精品解析：上海市建平中学2024-2025学年高二上学期1月期末教学质量检测数学试题

建平中学2024学年第一学期期末教学质量检测 高二数学试卷 姓名: 学号: 班级: 说明: (1) 本场考试时间为120分钟， 总分150分; (2) 请认真答卷，并用规范文字书写. 一、填空题 (本大题共12题， 满分54分， 第1-6题每题4分， 第7-12题每题5分) 1. 不透明的布袋里有3个红球、7个白球，它们除颜色外其他都相同，那么从布袋中任意摸出一个球，这个球恰好为红球的概率是_______. 2. 若圆柱的底面半径与高均为2，则其侧面积为_______. 3. 参数方程（为参数）的普通方程是_______. 4. 的内角，，的对边分别为，，，，，， 则等于_______. 5. 小明为了解自己每天花在体育锻炼上的时间（单位：min），连续记录了7天的数据并绘制成如图所示的茎叶图，则这组数据的第60百分位数是____________． 6. 已知抛物线 ： ，若点M横坐标为1，且到C的准线的距离为2，则_______. 7. 四面体中，，M、N分别为的中点，，则异面直线AC与BD所成的角是_______. 8. 已知某个数据的平均数为，方差为，现加入一个数据，此时这个数据的方差为________； 9. 如图，在三棱柱中，E是棱的中点，D是棱BC上一点．若平面ADE，则的值为______． 10. 某同学所在的课外兴趣小组计划用纸板制作一个简易潜望镜模型（图甲），该模型由两个相同的部件拼接粘连制成，每个部件由长方形纸板（图乙）沿虚线裁剪后卷一周形成，其中长方形卷后为圆柱的侧面.为准确画出裁剪曲线，建立如图乙所示的以O为原点的平面直角坐标系，设为裁剪曲线上的点，作轴，垂足为H.图乙中线段OH卷后形成圆弧（图甲），通过同学们的计算发现y与x之间满足关系式：则该裁剪曲线围成的椭圆的离心率为_______. 11. 若事件满足，，同时成立，则称事件两两独立，现抛掷一枚质地均匀的骰子，观察面朝上的数字， 得到样本空间， 若事件， 事件， 则可以构造事件_____(填一个满足条件的集合即可)， 使得成立， 但不满足事件两两独立. 12. 已知正方体的棱长为，，为体对角线的三等分点，动点在三角形内，且三角形的面积 ，则点的轨迹长度为______. 二、选择题 (本大题共4题， 第13-14题每题4分， 第15-16题每题5分， 满分18分) 13. 已知圆，圆则两个圆的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相交 C. 外切 D. 内切 14. 已知a，b是两条不同的直线，α为一个平面， a⊂α，则“b∥α”是“a，b无公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 在长方体中，点在矩形内（包含边线）运动，在运动过程中，始终保持到顶点的距离与到对角线所在直线距离相等，则点的轨迹是（　　） A. 线段 B. 圆的一部分 C. 椭圆的一部分 D. 抛物线的一部分 16. 在平面直角坐标系中， 动点到两个定点，的距离之积等于，则下列命题中正确的个数是（ ） ①曲线关于轴对称； ②的最大值为； ③的最小值为； ④的最大值为 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 三、解答题 (本题共有5大题，满分78分) 17. 在集合，，，，，中任意选取一个实数作为，构造函数，，记事件为“所选取的实数使得函数有两个不等零点”. （1）观察选取的实数，写出样本空间与事件对应的集合，并求事件发生的概率； （2）记事件为“所选取的实数使得函数在上是严格增函数”，求事件，事件至少一个发生的概率. 18. 已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为. （1）求双曲线C的标准方程； （2）过点作直线与曲线C相交于P，Q两点，点N能否是线段PQ的中点？若能，求直线PQ的方程；若不能，请说明理由. 19. 如图，已知圆锥的顶点为，底面圆的直径长为，点是圆上一点，， 点是劣弧上的一点， 平面平面， 且. （1）证明：. （2）当三棱锥的体积为时，求点到平面的距离. 20. 某射击队举行一次娱乐活动，该活动分为两阶段，第一阶段是选拔阶段，甲、 乙两位运动员各射击100次，所得成绩中位数大的运动员参加下一阶段，第二阶段是游戏阶段，游戏规则如下： ①有4次游戏机会； ②依次参加游戏. ③若一个游戏胜利，可以参加下一个游戏； 若游戏失败，继续进行该游戏； 若轮到游戏后，无论胜利还是失败，一直都参加游戏，直到4次机会全部用完. ④参加游戏，则每次胜利可以获得奖金100元； 参加游戏，则每次胜利可以获得奖金200元；参加游戏，则每次胜利可以获得奖金500元； 不管参加哪一个游戏，失败均无奖金. 已知甲参加每一个游戏获胜的概率都是乙参加每一个游戏获胜的概率都是甲、 乙参加每次游戏相互独立，第一阶段甲、乙两位运动员射击所得成绩的频率分布直方图如下： （1）甲、乙两位运动员谁参加第二阶段游戏? 并说明理由. （2）在（1）的基础上，解答下列两问： （i）求该运动员能参加游戏的概率. （ii）设4次游戏结束后有种不同的奖金额，记：为该运动员最终获得的奖金额，为获得元奖金对应的概率，定义最终获得奖金的期望为求该运动员最终获得奖金的期望. 21. 已知椭圆 椭圆与轴交于点，，直线与椭圆交于，两点(其中点在x轴上方，点在轴下方)，设直线的方程为，如图，将平面沿轴折叠，使点移动到点的位置，轴的正半轴经折叠后记为，且二面角的大小为.折叠前，若椭圆的焦点，在轴上，且与椭圆上一点构成三角形，的周长为. （1）直线l的方程为 . (i) 求椭圆的标准方程. (ii) 求折叠后直线与平面所成角的大小. （2）折叠后，是否存在定值，对于任意，始终成立. 若存在，求出的值； 若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 建平中学2024学年第一学期期末教学质量检测 高二数学试卷 姓名: 学号: 班级: 说明: (1) 本场考试时间为120分钟， 总分150分; (2) 请认真答卷，并用规范文字书写. 一、填空题 (本大题共12题， 满分54分， 第1-6题每题4分， 第7-12题每题5分) 1. 不透明的布袋里有3个红球、7个白球，它们除颜色外其他都相同，那么从布袋中任意摸出一个球，这个球恰好为红球的概率是_______. 【答案】##0.3 【解析】 【分析】直接利用概率公式求解，即可得到任意摸出一个球恰好为红球的概率． 【详解】因为不透明的布袋里有3个红球、7个白球，它们除颜色外其他都相同， 所以从这不透明的袋里随机摸出一个球，所摸到的球恰好为红球的概率是： ， 故答案为． 2. 若圆柱的底面半径与高均为2，则其侧面积为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆柱的侧面积公式求解即可. 【详解】因为圆柱的底面半径与高均为2， 所以圆柱的侧面积. 故答案为： 3. 参数方程（为参数）的普通方程是_______. 【答案】 【解析】 【分析】消参，可得普通方程. 【详解】由已知， 即， 即， 化简可得， 故答案为：. 4. 的内角，，的对边分别为，，，，，， 则等于_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理可得边长. 【详解】在中， 由正弦定理， 即，解得， 故答案为：. 5. 小明为了解自己每天花在体育锻炼上的时间（单位：min），连续记录了7天的数据并绘制成如图所示的茎叶图，则这组数据的第60百分位数是____________． 【答案】 【解析】 【分析】把茎叶图的数据从小到大排列，结合百分数的计算方法，即可求解. 【详解】根据茎叶图中的数据从小到大排列为：， 则，所以这组数据的第60百分位数是. 故答案为：. 6. 已知抛物线 ： ，若点M横坐标为1，且到C的准线的距离为2，则_______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据抛物线焦半径公式，列式计算，求出p，即可得答案. 【详解】由题意知抛物线：上一点M的横坐标为1，点M到准线的距离为2， 则，所以. 故答案为：2. 7. 四面体中，，M、N分别为的中点，，则异面直线AC与BD所成的角是_______. 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，由已知可得为等腰直角三角形，利用异面直线所成角的定义求解即得. 【详解】在四面体中，取的中点，连接， 由M、N分别为的中点，则， 则是异面直线AC与BD所成的角或其补角， 显然，又， 则在中，， 则， 所以异面直线AC与BD所成的角是. 故答案为：. 8. 已知某个数据的平均数为，方差为，现加入一个数据，此时这个数据的方差为________； 【答案】 【解析】 【分析】根据平均数与方程的计算公式直接计算. 【详解】设初始的个数据分别为，，，， 则，， 加入一个数据后，平均数， 方差为， 故答案为：. 9. 如图，在三棱柱中，E是棱的中点，D是棱BC上一点．若平面ADE，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】连接相交于，根据线面平行的性质及可得答案. 【详解】连接相交于点，连接， 因为平面，平面平面，平面， 所以，所以， 因为，所以， 所以，则，即. 故答案为：2. 10. 某同学所在的课外兴趣小组计划用纸板制作一个简易潜望镜模型（图甲），该模型由两个相同的部件拼接粘连制成，每个部件由长方形纸板（图乙）沿虚线裁剪后卷一周形成，其中长方形卷后为圆柱的侧面.为准确画出裁剪曲线，建立如图乙所示的以O为原点的平面直角坐标系，设为裁剪曲线上的点，作轴，垂足为H.图乙中线段OH卷后形成圆弧（图甲），通过同学们的计算发现y与x之间满足关系式：则该裁剪曲线围成的椭圆的离心率为_______. 【答案】## 【解析】 【分析】结合题意，利用函数的周期，求出圆柱底面圆半径，继而求得椭圆短轴长，结合函数的最大值求得椭圆的长轴长，结合椭圆的离心率定义，即可求得答案. 【详解】函数的最小正周期为， 图乙中虚线即为函数的一个周期的图象， 则， 所以相应圆柱的底面圆的周长即为，故其直径为6， 故根据题意可知该椭圆的短轴长为，即； 又的最大值为6， 故椭圆的长轴长为，故， 则， 故椭圆的离心率为. 故答案为：. 11. 若事件满足，，同时成立，则称事件两两独立，现抛掷一枚质地均匀的骰子，观察面朝上的数字， 得到样本空间， 若事件， 事件， 则可以构造事件_____(填一个满足条件的集合即可)， 使得成立， 但不满足事件两两独立. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据相互独立事件以及“两两相互”的定义对问题进行分析，先判断相互独立，确定构造事件，使“与”或“与”不相互独立，根据事件包含的基本事件的个数进行分类讨论，由此求得符合题意的时间. 【详解】元素或有且仅有一个属于C，剩余的中任选两个属于，都满足条件要求． 因为，，，则， 若不满足事件两两独立，只需构造事件， 使得和至少有一个成立， 设事件包含的基本事件个数为（且），（且）， 当成立时，有，得， 所以或． （i）若，则，， 此时，，满足， 又，，，； ，，，， 又因为，所以事件两两独立，不满足要求， （ii）若，则， 因为，，所以必有且、且两种情况． 当且时，，，， 所以，， 所以若事件两两独立，则存在事件使得且， 此时，，不符合题意，所以不可能两两独立． 所以构造集合使得，且均满足题意， 故满足要求的为：、、、、、． 当且时，同理符合要求的集合为：、、、、、． 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于设事件包含的基本事件个数为（且），（且），根据题设得到或，再利用古典概率公式及条件，即可求解. 12. 已知正方体的棱长为，，为体对角线的三等分点，动点在三角形内，且三角形的面积 ，则点的轨迹长度为______. 【答案】 【解析】 【分析】由正方体可证平面，及，再由三角形面积可知点到的距离，即可判断点轨迹，即可得解. 【详解】 由连接， 由正方体可知，，，， 且，，平面， 则平面， 又平面， ， 同理， 又，，平面， 所以平面， 即平面，且， 设直线平面于点， 则，且为三角形中心， 又，则， 所以点在以为圆心，为半径的圆上， 在中，， 又， 所以，即， 所以点的轨迹为圆上的三段弧，且每段弧所对的圆心角为， 则轨迹的长度为， 故答案为：. 二、选择题 (本大题共4题， 第13-14题每题4分， 第15-16题每题5分， 满分18分) 13. 已知圆，圆则两个圆的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相交 C. 外切 D. 内切 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆心距确定两圆位置关系. 【详解】由已知圆心，半径， 圆心，半径， 则， 所以两圆相内切， 故选：D. 14. 已知a，b是两条不同的直线，α为一个平面， a⊂α，则“b∥α”是“a，b无公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的概念可确定选项. 【详解】由b∥α得直线b与平面α无公共点，由a⊂α得a，b无公共点，充分性成立. 由a，b无公共点得a∥b或a，b为异面直线，b∥α不一定成立，必要性不成立. 故“b∥α”是“a，b无公共点”的充分不必要条件. 故选：A. 15. 在长方体中，点在矩形内（包含边线）运动，在运动过程中，始终保持到顶点的距离与到对角线所在直线距离相等，则点的轨迹是（　　） A. 线段 B. 圆的一部分 C. 椭圆的一部分 D. 抛物线的一部分 【答案】A 【解析】 【分析】将点到顶点的距离与到对角线所在直线距离相等转化为点到线的距离与到对角线所在直线距离相等，过点作的角平分线，类比到角平分面，此面与底面的交的是直线，进而得出结论． 【详解】如图所示，在长方体中，可得平面， 因为平面，所以， 所以，点到直线的距离等于， 又因为点到顶点的距离与到对角线所在直线距离相等， 所以点到线的距离与到对角线所在直线距离相等， 过点作的角平分线，类比到角平分面，此面与底面的交的是直线， 又由点在矩形内（包含边线）运动，所以点的轨迹是线段. 故选：A. 16. 在平面直角坐标系中， 动点到两个定点，的距离之积等于，则下列命题中正确的个数是（ ） ①曲线关于轴对称； ②的最大值为； ③的最小值为； ④的最大值为 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】利用直接法可得轨迹方程，再根据曲线的对称性可判断①；由基本不等式可判断③；化简轨迹方程可得，即，由可得，利用换元法结合二次函数性质可判断②④. 【详解】由已知， 代入点，则，成立，①正确； 则，当且仅当，即点时，等号成立，③错误； 化简，可得， 即， 又， 即，解得，即， 设，则，， 所以，即，②错误； 且，即， 即，④正确； 综上所述正确的个数为， 故选：B. 三、解答题 (本题共有5大题，满分78分) 17. 在集合，，，，，中任意选取一个实数作为，构造函数，，记事件为“所选取的实数使得函数有两个不等零点”. （1）观察选取的实数，写出样本空间与事件对应的集合，并求事件发生的概率； （2）记事件为“所选取的实数使得函数在上是严格增函数”，求事件，事件至少一个发生的概率. 【答案】（1）样本空间；事件对应的集合，概率为； （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数零点情况可得事件中参数的范围，利用列举法可得解； （2）根据二次函数单调性可确定事件中参数的范围，进而可确定事件对应的集合，再结合古典概型的概率公式可得解. 【小问1详解】 由已知样本空间， 若函数有两个不等的零点，则， 解得或， 事件为“所选取的实数使得函数有两个不等零点” 所以事件对应的集合为， 则； 【小问2详解】 若函数在上是严格增函数， 则，即， 所以事件对应的集合为， 则事件，事件至少一个发生对应的集合， 则. 18. 已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为. （1）求双曲线C的标准方程； （2）过点作直线与曲线C相交于P，Q两点，点N能否是线段PQ的中点？若能，求直线PQ的方程；若不能，请说明理由. 【答案】（1）； （2）不能，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据条件计算双曲线焦点坐标，结合渐近线方程可得结果. （2）利用点差法计算直线的方程，与双曲线方程联立可得无交点，故点N不能是线段的中点. 【小问1详解】 由题意得，椭圆焦点坐标为. ∵双曲线渐近线方程为， ∴，解得， ∴双曲线C的标准方程为. 【小问2详解】 假设点N能是线段的中点，设，则， 由得 ， ∴， ∴直线的斜率为， ∴直线的方程为，即， 由得， ∵，∴直线与双曲线无交点， ∴点N不能是线段的中点. 19. 如图，已知圆锥的顶点为，底面圆的直径长为，点是圆上一点，， 点是劣弧上的一点， 平面平面， 且. （1）证明：. （2）当三棱锥的体积为时，求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据可证平面，进而可证，可得为等腰直角三角形，可证，结合可证平面即得； （2）取中点，可证得，求出的长度，继而求得的面积，利用等体积法可得点到平面距离. 【小问1详解】 如图，由已知平面平面， 且， 因平面，平面， 则直线平面， 又平面，且平面平面， 则， 又，所以， 即为等腰直角三角形， 即， 又由圆锥性质可得平面,因平面,则， 因，且，平面， 故平面， 又平面， 故； 【小问2详解】 由已知圆的直径长为，则， 由（1）得，， 由三棱锥的体积，解得， 如图，取中点，连接，，则,因平面, 因平面,则,因平面，则平面, 又平面，故. 因，， 所以，设点到平面的距离为， 由，解得. 即点到平面的距离为. 20. 某射击队举行一次娱乐活动，该活动分为两阶段，第一阶段是选拔阶段，甲、 乙两位运动员各射击100次，所得成绩中位数大的运动员参加下一阶段，第二阶段是游戏阶段，游戏规则如下： ①有4次游戏机会； ②依次参加游戏. ③若一个游戏胜利，可以参加下一个游戏； 若游戏失败，继续进行该游戏； 若轮到游戏后，无论胜利还是失败，一直都参加游戏，直到4次机会全部用完. ④参加游戏，则每次胜利可以获得奖金100元； 参加游戏，则每次胜利可以获得奖金200元；参加游戏，则每次胜利可以获得奖金500元； 不管参加哪一个游戏，失败均无奖金. 已知甲参加每一个游戏获胜的概率都是乙参加每一个游戏获胜的概率都是甲、 乙参加每次游戏相互独立，第一阶段甲、乙两位运动员射击所得成绩的频率分布直方图如下： （1）甲、乙两位运动员谁参加第二阶段游戏? 并说明理由. （2）在（1）的基础上，解答下列两问： （i）求该运动员能参加游戏的概率. （ii）设4次游戏结束后有种不同的奖金额，记：为该运动员最终获得的奖金额，为获得元奖金对应的概率，定义最终获得奖金的期望为求该运动员最终获得奖金的期望. 【答案】（1）甲运动员，理由见解析； （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）结合频率分布直方图，结合中位数的意义判断甲乙中位数的大小即可得结论； （2）（i）利用互斥事件及相互独立事件的概率公式计算即可； （ii）按游戏共使用次数，求出的值及对应的概率，再根据期望公式求解即可. 【小问1详解】 解：甲运动员的成绩位于的频率为0.3，则其中位数大于80， 而乙运动员成绩位于的频率为0.6，则其中位数小于80， 所以：甲运动员参加第二阶段游戏； 【小问2详解】 解：(i)若甲能参加游戏，则游戏至多共使用3次机会， ①游戏共使用2次机会，则概率； ②游戏共使用3次机会，则概率； 所以甲能参加游戏的概率为； (ii)因为甲参加每一个游戏获胜的概率都是， 所以参加完4次游戏后的每个结果发生的概率都为， ①游戏使用4次机会，则或； ②游戏使用3次机会，游戏使用1次机会，则或； ③游戏使用2次机会，游戏使用2次机会，则或； ④游戏使用2次机会，游戏使用1次机会，则或； ⑤游戏使用1次机会，游戏使用3次机会，则或； ⑥游戏使用1次机会，游戏使用2次机会，则或； ⑦游戏使用1次机会，游戏使用1次机会，则或或； 其中有两种情况：参加游戏第一次成功，第二次失败和第一次失败，第二次成功， 所以当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 所以 . 21. 已知椭圆 椭圆与轴交于点，，直线与椭圆交于，两点(其中点在x轴上方，点在轴下方)，设直线的方程为，如图，将平面沿轴折叠，使点移动到点的位置，轴的正半轴经折叠后记为，且二面角的大小为.折叠前，若椭圆的焦点，在轴上，且与椭圆上一点构成三角形，的周长为. （1）直线l的方程为 . (i) 求椭圆的标准方程. (ii) 求折叠后直线与平面所成角的大小. （2）折叠后，是否存在定值，对于任意，始终成立. 若存在，求出的值； 若不存在，说明理由. 【答案】（1）（i）；（ii） （2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）（i）根据焦点三角形周长及椭圆方程可得，解方程即可得椭圆方程；（ii）联立直线与椭圆可得点，，分别设轴，轴，轴正方向上的单位向量分别为，，，分别表示与，可得，结合线面角的定义可得解； （2）联立直线与椭圆，结合韦达定理可得，即可得解. 【小问1详解】 （i）由椭圆定义可知，， 则的周长为， 解得， 即椭圆方程为； （ii）设，，，， 联立直线与椭圆， 得， 解得，， 即，， 如图所示，过点作轴于点，则， 折叠后， 过作平面，连接， 则轴，且直线在平面上的投影为， 且， 则， 分别设轴，轴，轴正方向上的单位向量分别为，，， 且，，， 即，， 又，，， 则， 则， 由直线与平面夹角的平面角为， 则， 所以直线与平面夹角为； 【小问2详解】 设，， 则，，， 联立直线与椭圆， 得，， 则恒成立， 且，， 又， 则， 即， 即，不为定值， 所以不存在定值，对于任意，始终成立. 【点睛】思路点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $