，点共线的充要条件是存在唯一实数，使得. 结论2：如右图设是平面内的任意一点，点A，B，C共线的充要条件是存在唯一实数使得. 考点01 平面向量的加法运算 1．在平面四边形中，E，F分别为AD，BC的中点，则下列向量与不相等的是（   ） A． B． C． D． 2．设向量表示“向东走2 km”；向量表示“向西走1 km”；向量表示“向南走2 km”；向量表示“向北走1 km”，试说明下列向量所表示的意义： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．如图，向量，，，则向量可以表示为（    ） A． B． C． D． 4．在矩形ABCD中，，，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 5．如图，在正六边形中，＋＋＝（     ）    A． B． C． D． 考点02 平面向量的减法运算 6．化简：（   ） A． B． C． D． 7．若，，则的取值范围是 . 8．（多选）化简以下各式，结果为的有（    ） A． B． C． D． 9．已知O是平行四边形ABCD内一点，设，，，则（    ）． A． B． C． D． 10．已知向量满足，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点03 平面向量的数乘运算 11．化简下列各式： (1)3； (2)； (3)2． 12．（多选）下列结论中正确的有 （    ） A．对于实数m和向量，，恒有 B．对于实数m，n和向量，恒有 C．对于实数m和向量，，若，则 D．对于实数m，n和向量，若，则 13．已知向量，满足，，且，则实数的值是 ． 14．已知点在线段上，且，若向量，则 . 15．已知方向相同，且，则等于（    ） A．16 B．256 C．8 D．64 考点04 用已知向量表示其他向量 16．在平行四边形 中， 与 相交于 ，若 ， ，则（    ） A． B． C． D． 17．（多选）如图，平行四边形的对角线，交于点O，且，点F是上靠近点D的四等分点，则（    ） A． B． C． D． 18．如图，在中，， ，则（   ）    A． B． C． D． 19．如图，在中，是边的中点，是上一点，且，则（    ）    A． B． C． D． 20．如图，在中，，点是的中点，设，则（    ） A． B． C． D． 考点05 平面向量共线定理 21．已知、不共线，且，，那么、、三点共线的充要条件为（    ） A． B． C． D． 22．已知向量不平行，向量与平行，则的值是（   ） A． B． C． D． 23．已知是单位向量，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 24．（多选）已知向量，不共线，若，，且，则关于实数，的值可以是（ ） A．2， B．， C．2， D．， 25．若，，且向量，不共线，则一定共线的三点是（   ） A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D 考点06 平面向量共线定理的推论 26．在中，，点P在CD上，且，则（    ） A． B． C． D． 27．在平行四边形中，为的中点，为上一点，交于点，若，则 . 28．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，P为线段AE上一点，且满足，则 . 29．在中，，P是直线BN上的一点，若，则实数m的值为（    ） A． B． C． D． 30．如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．3 考点07 向量判断三角形的四心 31．如图，已知，，是中线，G为重心，则 ； .（用向量、表示）    32．（多选）设是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是边的中点 B．若，则是的垂心 C．若，则是的重心 D．若，则动点过的内心 33．点P是锐角内一点，且存在，使，则下列条件中，不能判断出为等腰三角形的是（    ） A．点是的垂心 B．点是的重心 C．点是的外心 D．点是的内心 34．已知，向量，，满足条件，．则 是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 35．O是平面上一点，A，B，C是该平面上不共线的三个点，一动点P满足，，则直线AP一定通过△ABC的（　　） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 考点08 平面向量在几何中运用 36．已知是三角形内部一点，且，则的面积与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 37．在四边形中，，点是四边形所在平面上一点，满足.设分别为四边形与的面积，则 . 38．在中，D为边的中点，经过的中点E的直线交线段，于点M，N，若，，则 ；该直线将分成的两部分，即与四边形的面积之比的最小值是 ． 39．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是AD，DC的中点，BE，BF分别交AC于M，N．求证：M，N三等分AC．    40．（多选）下列有关四边形ABCD的形状判断正确的是（    ） A．若，则四边形ABCD为平行四边形 B．若，则四边形ABCD为梯形 C．若，且，则四边形ABCD为菱形 D．若，且，则四边形ABCD为正方形 基础试炼 1．若向量表示“向东航行”，向量表示“向北航行”，则向量表示（    ） A．向东北方向航行 B．向北偏东方向航行 C．向正北方向航行 D．向正东方向航行 2．已知，为不共线的向量，且，，则（    ） A．共线 B．共线 C．共线 D．共线 3．设，为单位向量，则的最大值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知M是内部一点，且，则的面积与的面积之比为（    ） A． B． C．2 D． 5．（多选）化简以下各式，结果为的有（    ） A． B． C． D． 6．（多选）已知是两个不共线的单位向量，则下列各组向量中，一定能推出 的是（   ） A． B． C． D． 7．给出下列等式： ①； ②； ③； ④． 其中等式成立的个数为 ． 8．已知四边形和点O，若，则四边形的形状是 . 9．化简： . 10．已知、为非零向量，则下列命题中真命题的序号是 . ①若，则与方向相同；②若，则与方向相反； ③若，则与有相等的模；④若，则与方向相同． 11．已知为单位向量，则“”是“存在，使得”的 条件(从“充要充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”选一不填空) 12．已知、，用向量加法的平行四边形法则作出. 高阶突破 1．如图，在任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC中点．求证：．    2．如图，已知点是的重心，若过的重心，且，，，（，），试求的最小值． 3．（多选）设，是一个非零向量，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 4．设单位向量，，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，，，，求： (1)； (2)． 6．如图所示，中心为O的正八边形中，，，则 ．（结果用，表示） 7．已知，是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知点均在所在平面内，以下所有正确说法的序号是 ． ①若动点满足，则点为的重心； ②若动点满足，则动点的轨迹一定经过的内心； ③若动点满足，则动点的轨迹一定经过的重心； ④若动点满足，则动点的轨迹一定经过的垂心． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第二册） 第02讲 平面向量的线性运算 学习目标： 1.借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量加法及减法运算,理解其几何意义； 2.了解向量的数乘的概念,并理解这种运算的几何意义； 3.理解并掌握向量数乘的运算律,会运用向量的数乘运算进行向量运算； 4.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法,并能熟练处理有关共线向量的问题. 重点难点： 重点：1.向量加、减法的运算法则及其几何意义； 2.实数与向量积的定义、运算律，向量平行的充要条件 难点：对向量加法、减法运算法则的理解；理解实数与向量的积的定义 一、向量的加法 三角形法则：已知非零向量,在平面内任取一点,作,再作向量,则向量叫做与的和,记作 平行四边形法则：已知不共线的两个向量,在平面内任取一点,以同一点为起点的两个已知向量,以为邻边作,则就是与的和 , 规定：零向量与任意向量的和,都有 运算律：①交换律：；②结合律： 相反向量 1.定义:与向量长度相等、方向相反的向量,叫做的相反向量,记作,与互为相反向量, 3.性质：①；②若互为相反向量,则； ③的相反向量是 二、向量的减法 1.向量的减法的定义:向量加上的相反向量,叫做与的差,即,求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2.运算法则:在平面内取一点O,作,则. 3.几何意义表示从向量的终点指向的终点的向量. 4.向量减法的两个重要结论: ①如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始点,被减向量的终点为终点的向量； ②一个向量等于它的终点相对于点的位置向量减去它的始点相对于点的位置向量或简记“终点向量减去始点向量”. 三、向量的数乘运算 1.定义:规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作,它的长度和方向规定如下: ①; ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时， 2.运算律:设为任意实数,则有①；②； ③ 特别地,有. (3)向量的线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量以及任意实数恒有. 四、共线向量定理 1.共线向量定理的内容：向量与共线的充要条件是存在唯一一个实数,使. 2.三点共线向量表示的两个结论 结论1：如左图，点共线的充要条件是存在唯一实数，使得. 结论2：如右图设是平面内的任意一点，点A，B，C共线的充要条件是存在唯一实数使得. 考点01 平面向量的加法运算 1．在平面四边形中，E，F分别为AD，BC的中点，则下列向量与不相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 因为在平面四边形中，E，F分别为AD，BC的中点， 所以，． 因为，， 所以，所以A正确； 因为，，所以，所以B正确； 因为，， 所以，所以C正确； 因为，所以D错误. 故选:D． 2．设向量表示“向东走2 km”；向量表示“向西走1 km”；向量表示“向南走2 km”；向量表示“向北走1 km”，试说明下列向量所表示的意义： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)向东走4 km (2)向东南走km (3)向东北走km (4)向南走3 km 【详解】（1） 由题意，因为向量表示“向东走2 km”， 则表示“向东走4 km”； （2）因为向量表示“向东走2 km”， 向量表示“向南走2 km”， 所以表示“向东南走km”； （3）因为向量表示“向东走2 km”；向量表示“向西走1 km”；向量表示“向北走1 km”， 所以表示“向东北走km”； （4）因为向量表示“向南走2 km”，向量表示“向北走1 km”， 所以表示“向南走3 km”. 3．如图，向量，，，则向量可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 故选：A. 4．在矩形ABCD中，，，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【详解】由平面向量加法的平行四边形法则可知， 所以. 故选：C    5．如图，在正六边形中，＋＋＝（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知: ,, 所以. 故选：D 考点02 平面向量的减法运算 6．化简：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由． 故选：A. 7．若，，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意知，，且， 当，同向时，取得最小值，； 当，反向时，取得最大值，； 当，不共线时，， 故的取值范围是. 故答案为：. 8．（多选）化简以下各式，结果为的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABCD 【详解】对于A，，符合题意； 对于B，，符合题意； 对于C，，符合题意； 对于D，，符合题意． 故选：ABCD． 9．已知O是平行四边形ABCD内一点，设，，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在平行四边形ABCD中，，则， 所以. 故选：C 10．已知向量满足，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 可知，当且仅当反向时，等号成立； ，当且仅当同向时，等号成立； 所以的取值范围为. 故选：D. 考点03 平面向量的数乘运算 11．化简下列各式： (1)3； (2)； (3)2． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）； （2）； （3）. 12．（多选）下列结论中正确的有 （    ） A．对于实数m和向量，，恒有 B．对于实数m，n和向量，恒有 C．对于实数m和向量，，若，则 D．对于实数m，n和向量，若，则 【答案】AB 【详解】由数乘向量运算律，得A，B均正确； 对于C，若m＝0，则，未必一定有，错误； 对于D，若，由，未必一定有，错误． 故选：AB． 13．已知向量，满足，，且，则实数的值是 ． 【答案】 【详解】由，得，因为，，所以，即. 故答案为： 14．已知点在线段上，且，若向量，则 . 【答案】 【详解】如图，由，可得，所以，即， 故答案为： 15．已知方向相同，且，则等于（    ） A．16 B．256 C．8 D．64 【答案】A 【详解】因为方向相同，且， 所以， 所以， 故选：A. 考点04 用已知向量表示其他向量 16．在平行四边形 中， 与 相交于 ，若 ， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 因为三点共线，所以可设， 所以， 因为三点共线，所以可设， 因为 ，，所以， 所以， 所以， 即，解得，， 所以， 故选：A. 17．（多选）如图，平行四边形的对角线，交于点O，且，点F是上靠近点D的四等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由，则，所以，易知，所以， 由点F是上靠近点D的四等分点，则， . 故选：AC. 18．如图，在中，， ，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵，， ∴，， ∴，故AB选项错误； ∴，故C选项正确，D选项错误. 故选：C 19．如图，在中，是边的中点，是上一点，且，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，因为是边的中点，所以， 所以， ， 又，所以，解得． 故选：A． 20．如图，在中，，点是的中点，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为即，点为的中点， 所以， 所以. 故选：D. 考点05 平面向量共线定理 21．已知、不共线，且，，那么、、三点共线的充要条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】、、三点共线， 设，即， 由于、不共线，则，消去可得. 因此，、、三点共线的充要条件为. 故选：D. 22．已知向量不平行，向量与平行，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于与平行，故存在实数，使得， 由于向量不平行，故，解得， 故选：C 23．已知是单位向量，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为，当且仅当与共线时取等号，所以， 所以“”是“”的充分条件， 若，则存在，所以， 当时，， 所以“”是“”的不必要条件， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 24．（多选）已知向量，不共线，若，，且，则关于实数，的值可以是（ ） A．2， B．， C．2， D．， 【答案】AB 【详解】因为，则存在实数，使得， 即，即，所以， 又因为向量，不共线，所以，解得， 所以实数，的值互为倒数． 故选：AB． 25．若，，且向量，不共线，则一定共线的三点是（   ） A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D 【答案】A 【详解】对A，， 则共线，又因为有公共点，则A、B、D三点共线，故A正确； 对B，因为，故不共线，则A、B、C三点不共线，故B错误； 对C，因为，故不共线，则B、C、D三点不共线，故C错误； 对D，，因为， 故不共线，则A、C、D三点不共线，故D错误. 故选：A. 考点06 平面向量共线定理的推论 26．在中，，点P在CD上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以， 又P，C，D三点共线，所以，得. 故选：D.    27．在平行四边形中，为的中点，为上一点，交于点，若，则 . 【答案】1 【详解】因为为的中点，， 所以， 又，，共线， 所以有， 因此有：， . 故答案为：1 28．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，P为线段AE上一点，且满足，则 . 【答案】 【详解】, 由于三点共线，故，解得， 故答案为： 29．在中，，P是直线BN上的一点，若，则实数m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，则， 而三点共线，则， 所以. 故选：B 30．如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．3 【答案】C 【详解】 如图，延长交于点，因点是的重心， 则，① 因三点共线，则，使， 因，，代入得，，② 由①，②联立，可得，，消去即得，， 则， 当且仅当时等号成立， 即时，取得最小值，为. 故选：C. 考点07 向量判断三角形的四心 31．如图，已知，，是中线，G为重心，则 ； .（用向量、表示）    【答案】 【详解】因为是中线，所以为的中点，所以， 所以， 又G为的重心，所以. 故答案为：； 32．（多选）设是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是边的中点 B．若，则是的垂心 C．若，则是的重心 D．若，则动点过的内心 【答案】ACD 【详解】对于A，如图所示，根据向量加法的平行四边形法则，可得， 若，可得是边的中点，故A正确； 对于B，若，则是的外心，故B错误； 对于C，若，则，即， 所以是的重心，故C正确； 对于D，因为表示方向的单位向量，表示方向的单位向量， 所以与的角平分线同向，又， 则在的角平分线上，所以动点过的内心，故D正确. 故选：ACD 33．点P是锐角内一点，且存在，使，则下列条件中，不能判断出为等腰三角形的是（    ） A．点是的垂心 B．点是的重心 C．点是的外心 D．点是的内心 【答案】B 【详解】记的中点为D，则， 所以，点P在直线上. A选项：若点是的垂心，则， 所以，所以为等腰三角形，A正确； B选项：若点是的重心，则点在边的中线上，无法推出，B错误； C选项：若点是的外心，则点在边的中垂线上， 所以，所以为等腰三角形，C正确； D选项：若点是的内心，则为的角平分线， 所以， 又，即, 故，D正确. 故选：B 34．已知，向量，，满足条件，．则 是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】C 【详解】如图，点是的中点，所以， 因为，即，即， 则点三点共线，且，所以点是的重心， 又，所以点是的外心，则，即， 所以，同理，则，    所以是等边三角形. 故选：C 35．O是平面上一点，A，B，C是该平面上不共线的三个点，一动点P满足，，则直线AP一定通过△ABC的（　　） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【详解】，， 设的中点为，则，， 故三点共线， 由于为的中线，故点的轨迹一定通过的重心； 故选：C 考点08 平面向量在几何中运用 36．已知是三角形内部一点，且，则的面积与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，设，∵，∴，设与交于点，则平分，∴，是中点， ∴．比值为． 故选：C．    【点睛】本题考查平面向量加法的平行四边形法则，考查向量数乘的意义．掌握向量加法的平行四边形法则是解题关键． 37．在四边形中，，点是四边形所在平面上一点，满足.设分别为四边形与的面积，则 . 【答案】 【详解】在四边形中，，则四边形是梯形，且，令，， 记M，N，X，Y分别是AB，CD，BD，AC的中点，显然， 于是点M，X，Y，N顺次共线并且， 显然，，而，则， 因此点P在线段XY上，且，设A到MN的距离为h， 由面积公式可知． 故答案为： 38．在中，D为边的中点，经过的中点E的直线交线段，于点M，N，若，，则 ；该直线将分成的两部分，即与四边形的面积之比的最小值是 ． 【答案】 4 【详解】因为D为边的中点，E为的中点， 所以， 又，，所以， 因为三点共线，所以，所以. 若直线将分成与四边形两部分，由图可知，， 记，四边形，的面积分别为，， 因为， 所以， 所以，当且仅当时，取得最小值. 故答案为：4；. 39．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是AD，DC的中点，BE，BF分别交AC于M，N．求证：M，N三等分AC．    【答案】证明见解析 【详解】由题意可得：，， 所以, 由于与，与分别共线，但与不共线， 所以，，因此N是AC的一个三等分点； 同理可证，因此M也是AC的一个三等分点． 40．（多选）下列有关四边形ABCD的形状判断正确的是（    ） A．若，则四边形ABCD为平行四边形 B．若，则四边形ABCD为梯形 C．若，且，则四边形ABCD为菱形 D．若，且，则四边形ABCD为正方形 【答案】ABC 【详解】，则且，四边形ABCD是平行四边形，A正确； ，则且，四边形ABCD是梯形，B正确； 若，四边形ABCD是平行四边形，又，即，则四边形ABCD为菱形，C正确； 若，四边形ABCD是平行四边形，，即，则四边形ABCD为菱形，D错误． 故选：ABC． 基础试炼 1．若向量表示“向东航行”，向量表示“向北航行”，则向量表示（    ） A．向东北方向航行 B．向北偏东方向航行 C．向正北方向航行 D．向正东方向航行 【答案】B 【详解】如图，    易知，所以．故的方向是北偏东．又. 故选：B． 2．已知，为不共线的向量，且，，则（    ） A．共线 B．共线 C．共线 D．共线 【答案】B 【详解】因为，，， 所以，， 因为，为不共线，所以为非零向量， 若存在，使得， 则，即， 因为，不共线，所以，即，此方程组无解， 故与不共线，所以不共线，故A不正确； 因为，即与共线，又与有公共点，所以共线，故B正确； 若存在，使得，则，即， 因为，不共线，所以，即，此方程组无解， 故与不共线，所以不共线，故C不正确； 若存在，使得，则，即， 因为，不共线，所以，即，此方程组无解， 故与不共线，所以不共线，故D不正确. 故选：B 3．设，为单位向量，则的最大值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】因为，，为单位向量，所以. 当且仅当同向时，取到等号. 故选：C 4．已知M是内部一点，且，则的面积与的面积之比为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】取BC中点为D，延长AD至E，使AD=DE，则， 则M 为AD中点，过M，A做BC垂线，垂足为F，G，则. 则. 故选：B 5．（多选）化简以下各式，结果为的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对A，，故A正确； 对B，，故B正确； 对C，，故C错误； 对D，，故D正确. 故选：ABD 6．（多选）已知是两个不共线的单位向量，则下列各组向量中，一定能推出 的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，因为，，故，即，故A正确； 对于B，因为，，则，故B正确； 对于C，，，由于不共线，故，所以向量不平行，故C错误． 对于D，，故，此时，故D正确， 故选：ABD． 7．给出下列等式： ①； ②； ③； ④． 其中等式成立的个数为 ． 【答案】3个 【详解】，①对； ，②对； ，③错； ，④对． 故答案为：3个. 8．已知四边形和点O，若，则四边形的形状是 . 【答案】平行四边形 【详解】已知四边形和点O，若，则 所以，则四边形的形状是平行四边形. 故答案为：平行四边形. 9．化简： . 【答案】/ 【详解】. 故答案为： 10．已知、为非零向量，则下列命题中真命题的序号是 . ①若，则与方向相同；②若，则与方向相反； ③若，则与有相等的模；④若，则与方向相同． 【答案】①②④ 【详解】对于①，若，则与方向相同，①对； 对于②③，若，则与方向相反，②对③错； 对于④，若，则则与方向相同，④对. 故答案为：①②④. 11．已知为单位向量，则“”是“存在，使得”的 条件(从“充要充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”选一不填空) 【答案】必要不充分 【详解】当时，满足，显然不存在正数，使得成立， 若存在，使得，则， 所以“”是“存在，使得”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分 12．已知、，用向量加法的平行四边形法则作出. 【答案】作图见解析. 【详解】在平面内任取点，作向量，， 以线段为一组邻边作，连接， 则， 所以即为所作的向量. 高阶突破 1．如图，在任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC中点．求证：．    【答案】证明见解析 【详解】因为E，F分别是AD，BC中点， 所以，，. 因为，， 所以，. 2．如图，已知点是的重心，若过的重心，且，，，（，），试求的最小值． 【答案】 【详解】∵是的重心，∴是边上的中线，， ∴， ∴， 又∵，（，），∴，， ∴， 又∵，，三点共线， ∴. 又∵，，∴由基本不等式，有 ， 当且仅当，即，时，等号成立， ∴的最小值为. 3．（多选）设，是一个非零向量，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由题意，向量，且是一个非零向量，所以A正确； 由，所以B不正确，C正确； 由，，所以，所以D正确. 故选：ACD. 4．设单位向量，，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，为单位向量， 所以，当且仅当、、方向都相同时，等号成立， 作，，， 当时，如下图所示： 以、为邻边作平行四边形，则该四边形为菱形，且， 所以，为等边三角形，且， 又因为，，由图可知，， 即， 综上所述，. 故选：A. 5．如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，，，，求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知得， ∵，∴延长AC到E，使，如图所示， 则，且．∴． （2）做，连接CF，BD，则， 而， ∴且． ∴． 6．如图所示，中心为O的正八边形中，，，则 ．（结果用，表示） 【答案】 【详解】由题图可知， , 故答案为： 7．已知，是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若，则，， 所以，， 当时，，所以是充分条件， 因为，只有当与反向时，等号成立，即， 此时，所以是必要条件， 综上可知，“”是“存在，使得”的必要不充分条件. 故选：C 8．已知点均在所在平面内，以下所有正确说法的序号是 ． ①若动点满足，则点为的重心； ②若动点满足，则动点的轨迹一定经过的内心； ③若动点满足，则动点的轨迹一定经过的重心； ④若动点满足，则动点的轨迹一定经过的垂心． 【答案】①②③④ 【详解】对于①，因为动点满足，所以，则点是的重心，①正确． 对于②，，所以， 所以点在的平分线所在直线上，所以动点的轨迹一定经过的内心，②正确． 对于③，，所以， 过点作，垂足为，如下图： 则，所以， 则点在边上的中线所在直线上，因此动点的轨迹一定经过的重心，③正确． 对于④，，所以， 所以， 所以，所以动点的轨迹一定经过的垂心，④正确． 故所有正确说法的序号是①②③④． 故答案为：①②③④. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$