精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市第八中学校2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷

黑龙江省齐齐哈尔市第八中学校2024-2025学年高二上学期期末考试 数学试卷 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知直线经过点，且方向向量，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线的方向向量求出斜率，再由点斜式得到直线方程即可. 【详解】因为直线的方向向量，所以直线的斜率为2， 又直线经过点，所以直线方程为，即. 故选：B. 2. 双曲线的渐近线方程为，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算双曲线的渐近线方程，结合条件可得结果. 【详解】由题意得，， ∴双曲线的渐近线方程为，即， ∴. 故选：D. 3. 二项式的展开式中的常数项为（ ） A. 480 B. 240 C. 120 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用通项公式可得常数项. 【详解】因为的通项公式为， 令得，所以常数项为. 故选：B 4. 过点作圆的切线，则的斜率为（ ） A. 0 B. C. 0或 D. 0或 【答案】C 【解析】 【分析】首先说明点在圆外，再设点斜式方程，利用圆心到直线距离等于半径得到方程，解出即可. 【详解】将代入圆方程得，则该点在圆外， ，则其圆心为，半径为1， 当切线斜率不存在时，此时直线方程为，显然不合题意，故舍去， 则设切线方程为：，即， 则有，化简得，解得或，所以的斜率为0或. 故选：C. 5. 已知春季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为与，且两地同时下雨的概率为，则春季的一天里甲地下雨的条件下，乙地也下雨的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件概率公式直接求解即可. 【详解】记事件A为“甲地下雨”，事件B为“乙地下雨”， 则， 所以. 故选：A. 6. 已知随机变量，那么的值为（ ） A. 0.2 B. 0.32 C. 0.4 D. 0.8 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件得出，且有，进而根据对称性求得即可. 【详解】已知随机变量，， 则， 根据正态密度曲线的对称性得出 故选：A. 7. 圆关于直线对称后的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意求得圆的圆心关于直线的对称点坐标，即可得出结果. 【详解】易知圆的圆心为， 设关于直线对称点为， 所以，解得， 因此对称后圆的圆心为，半径为， 即可得方程为. 故选：A 8. 已知椭圆，直线，则椭圆上的点到直线距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆的参数方程，设出点的坐标，再利用点到直线的距离公式，表示距离，借助三角函数求得距离的最大值. 【详解】设椭圆上的点，则椭圆上的到直线的距离为， ，其中， 当时，椭圆上的点到直线的距离取最大值. 故选：C 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 已知圆，直线.则以下几个结论正确的有（ ） A. 直线恒过定点 B. 圆被轴截得的弦长为 C. 点到直线距离的最大值是 D. 直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程为 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先变形直线求定点，将代入圆的方程，求圆与轴的交点，即可判断B，结合定点，利用点到直线的距离公式，以及弦长公式，即可判断CD. 【详解】A.直线，不管为何值，满足方程，即可直线恒过定点，故A正确； B.当时，，解得：，，所以圆被轴截得的弦长为，故B正确； C.圆心到直线的距离的最大值是圆心与定点的距离，故C错误； D.设直线的定点，当点为弦的中点时，此时弦长最短，即，，所以直线的斜率为2，所以直线的方程为，即，故D正确. 故选：ABD 10. 已知是椭圆的左、右焦点，A，B是左、右顶点，为上异于A，B的一点，延长交椭圆于点，则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆的离心率 B. 的最小值为 C. 的周长为 D. 的面积的最大值为1 【答案】AC 【解析】 【分析】由离心率的定义可得A正确；由通径长可得B错误；由椭圆的定义可得C正确；当点在上顶点时面积最大可得D错误； 【详解】   对于A，由题意可得，所以，故A正确； 对于B，由椭圆焦点弦性质可知，的最小值为椭圆的通径长，故B错误； 对于C，由椭圆的定义可得的周长为， 故C正确； 对于D，因为，当三角形的高最大时面积最大，即点为短轴端点时面积最大， 所以的面积的最大值为，故D错误； 故选：AC. 11. 随机抽取5家超市，得到其广告支出（万元）与销售额（万元）的数据如下： 超市 A B C D E 广告支出 2 4 5 6 8 销售额 30 40 60 60 70 下列说法正确的是（ ）（参考公式：；参考数据：） A. 经验回归直线经过点 B. 经验回归方程 C. 样本点的残差为 D. 预测广告支出10万元时的销售额为80万元 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，计算出样本中心点，得到A错误；B选项，计算出，得到经验回归方程；C选项，代入，求出，得到残差；D选项，代入，计算出，D错误. 【详解】A选项，，， 故经验回归直线经过点，A错误； B选项，， ，故经验回归方程为，B正确； C选项，将代入中得， 故样本点的残差为，C正确； D选项，将代入中得， 预测广告支出10万元时的销售额为87万元，D错误. 故选：BC 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知直线与双曲线交于、两点，且弦的中点为，则直线的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用点差法可得直线斜率，进而可得直线方程. 【详解】设，，则，， 又，两式相减， 得， 即，整理得， 直线的方程为， 化简得， 故答案为：. 13. 某校学生会打算将甲､乙､丙､丁､戊这5名同学安排到4个不同的社团负责组织活动，每个社团至少安排一名同学，则不同的安排方法种数是___________. 【答案】240 【解析】 【分析】根据组合求得5人分为4组的方法数，再根据排列求得4个不同的小组安排到4个不同的社团的方法数，可得答案. 【详解】先将甲､乙､丙､丁､戊这5名同学分为4组，共有种， 再安排到4个不同的社团负责组织活动，共有种不同的安排方法. 故答案为：240. 14. 椭圆C的左、右焦点分别为，，上顶点为A，直线另交椭圆C与点B，若，则C的离心率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】作出辅助线，由三角形相似得到，，求出，代入椭圆方程，求出，求出答案. 【详解】如图，过B作轴于H，设椭圆方程为， ，，易知，所以， 又，，所以，，得到， 代入椭圆方程得，整理得到，所以. 故答案为： 四、解答题（共77分） 15. 已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为，. （1）求椭圆的方程； （2）设斜率为且过的直线与椭圆交于，两点，求弦长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由椭圆基本性质得到的值，写出椭圆方程即可； （2）写出直线方程，联立方程组，由韦达定理得到，利用弦长公式即可求解． 【小问1详解】 由题意可知，则， 因为，所以，得到， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 因为，直线过且斜率为，所以直线， 联立方程组，得， 设，则， 所以． 16. 某种体育比赛采用“五局三胜制”，具体规则为比赛最多进行五场，当参赛的两方有一方先赢得三场比赛，就由该方获胜而比赛结束，每场比赛都需分出胜负.现甲，乙双方参加比赛，已知甲每局获胜的概率为，假设每场比赛的结果相互独立. （1）求甲以3:1获胜的概率； （2）如果还有“三局两胜制”可以选择，你觉得哪种赛制对甲更有利？ 【答案】（1） （2）五局三胜制 【解析】 【分析】（1）利用独立事件乘法公式求解即可； （2）分别求出甲采用“五局三胜制”和甲采用“三局两胜制”获胜的概率，比较大小即可求解. 【小问1详解】 若甲以3:1获胜，则第四局甲获胜，且前三局的比分为2:1， 所以. 【小问2详解】 采用“五局三胜制”甲会以3:0、3:1、3:2获胜， 所以甲采用“五局三胜制”获胜的概率： ； 采用“三局两胜制”甲会以2:0、2:1获胜， 所以甲采用“三局两胜制”获胜的概率： ； 因为，所以甲应该采用“五局三胜制”． 17. 如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面，，点为棱DF的中点. （1）求平面ACP与平面BCF的夹角的余弦值； （2）求点到平面ACP的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系利用空间向量即可求得两平面夹角的余弦值； （2）利用点到平面距离的向量求法计算可得结果. 【小问1详解】 由直线平面平面ABCD，得， 由矩形ABCD，得， 以原点，直线AB，AD，AF分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如下图所示： 则， 可得 设平面BCF的一个法向量， 则，令，得， 设平面APC的一个法向量为，则， 令，得， 所以平面ACP与平面BCF的夹角的余弦值为. 【小问2详解】 由（1）知，平面APC的一个法向量， 而， 所以点到平面ACP的距离. 18. 随着冬天的临近，哈尔滨这座冰雪之城，将再次成为旅游的热门目的地.为更好地提升旅游品质，我市文旅局随机选择名青年游客对哈尔滨出行体验进行满意度评分（满分分），分及以上为良好等级，根据评分，制成如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，求x的值并估计该评分的上四分位数； （2）若采用按比例分层抽样的方法从评分在，的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取3人进行单独交流，求选取的3人中评分等级为良好的人数X的分布列和数学期望； （3）为进一步了解不同年龄段游客对哈尔滨出行体验的反馈，我市文旅局再次随机选择100名中老年游客进行满意度评分，发现两次调查中评分为良好等级的人数为120名.请根据小概率值的独立性检验，分析游客的评分等级是否良好与年龄段（青年或中老年）是否有关. 附：， 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）， （2）分布列见解析， （3）无法认为游客的评分等级是否良好与年龄段有关. 【解析】 【分析】（1）根据频率和为计算出的值；先判断出上四分位数所在区间，然后结合区间端点值以及该组的频率完成计算； （2）先根据分层抽样计算出每组抽取的人数，然后确定出的可取值并计算对应概率，由此可求分布列和数学期望； （3）根据已知条件得到对应列联表，然后计算出的值并与对应比较大小，由此得到结论. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，，解得； 因为的频率为，且为最后一组， 所以评分的上四分位数位于区间中， 所以上四分位数为：； 【小问2详解】 评分在与两组的频率分别为， 所以内抽取人数，内抽取人数为， 故人中评分等级为良好的有人， 由题意可知，的可取值为， ，，， 所以的分布列为： 数学期望； 【小问3详解】 青年游客评分等级良好的有人，所以老年游客评分等级良好的有人， 由上可得如下列联表， 青年游客 老年游客 总计 评分等级良好 评分等级非良好 总计 零假设：游客的评分等级是否良好与年龄段无关， 由表中数据可得， 根据小概率值的独立性检验，可知零假设成立， 即无法认为游客的评分等级是否良好与年龄段有关. 19. 已知，点满足，记点的轨迹为. （1）求轨迹的方程； （2）直线经过点，倾斜角为，与轨迹交于C，D两点（在A，D之间），若，求的值； （3）已知点，过点作直线与轨迹交于M，N两点，记直线TM，TN的斜率分别为，试问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）是，定值为 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的定义求出，即可求出双曲线的方程； （2）利用点斜式方程得直线的方程为，与双曲线方程联立求出点C，D坐标，最后利用向量的坐标运算求出即可； （3）法一：设直线方程，与双曲线方程联立，韦达定理，代入两点斜率公式化简求解即可； 法二：按照直线的斜率不存在和存在分类讨论，斜率存在时，与双曲线方程联立，韦达定理，代入两点斜率公式化简求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以点的轨迹为以为焦点的双曲线， 设此双曲线方程为， 易知，又由解得， 即轨迹的方程为：； 【小问2详解】 因为直线经过点，倾斜角为， 所以直线的方程为，联立， 解得或，故得点和点， 则， 由得，解得； 【小问3详解】 如图， 法一：由题意得直线不可能与轴重合， 设为：， 联立得到， 而， 由韦达定理得， ， 故是为定值，且该定值为； 法二：①当直线的斜率不存在时，直线方程为， 可得，此时， ②当直线的斜率存在时，设直线方程为， 联立，得到， 而， 由韦达定理得， 所以 ， 故是为定值，且该定值为， 综上所述，为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江省齐齐哈尔市第八中学校2024-2025学年高二上学期期末考试 数学试卷 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知直线经过点，且方向向量，则的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线的渐近线方程为，则（ ） A. B. 2 C. D. 3. 二项式的展开式中的常数项为（ ） A 480 B. 240 C. 120 D. 15 4. 过点作圆的切线，则的斜率为（ ） A. 0 B. C. 0或 D. 0或 5. 已知春季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为与，且两地同时下雨的概率为，则春季的一天里甲地下雨的条件下，乙地也下雨的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知随机变量，那么的值为（ ） A. 0.2 B. 0.32 C. 0.4 D. 0.8 7. 圆关于直线对称后的方程为（ ） A B. C. D. 8. 已知椭圆，直线，则椭圆上点到直线距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 已知圆，直线.则以下几个结论正确的有（ ） A. 直线恒过定点 B. 圆被轴截得的弦长为 C. 点到直线的距离的最大值是 D. 直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程为 10. 已知是椭圆左、右焦点，A，B是左、右顶点，为上异于A，B的一点，延长交椭圆于点，则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆的离心率 B. 的最小值为 C. 的周长为 D. 的面积的最大值为1 11. 随机抽取5家超市，得到其广告支出（万元）与销售额（万元）的数据如下： 超市 A B C D E 广告支出 2 4 5 6 8 销售额 30 40 60 60 70 下列说法正确的是（ ）（参考公式：；参考数据：） A. 经验回归直线经过点 B. 经验回归方程为 C. 样本点的残差为 D. 预测广告支出10万元时的销售额为80万元 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知直线与双曲线交于、两点，且弦的中点为，则直线的方程为__________. 13. 某校学生会打算将甲､乙､丙､丁､戊这5名同学安排到4个不同的社团负责组织活动，每个社团至少安排一名同学，则不同的安排方法种数是___________. 14. 椭圆C的左、右焦点分别为，，上顶点为A，直线另交椭圆C与点B，若，则C的离心率为______. 四、解答题（共77分） 15. 已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为，. （1）求椭圆的方程； （2）设斜率为且过的直线与椭圆交于，两点，求弦长. 16. 某种体育比赛采用“五局三胜制”，具体规则为比赛最多进行五场，当参赛的两方有一方先赢得三场比赛，就由该方获胜而比赛结束，每场比赛都需分出胜负.现甲，乙双方参加比赛，已知甲每局获胜的概率为，假设每场比赛的结果相互独立. （1）求甲以3:1获胜的概率； （2）如果还有“三局两胜制”可以选择，你觉得哪种赛制对甲更有利？ 17. 如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面，，点为棱DF的中点. （1）求平面ACP与平面BCF的夹角的余弦值； （2）求点到平面ACP的距离. 18. 随着冬天的临近，哈尔滨这座冰雪之城，将再次成为旅游的热门目的地.为更好地提升旅游品质，我市文旅局随机选择名青年游客对哈尔滨出行体验进行满意度评分（满分分），分及以上为良好等级，根据评分，制成如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，求x的值并估计该评分的上四分位数； （2）若采用按比例分层抽样的方法从评分在，的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取3人进行单独交流，求选取的3人中评分等级为良好的人数X的分布列和数学期望； （3）为进一步了解不同年龄段游客对哈尔滨出行体验的反馈，我市文旅局再次随机选择100名中老年游客进行满意度评分，发现两次调查中评分为良好等级的人数为120名.请根据小概率值的独立性检验，分析游客的评分等级是否良好与年龄段（青年或中老年）是否有关. 附：， 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10828 19. 已知，点满足，记点的轨迹为. （1）求轨迹的方程； （2）直线经过点，倾斜角为，与轨迹交于C，D两点（在A，D之间），若，求的值； （3）已知点，过点作直线与轨迹交于M，N两点，记直线TM，TN的斜率分别为，试问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $