精品解析：河北省唐山市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

唐山市2024—2025学年度高二年级第一学期期末考试 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时长120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知圆，则下列各点在圆上的是（ ） A. B. C. D. 2. 在等比数列中，，则的公比为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 3. 在双曲线两支上各取一点，则的最小值为（ ） A. 6 B. 9 C. 14 D. 18 4. 已知圆与，则两圆公切线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 设椭圆的左，右焦点分别为，过作垂直于轴的直线交于两点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 若三棱锥所有棱长都相等，则与所成的角为（ ） A. B. C. D. 7. 唐山市科技馆以“探索、创新、梦想、共享”为主题向社会大众免费开放，其中有一个“声聚焦装置”，通过两个大的抛物镜，演示声音的反射和聚焦过程.如图（1）所示：这两个抛物镜与轴截面的交线为抛物线，两个抛物镜相距.小红站在其中一个金属圆环处说话，小明在另一个金属圆环处就会听到相应的声音.如图（2），已知抛物镜的口径（直径）为，深度为，则金属圆环（抛物线焦点）到抛物镜底部（抛物线顶点）的距离大致为（ ） A. B. 0 C. D. 8. 数列满足，对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线方程为，则下列选项正确的有（ ） A. 的斜率为 B. 的一个方向向量为 C. 在轴上的截距为5 D. 在轴上的截距为5 10. 记等差数列和等比数列的前项和分别是和，已知，，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知椭圆的左，右焦点分别为为上一点，则（ ） A. B. 存在点使得 C. 内切圆半径的最大值为 D. 的取值范围为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线与圆交于两点，则__________. 13. 若等比数列的前2项和为96，前4项和为120，则其前6项和为______. 14. 已知为抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于两点，若，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知圆经过点，圆心直线上. （1）求的标准方程； （2）过点作的切线，求的方程. 16. 如图，已知棱长为1的正方体. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）求平面与平面的距离. 17. 已知数列的前项和为. （1）求通项公式； （2）令，求数列的前项和. 18. 如图，在平行六面体中，所有棱长均为2，且. （1）证明：； （2）求二面角的余弦值； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 已知双曲线的焦距为4，焦点到渐近线的距离为1. （1）求的标准方程； （2）过的右焦点作两条互相垂直的直线与的右支交于点，弦的中点为与的右支交于点，弦的中点为. （i）设，求的取值范围； （ii）判断：直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 唐山市2024—2025学年度高二年级第一学期期末考试 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时长120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知圆，则下列各点在圆上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】代入各点坐标看是否满足该方程即可得出结论. 【详解】将选项中的各点代入方程，显然ABD均不满足该方程， 只有C选项满足该方程. 故选：C 2. 在等比数列中，，则的公比为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的性质，求出即可求解. 【详解】因为数列为等比数列，所以， 因为，所以， 因，所以，即， 所以的公比为. 故选：B 3. 在双曲线的两支上各取一点，则的最小值为（ ） A. 6 B. 9 C. 14 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】当为双曲线的两顶点时，取得最小,最小值等于双曲线的实轴长. 【详解】由得，即， 所以. 故选：A. 4. 已知圆与，则两圆公切线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆与圆的位置关系，以及公切线的数数量.由两圆的标准方程及两圆心的距离可得两圆相切，因此两圆的公切线的条数为3条. 【详解】由题可得，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径， 且，所以两圆外切，所以两圆的公切线为3条. 故选：C. 5. 设椭圆的左，右焦点分别为，过作垂直于轴的直线交于两点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理求出可得答案. 【详解】若，则， 所以， 可得，所以椭圆的离心率为. 故选：C. 6. 若三棱锥的所有棱长都相等，则与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取中点，连接，，由已知条件结合线面垂直的判定可得平面，则，从而可得结论. 【详解】如图所示，取中点，连接，， 因为三棱锥各条棱长均相等，所以，， 因为，平面， 所以平面，因为平面， 所以，即与所成的角是. 故选：D. 7. 唐山市科技馆以“探索、创新、梦想、共享”为主题向社会大众免费开放，其中有一个“声聚焦装置”，通过两个大的抛物镜，演示声音的反射和聚焦过程.如图（1）所示：这两个抛物镜与轴截面的交线为抛物线，两个抛物镜相距.小红站在其中一个金属圆环处说话，小明在另一个金属圆环处就会听到相应的声音.如图（2），已知抛物镜的口径（直径）为，深度为，则金属圆环（抛物线焦点）到抛物镜底部（抛物线顶点）的距离大致为（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立直角坐标系，设抛物线方程为，由在抛物线上求解. 【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系： 则设抛物线方程为：， 因为在抛物线上， 所以，解得， 则， 即金属圆环（抛物线焦点）到抛物镜底部（抛物线顶点）的距离大致为， 故选：A 8. 数列满足，对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，两边同时减构造等比数列，求出代入，分离参数转化为求得最小值问题，求解即可得到实数的取值范围. 【详解】因为，所以， 所以，所以是以为首项，公比为的等比数列， 所以，所以， 由恒成立，得恒成立， 令，由于，显然关于单调递增， 所以当时，，所以. 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线的方程为，则下列选项正确的有（ ） A. 的斜率为 B. 的一个方向向量为 C. 在轴上截距为5 D. 在轴上的截距为5 【答案】ABC 【解析】 【分析】化直线的方程为斜截式方程，结合直线的斜率与直线方向向量的关系，即可判断A、B、C，令，解出即可判断D. 【详解】对于A，直线的方程为，即， 所以直线的斜率为，A正确； 对于B，根据直线的斜率，可以确定为直线的一个方向向量，B正确； 对于C，根据直线的斜截式方程，可知在轴上的截距为5，C正确； 对于D，令，解得，所以在轴上的截距为，D错误. 故选：ABC 10. 记等差数列和等比数列的前项和分别是和，已知，，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用数列的通项公式与前n项和公式，得到首项和公比、公差的方程，求出数列的首项公比和公差，得到数列的通项公式和前n项和公式，逐项判断即可. 【详解】设等差数列公差为d，等比数列的首项为q， 由，得，，， 由，得方程组，解得， 所以，，所以，故A错误；B正确； ，故C正确；由得或， 当时，； 当时，；故D错误. 故选：BC 11. 已知椭圆的左，右焦点分别为为上一点，则（ ） A. B. 存在点使得 C. 内切圆半径的最大值为 D. 的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，求出根据的范围利用配方法可判断A；假设存在点使得，利用椭圆定义、勾股定理可判断B；设内切圆半径为，根据三角形面积相等、的范围，求出取得最大值可判断C；设，求出，根据的范围可判断D. 【详解】，，， 对于A，所以，故A正确； 对于B，假设存在点使得，由题意可得， 整理可得，因为，方程无解， 故不存在点使得，故B错误； 对于C，设内切圆半径为， 由， 即，若能构成三角形，则， 显然当取得最大值时，取得最大值为，故C正确； 对于D，设，则，，且， ， 所以， 因为，所以，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：解决焦点三角形问题要注意应用三个方面的知识：①圆锥曲线的定义；②勾股定理或余弦定理；③基本不等式与三角形的面积公式. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线与圆交于两点，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由圆的方程确定圆心和半径，再由直线方程即可得出结果. 【详解】易知圆的圆心为，半径； 显然圆心在直线上，因此即为直径，所以. 故答案为：4 13. 若等比数列的前2项和为96，前4项和为120，则其前6项和为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用等比数列前项和的性质以及等比数列的定义即可求解. 【详解】由于，故. 从而，即， 故. 所以. 故答案为：. 14. 已知为抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于两点，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】设出直线方程与抛物线方程联立，借助弦长公式求出，再利用余弦定理求得答案. 【详解】设直线，点， 由消去得， 所以， 所以， 解得，方程，解得， 于是，由余弦定理得. 故答案为： 【点睛】结论点睛：直线l：上两点间的距离； 直线l：上两点间的距离. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知圆经过点，圆心在直线上. （1）求的标准方程； （2）过点作的切线，求的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）设点为线段的中点，直线为线段的垂直平分线，求出直线的方程，与联立求出圆心坐标和半径可得答案； （2）当切线的斜率不存在时，得与圆相切；当的斜率存在时，设的方程为，利用点到圆心的距离等于半径可得答案. 【小问1详解】 设点为线段的中点，直线为线段的垂直平分线，则点坐标为. 因为，所以， 则直线的方程为，即. 由得， 所以圆心的坐标为； 圆的半径， 所以圆的标准方程为； 【小问2详解】 当切线的斜率不存在时，圆心到直线的距离为， 等于半径，与圆相切. 当的斜率存在时，设的方程为，即. 则，解得， 所以的方程为. 综上，的方程为或. 16. 如图，已知棱长为1的正方体. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）求平面与平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用正方体的性质建立空间直角坐标系，找到直线的方向向量和平面的法向量，根据向量的数量积可得两向量垂直，进而可得平面. （2）在空间直角坐标系中计算求得平面的法向量，求得平面的法向量与平面的法向量平行，可得平面平面. （3）将两平面之间的距离转化为点到平面的距离，利用距离公式可求得. 【小问1详解】 如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图空间直角坐标系， 则， 所以. 设平面的一个法向量为， 则即取. 所以，即. 又因为平面，所以平面. 【小问2详解】 由（1）得平面的一个法向量为. 设平面的一个法向量为， 则即取. 故，而点平面,所以平面平面. 【小问3详解】 由（2）得平面平面， 所以平面与平面的距离即为到平面的距离. 又，平面的一个法向量为. 所以到平面的距离为， 即平面与平面的距离为. 17. 已知数列的前项和为. （1）求的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据的关系即可作差求解， （2）利用裂项相消法求和即可得解. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 当时，也符合， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得， 18. 如图，在平行六面体中，所有棱长均为2，且. （1）证明：； （2）求二面角的余弦值； （3）求直线与平面所成角正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，与相交于点，运用菱形性质得到，再结合三线合一得到，即可证明平面，再用线面垂直性质可得结论； （2）由（1）找出为二面角的平面角，再用三角形性质可解； （3）找出线面角，或者运用空间向量法计算即可. 【小问1详解】 证明：如图连接，与相交于点，则， 且点为的中点.由题设得，连接，则， 因为，平面， 所以平面，因为平面，所以，即. 【小问2详解】 由（1）知为二面角的平面角 因为，且， 得，则，则. 【小问3详解】 由， ， 得， 则，由（1）知平面.则平面. 如图，设与相交于点，连接，则即为所求线面角. 易知为正外心，亦为其重心，则， 又，则. 【另解】（3）如图所示，以为原点，建立空间直角坐标系， 则， 由（2）知，且，则）. 设为平面的法向量， 则得取. ， 则. 设直线与平面所成角为，则. 19. 已知双曲线的焦距为4，焦点到渐近线的距离为1. （1）求的标准方程； （2）过的右焦点作两条互相垂直的直线与的右支交于点，弦的中点为与的右支交于点，弦的中点为. （i）设，求的取值范围； （ii）判断：直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）是，定点. 【解析】 【分析】（1）由题意求出，，再根据即可求出的标准方程； （2）（i）分别联立，与双曲线的方程，由即可求出的取值范围； （ii）先取出的坐标，由，化简即可得出答案. 【小问1详解】 由焦距得，又，得. 则的标准方程为. 【小问2详解】 （i）联立方程得， 若，不符合题意. 若，则， 设，则. 因为，所以. 依题设，，同理得，则， 则的取值范围是. （ii）设，因为弦的中点为， 则 得，同理. 假设过定点，依据对称性，点必在轴上，设， 则. 由得， 化简得，得，则恒过定点. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $