6.4乘法公式-平方差公式 课件 2024--2025学年北京版七年级数学下册

（x ＋ 3)( x＋５） =x2 ＋5x ＋3X ＋15 =x2 ＋8x ＋15 一、复习回顾 多项式与多项式是如何相乘的？ (a+b)(m+n) =am +an +bm +bn 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 ①（x ＋ 4)( x－4） ②（1 ＋ 2a)( 1－2a） ③（m＋ 6n)( m－6n） ④（5y ＋ z)(5y－z） 计算下列各题 算一算，比一比，看谁算得又快又准 ②（1 ＋ 2a)( 1－2a）=1 －4a2 ③（m＋ 6n)( m－6n)=m2 － 36n2 ④（5y ＋ z)(5y－z)= 25y2 － z2 ①（x ＋ 4)( x－4）=x2 － 16 x2 － 42 12－(2a)2 m2 － (6n)2 (5y)2 － z2 想一想：通过计算你发现了什么规律？ 请用文字语言把规律概括出来。 怎样证明这个规律的一般性呢？ 两个数的和与这两个数的差的积, 等于这两个数的平方差. ∵(a+b)(a-b) =a2-ab+ab-b2 =a2-b2 ∴(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)(a-b)=a2-b2 （合并同类项法则） （多项式乘以多项式法则） 证明： 6.4.2 平方差公式 平方差公式： (a+b)(a−b)= a 2−b 2 两数的和与这两数的差的积， 等于 这两数的平方差. 公式特征：公式左边： 1.公式的左边 公式右边：： 二项式×二项式 一项为同，一项为反。 两项的平方的差 (1+x)(1-x) (-3+a)(-3-a) (0.3x-1)(1+0.3x) (1+a)(-1+a) 1、找一找、填一填 a b a2-b2 1 x -3 a 12-x2 (-3)2-a2 a 1 a2-12 0.3x 1 ( 0.3x)2-12 (a-b)(a+b) 例1、用平方差公式计算 (1) （x+2y)(x-2y) (2) (-x2+2y)(-x2-2y) 解：原式＝ x2 - (2y)2 ＝x2 - 4y2 解：原式＝(- x2) 2- (2y)2 ＝x4 - 4y2 巩固提升 练习1：用平方差公式计算 (1) (3x＋2)(3x－2) (2)(－2a2－b)(－2a2+b) 例2. 用平方差公式计算 (1) (3b+2a)(2a－3b); (2) (-4a-1)(4a-1) 解： （1）(3b+2a)(2a－3b) =(2a+3b)(2a－3b) =(2a)2－(3b)2 =4a2－9b2. 例2. 用平方差公式计算 (2) (-4a-1)(4a-1) 解法1：(-4a-1)(4a-1) =（-1-4a）(-1+4a) =(-1)2-(4a)2 =1-16a2 解法2： (-4a-1)(4a-1) = -(4a+1)(4a-1) = -[(4a)2-12] = -(16a2-1) =1-16a2 平方差公式： (a+b)(a−b)= a 2−b 2 两数的和与这两数的差的积， 等于 这两数的平方差. 公式变形: 1.（a – b ) ( a + b) = a2 - b2 3.（b + a )( -b + a ) = a2 - b2 2.（ b+ a) ( a – b) = a2 - b2 练习2：用平方差公式计算 （1）(x+2)(2-x) （2）（2b－3a）(－2b－3a） 解: (1) 102×98 = 1002-22 =1000 – 4 =（100＋2）×(100－2) =9996 例3. 计算: (1) 102×98; （2）20092-2008×2010 解: (2) 20092 - 2008×2010 = 20092 - (20192-12) =20092 - 20192+12 =20092 - (2019－1)× (2019+1) =1 例3. 计算: (1) 102×98; （2）20092-2008×2010 （ ） 1.运用平方差公式计算： (x4+y4 ) (x4+y4 ) (x4+y4) 拓展延伸 2.计算：已知x2-y2=8，x-y=4， 求x+y的值。 拓展延伸 解：∵ x2-y2 =(x+y)(x-y) x2-y2=8 ∴ (x+y)(x-y)=8 ∵ x-y=4 ∴ x+y=2 下节课再见 口答下列各题： (l)(-a+b)(a+b)=  _________ (2)(a-b)(b+a)= __________ (3)(-a-b)(-a+b)= ________ (4)(a-b)(-a-b)= _________ a2-b2 a2-b2 b2-a2 b2-a2 热身 平方差公式： (a+b)(a−b)= a 2−b 2 两数的和与这两数的差的积， 等于 这两数的平方差. 公式特征：公式左边： 1.公式的左边 公式右边：： 二项式×二项式 一项为同，一项为反。 两项的平方的差 平方差公式的几何意义 a a b b 实践活动1： 将右面的图形剪一刀，拼出新的几何图形。 实践活动2： 用式子表示所拼出的新图形的面积。 （只列式不计算） a a b b a b a-b a-b a b a a b b a a b b a a b b a-b b a a b a-b a b a-b a2-b2 (a+b)(a-b) = 例4. 计算: (3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) 解：原式=(9x2－16) =3x2－5x- 10 －(6x2+5x -6) 拓展提升： 1.你能化简以下式子吗？ (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)+1 2.计算： 下列各式中,能用平方差公式运算的是( ) A.(-a+b)(-a-b) B.(a-b)(b-a) C.(2a-3b)(3a+2b) D.(a-b+c)(b-a-c) A 自我评价 （1）(a+3b)(a - 3b) =4 a2－9； =(2a+3)(2a-3) =a2－9b2 ； =(2a)2－32 =(50+1)(50-1) =502－12 =2500-1 =2499 =(a)2－(3b)2 （2）(3+2a)(－3+2a) （3）51×49 2.利用平方差公式计算： 3.填空： （1） 25-a² = （5+a）( ) （2）n2-m2 = （ ）（ ） （3） 4x2-9y2 =( ) ( ) a2 - b2 =(a+b)(a-b) 5 - a n +m n -m 2x +3y 2x -3y 4.计算 20042 － 2003×2005; 解： 20042 － 2003×2005 = 20042 － (2004－1)(2004+1) = 20042 － （20042－12 ) = 20042 － 20042+12 =1 5、利用平方差公式计算: （a-2)(a+2)(a2 + 4) 解:原式=(a2-4)(a2+4) =a4-16 6.计算：(y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) . = y2-4-y2-4y+5 = - 4y + 1. 解：原式 = （y2-22）-(y2+4y-5) (a+b)(a-b)=(a)2-(b)2 相反为b 小结 相同为a 适当交换 合理加括号 平方差公式 想一想 灰太狼开了租地公司,一天他把一边长为a米的正方形土地租给慢羊羊种植.有一年他对慢羊羊说:“我把这块地的一边增加5米,另一边减少5米,再继续租给你, 你也没吃亏,你看如何?”慢羊羊一听觉得没有吃亏,就答应了.回到羊村,就把这件事对喜羊羊他们讲了,大家一听,都说道:“村长，您吃亏了!” 慢羊羊村长很吃惊…同学们,你能告诉慢羊羊这是为什么吗? 平方差公式： (a+b)(a−b)= a2−b2 两数的和与这两数的差的积, 等于 这两数的平方差. 公式变形: 1、（a – b ) ( a + b) = a2 - b2 2、（b + a )( -b + a ) = a2 - b2 你能化简以下式子吗？ 恐怕计数器也有无奈的时候 (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)+1 37 学以致用 下列各式中,能用平方差公式运算的是( ) A.(-a+b)(-a-b) B.(a-b)(b-a) C.(2a-3b)(3a+2b) D.(a-b+c)(b-a-c) 2.下列多项式相乘,不能用平方差公式计算的是( ) A.(x-2y)(2y+x) B.(-x+2y)(-x-2y) C.(-2y-x)(x+2y) D.(-2b-5)(2b-5) A C ㄨ 做一做 1、下面各式的计算对不对？ 如果不对，应当怎样改正？ (1) (x+2)(x-2) = x2 - 2 (2) (-3a-2)(3a-2) = 9a2 - 4 X2 - 4 ㄨ 4 - 9a2 ⑴ 102 ×98 动 脑筋！ 102 = (100+2) 98 (100-2) = 1002-22 = 10000-4 = 9996 ⑴ (a+1)(a-1)= ⑵ (3+x)(3-x)= ⑶ (a+2b)(a-2b)= ⑷ (3x+5y)(3x-5y)= ⑸ (10s-3t)(10s+3t)= ⑹ (-m+n)(-m-n)= a2-1 9-x2 a2-(2b)2 =a2-4b2 (3x)2-(5y)2 =9x2-25y2 (10s)2-(3t)2 =100s2-9t2 (-m)2-n2 =m2-n2 接力赛 ⑺ (-2x-3y) (-2x+3y)= ⑽ (-4x+y)(y+4x)= (-2x)2-(3y)2 y2-(4x)2 =y2-16x2 =4x2-9y2 = a2-4b2 1 4 a2-( b)2 1 2 =a2- b2 1 4 ( a)2-(2b)2 1 2 ⑻ ( a-2b)(2b+ a)= 1 2 1 2 ⑼ ( b+a)(- b+a)= 1 2 1 2 问题：利用平方差公式计算的关键是： 准确确定a和b 怎样确定a与b： 符号相同的看作a，符号不同的看作b 接力赛 $$