4.3 独立性检验 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （湘教版2019）

§4.3　独立性检验 第４章　统　计 学习目标 1.掌握分类变量和列联表的概念，并会依据列联表判断两个分类变量是否独立. 2.理解统计量χ2的意义和独立性检验的基本思想. 有关法律规定：香烟盒上必须印上“吸烟有害健康”的警示语，那么吸烟和健康之间有因果关系吗？每一个吸烟者的健康问题都是由吸烟引起的吗？“如果你认为健康问题不一定是由吸烟引起的，那么可以吸烟”的说法对吗？要回答这个问题，我们先一起来学习本课时的知识吧！ 导语 内容索引 一、2×2列联表 二、独立性检验 课时对点练 三、独立性检验的应用 随堂演练 2×2列联表 一 问题　某医疗机构为了解呼吸道疾病与吸烟是否有关，进行了一次抽样调查，共调查了515个成年人，其中吸烟者220人，不吸烟者295人.调查结果是：吸烟的220人中，有37人患呼吸道疾病(以下简称患病)，183人未患呼吸道疾病(以下简称未患病)；不吸烟的295人中，有21人患病，274人未患病. 根据这些数据能否断定：患呼吸道疾病与吸烟有关？ 提示　为了研究这个问题，我们将上述数据用表格表示如下：   患病 未患病 合计 吸烟 37 183 220 不吸烟 21 274 295 合计 58 457 515 2×2列联表 　Y X　 B1 B2 合计 A1 a b a＋b A2 c d c＋d 合计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 像上表这样，将两个(或两个以上)分类变量进行交叉分类得到的频数分布表称为列联表. 由于所涉及的两个分类变量X，Y均有两个变量值，所以称上表为2×2列联表. 知识梳理 8 注意点： (1)变量的取值一定是离散的，而且不同的取值仅表示个体所属的类别，如性别变量只取男、女两个值，商品的等级变量只取一级、二级、三级等. (2)变量的取值有时可用数字来表示，但这时的数字除了分类以外没有其他的含义.如用“0”表示“男”，用“1”表示“女”. (3)变量存在的广泛性：在现实生活中，变量是大量存在的，如吸烟变量、国籍变量等. 知识梳理 9 例1　(1)某校为了检验高中数学新课程改革的成果，在两个班进行教学方式的对比试验，两个月后进行一次检测，试验班与对照班成绩统计如2×2列联表所示(单位：人)，则其中m＝_____，n＝_____.   80分及80分以上 80分以下 合计 试验班 32 18 50 对照班 24 m 50 合计 56 44 n 26 100 10 (2)2022年9月23日，以“庆丰收同心共富，迎盛会齐向未来”为主题的第五个中国农民丰收节开幕式在盐城市射阳县海河镇举行，射阳县政府同步开展以“湿地绿城庆丰收、向海图强迎盛会”为主题的农民丰收节系列活动，现从某活动现场的观众中随机抽取200名(其中男性120名)，了解他们对该活动的满意情况，得到下表.   不满意 满意 合计 男性   75   女性 50     合计     200 根据统计数据完成2×2列联表. 11 补全的2×2列联表如下.   不满意 满意 合计 男性 45 75 120 女性 50 30 80 合计 95 105 200 12 2×2列联表是对两个分类变量的汇总统计表，列表时关键是对涉及的变量分清类别. 制作2×2列联表的基本步骤： 第一步，合理选取两个变量，且每一个变量都可以取两个值； 第二步，抽取样本，整理数据； 第三步，画出2×2列联表. 反思感悟 13 跟踪训练1　在调查的480名男性中有38名患有色盲，520名女性中有6名患有色盲，试作出性别与色盲的列联表. 14 根据题目所给的数据作出如下的列联表. 　　色盲 性别　　 患色盲 不患色盲 合计 男 38 442 480 女 6 514 520 合计 44 956 1 000 15 二 独立性检验 1.独立性检验 (1)定义 利用统计量χ2来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法，称为两个分类变量的独立性检验. (2)χ2的计算公式 其中n＝____________. a＋b＋c＋d 知识梳理 17 2.独立性检验的步骤 要推断“X与Y有关系”，可按下面的步骤进行： (1)提出统计假设H0：X与Y没有关系； (2)根据2×2列联表及χ2公式，计算χ2的观测值； 知识梳理 18 (3)查临界值表确定临界值x0，然后作出判断. 其中临界值如表所示： 例如： (1)如果χ2>10.828，就有不少于99.9%的把握认为“X与Y之间有关系”； (2)如果χ2>6.635，就有不少于99%的把握认为“X与Y之间有关系”； (3)如果χ2>3.841，就有不少于95%的把握认为“X与Y之间有关系”， 如果χ2≤3.841，就认为还没有充分的证据显示“X与Y之间有关系”. P(χ2≥x0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 x0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 知识梳理 19 注意点： 独立性检验类似于数学中的反证法，要确认“两个变量有关系”这一结论成立的可信度，首先假设结论不成立，在假设下，我们构造的统计量χ2应该很小，如果由观测数据计算得到的χ2值很大，则在一定程度上说明假设不合理，再根据不合理的程度与临界值的关系作出判断. 知识梳理 20 例2　(1)在吸烟与患肺癌这两个分类变量的独立性检验的计算中，下列说法正确的是 A.若χ2的值大于6.635，则有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关系，那么 在100个吸烟的人中必有99人患肺癌 B.由独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关系时，我们 说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺癌 C.若从统计量中求出有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关系，是指有不 超过1%的可能性使得判断出现错误 D.以上三种说法都不正确 √ 21 若从统计量中求出有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关系，是指有不超过1% 的可能性使得判断出现错误，并不是说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺癌，更不是在100个吸烟的人中必有99人患有肺癌. 22 (2)某校对学生课外活动进行调查，结果整理成下表，能否作出喜欢体育还是喜欢文娱与性别有关的结论？   喜欢体育 喜欢文娱 合计 男 21 23 44 女 6 29 35 合计 27 52 79 附： P(χ2≥x0) 0.050 0.010 0.005 0.001 x0 3.841 6.635 7.879 10.828 23 提出统计假设H0：喜欢体育还是喜欢文娱与性别无关. ∵a＝21，b＝23，c＝6，d＝29，n＝79， 由于7.879<8.106<10.828，故至少有99.5%的把握认为喜欢体育还是喜欢文娱与性别有关. 24 要推断X与Y是否有关系，可按下面的步骤进行： (1)提出统计假设H0：X与Y无关； (2)根据2×2列联表与χ2公式计算χ2的观测值； (3)把计算结果与3.841进行比较，然后作出判断. 反思感悟 25 跟踪训练2　学校举行运动会，为了做好接待工作，组委会招募了16名男志愿者和14名女志愿者，调查发现，男、女志愿者中分别有10人和6人喜爱运动，其余人不喜爱运动. (1)根据以上数据完成以下2×2列联表：   喜爱运动 不喜爱运动 合计 男 10   16 女 6   14 合计     30 26 2×2列联表如下所示.   喜爱运动 不喜爱运动 合计 男 10 6 16 女 6 8 14 合计 16 14 30 27 (2)根据列联表的独立性检验，能否作出是否喜爱运动与性别有关的结论？ 附表： P(χ2≥x0) 0.10 0.05 0.010 x0 2.706 3.841 6.635 28 提出统计假设H0：喜爱运动与性别无关，由已知数据可得 因为1.157 5<2.706，所以没有充分的证据显示是否喜爱运动与性别有关. 29 三 独立性检验的应用 例3　某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4 500人.为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间(单位：时)的样本数据. (1)应收集多少位女生的样本数据？ 31 (2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图).其中样本数据的分组区间为[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12].估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率. 由频率分布直方图得学生每周平均体育运动时间超过4小时的频率为1－2×(0.100＋0.025)＝0.75， 所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75. 32 (3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，能否作出该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关的结论？ 附： P(χ2≥x0) 0.050 0.010 0.005 x0 3.841 6.635 7.879 33 由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225(人)的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时. 样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，可得每周平均体育运动时间与性别列联表如下.   男生 女生 合计 每周平均体育运动时间不超过4小时 45 30 75 每周平均体育运动时间超过4小时 165 60 225 合计 210 90 300 34 提出统计假设H0：该校学生的每周平均体育运动时间与性别无关. 结合列联表可算得 由于3.841<4.762<5.024，查临界值表可知，我们至少有95%的把握认为该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关. 35 观测值法判断两个分类变量相关关系 通过2×2列联表，先计算χ2的值，然后借助χ2的大小与临界值的比较判断“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度. 反思感悟 36 跟踪训练3　某省进行高中新课程改革已经四年了，为了解教师对新课程教学模式的使用情况，某一教育机构对某学校的教师关于新课程教学模式的使用情况进行了问卷调查，共调查了50人，其中有老教师20人，青年教师30人.老教师对新课程教学模式赞同的有10人，不赞同的有10人；青年教师对新课程教学模式赞同的有24人，不赞同的有6人. (1)根据以上数据建立一个2×2列联表； 37 2×2列联表如下所示.   赞同 不赞同 合计 老教师 10 10 20 青年教师 24 6 30 合计 34 16 50 38 (2)判断是否有99%的把握说明对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄有关系. P(χ2≥x0) 0.050 0.010 0.005 x0 3.841 6.635 7.879 39 提出统计假设H0：对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄无关. 所以没有99%的把握认为对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄有关. 40 1.知识清单： (1) 2×2列联表. (2)独立性检验，χ2计算公式. 2.方法归纳：公式法. 3.常见误区：对独立性检验的原理不理解，导致不会用χ2分析问题. 课堂小结 随堂演练 四 1.下面是一个2×2列联表： ∵a＋21＝73，∴a＝52， ∴b＝a＋8＝52＋8＝60. 1 2 3 4 　　Y X　　 Y＝0 Y＝1 合计 X＝0 a 21 73 X＝1 8 25 33 合计 b 46   则表中a，b处的值分别为 A.94,96 　　　　B.52,50 　　　　C.52,60 　　　　D.54,52 √ 2.(多选)给出下列实际问题，其中用独立性检验可以解决的问题有 A.两种药物治疗同一种病是否有区别 B.吸烟者得肺病的概率 C.吸烟是否与性别有关系 D.网吧与青少年的犯罪是否有关系 独立性检验是判断两个分类变量是否有关系的方法，而B是概率问题，故选ACD. 1 2 3 4 √ √ √ 3.为了研究性别与对乡村音乐态度(喜欢和不喜欢两种态度)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算χ2＝8.01，则所得到的统计学结论是认为性别与喜欢乡村音乐有关系的把握至少为 A.0.1% B.0.5% C.99.5% D.99.9% 因为χ2＝8.01>7.879，所以认为性别与喜欢乡村音乐有关系的把握至少为99.5%. 1 2 3 4 √ 4.下表是某届某校本科志愿报名时，对其中304名学生进入高校时是否了解所学专业的调查表：   了解所学专业 不了解所学专业 合计 男生 63 117 180 女生 42 82 124 合计 105 199 304 根据表中数据，下列说法正确的是_____.(填序号) ①性别与了解所学专业有关； ②性别与了解所学专业无关； ③女生比男生更了解所学专业. ② 1 2 3 4 所以性别与了解所学专业无关. 1 2 3 4 课时对点练 五 1.想要检验是否喜欢参加体育活动是不是与性别有关，应该检验 A.提出统计假设H0：男性喜欢参加体育活动 B.提出统计假设H0：女性不喜欢参加体育活动 C.提出统计假设H0：喜欢参加体育活动与性别有关 D.提出统计假设H0：喜欢参加体育活动与性别无关 独立性检验假设有反证法的意味，应假设两类变量(而非变量的属性)无关，这时的χ2应该很小.如果χ2很大，则可以否定假设，如果χ2很小，则不能够肯定或者否定假设. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 2.如果有不少于95%的把握判断事件A与B有关系，那么具体计算出的数据 A.χ2>3.841 B.χ2<3.841 C.χ2>6.635 D.χ2<6.635 把χ2的值与临界值比较，从而确定A与B有关的可信程度. 当χ2>6.635时，有不少于99%的把握认为A与B有关系；当χ2>3.841时，有不少于95%的把握认为A与B有关系. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3.在对某小学的学生进行吃零食的调查中，得到如表数据： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16   吃零食 不吃零食 合计 男学生 27 34 61 女学生 12 29 41 合计 39 63 102 根据上述数据，我们得出的χ2约为 A.2.072 　　　　B.2.334 　　　　C.3.957 　　　　D.4.514 √ 4.有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，小于85分为非优秀，得到列联表如右： 已知在全部105人中随机抽取1人，成绩 优秀的概率为 ，则下列说法正确的是 A.列联表中c的值为30，b的值为35 B.列联表中c的值为15，b的值为50 C.列联表中c的值为20，b的值为50 D.由列联表可得出成绩与班级有关系 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √   优秀 非优秀 合计 甲班 10 b   乙班 c 30   合计     105 又由10＋c＋b＋30＝105，解得b＝45. 由表中数据可得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴成绩与班级有关系. 5.分类变量X和Y的列联表如右： 则下列说法正确的是 A.ad－bc越小，说明X与Y关系越弱 B.ad－bc越大，说明X与Y关系越强 C.(ad－bc)2越大，说明X与Y关系越强 D.(ad－bc)2越接近于0，说明X与Y关系越强 |ad－bc|越小，说明X与Y关系越弱，|ad－bc|越大，说明X与Y关系越强. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √   Y1 Y2 合计 X1 a b a＋b X2 c d c＋d 合计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 6.某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查，数据如表： 所以“学生的性别与认为作业量大有关”的把握至少为97.5%. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16   认为作业量大 认为作业量不大 合计 男生 18 9 27 女生 8 15 23 合计 26 24 50 则推断“学生的性别与认为作业量大有关”的把握至少为 A.99% 　　　　B.99.5% 　　　　C.97.5% 　　　　D.99.9% √ 7.在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1 671人，经过计算χ2＝27.63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是______的. (填有关或无关) ∵χ2＝27.63＞3.841， ∴有理由认为打鼾与患心脏病是有关的. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 有关 8.某次国际会议为了搞好对外宣传工作，会务组选聘了50名记者担任对外翻译工作，在如表“性别与会外语”的2×2列联表中，d＝____. 所以a＝12，b＝8，d＝24. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16   会外语 不会外语 合计 男 a b 20 女 6 d   合计 18   50 24 9.针对高三学生学习成绩的调查所得数据如下表，试问：有多大的把握认为学生总成绩不好与数学成绩不好有关系？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16   总成绩不好 总成绩好 合计 数学成绩不好 478 12 490 数学成绩好 399 24 423 合计 877 36 913 提出统计假设H0：学生总成绩不好与数学成绩不好没有关系. 根据列联表中的数据，经计算得到 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 查临界值表可知， 至少有97.5%的把握认为学生总成绩不好与数学成绩不好有关系. 10.某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练，对提高‘数学应用题’得分率的作用”的试验，其中甲班为试验班(加强语文阅读理解训练)，乙班为对比班(常规教学，无额外训练)，在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩(均取整数)如下表所示： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16   60分以下 61～70分 71～80分 81～90分 91～100分 甲班(人数) 3 11 6 12 18 乙班(人数) 7 8 10 10 15 现规定平均成绩在80分以上(不含80分)的为优秀. (1)计算两个班级的优秀率； 由题意知，甲、乙两班均有学生50人， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以甲、乙两班的优秀率分别为60%和50%. (2)根据以上统计数据填写下面2×2列联表，分析能否认为加强“语文阅读理解”训练对提高“数学应用题”得分率有帮助？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16   优秀人数 非优秀人数 合计 甲班       乙班       合计       参考公式及数据： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 P(χ2≥x0) 0.050 0.010 0.001 x0 3.841 6.635 10.828 所作2×2列联表如下所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16   优秀人数 非优秀人数 合计 甲班 30 20 50 乙班 25 25 50 合计 55 45 100 提出统计假设H0：加强“语文阅读理解”训练对提高“数学应用题”得分率没有帮助. 所以没有充分的证据认为加强“语文阅读理解”训练对提高“数学应用题”得分率有帮助. 11.(多选)下列关于χ2的说法正确的是 A. 根据2×2列联表中的数据计算得出χ2＝6.735＞6.635，则有99%的把握 认为两个分类变量有关系 B. χ2越大，认为两个分类变量有关系的把握性就越大 C. χ2是用来判断两个分类变量有关系的可信程度的随机变量 综合运用 √ √ √ D选项的公式中分子应该是n(ad－bc)2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成了谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小明同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了所在A地区的100天的日落和夜晚天气，得到如下2×2列联表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 夜晚天气 日落云里走　　　　 下雨 不下雨 合计 出现 25 5 30 不出现 25 45 70 合计 50 50 100 临界值表 P(χ2 ≥x0) 0.10 0.05 0.010 0.001 x0 2.706 3.841 6.635 10.828 并计算得到χ2＝19.05，下列小明对A地区天气判断正确的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 C.出现“日落云里走”，有99.9%的把握认为夜晚会下雨 D.至少有99.9%的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下 雨”有关 √ √ 由χ2＝19.05>10.828，可知至少有99.9%的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关，故D正确，C错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.(多选)有两个分类变量x，y，其2×2列联表如下所示： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16   y1 y2 合计 x1 a 20－a 20 x2 15－a 30＋a 45 合计 15 50 65 其中a,15－a均为大于5的整数，现有95%的把握认为x，y有关，则a的值为 A.6 　　　　B.7 　　　　C.8 　　　　D.9 √ √ 由题意可知 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据a>5且15－a>5，a∈Z，求得当a＝8或a＝9时满足题意. 14.世界杯期间，某电视台对年龄高于40岁和不高于40岁的人是否喜欢西班牙队进行调查，对高于40岁的调查了50人，不高于40岁的调查了50人，所得数据制成如右2×2列联表： 若工作人员从所有统计结果中任取一个，取到喜欢西班牙队的人的概率为 ，则至少有_____的把握认为是否喜欢西班牙队与年龄有关. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16   不喜欢西班牙队 喜欢西班牙队 合计 高于40岁 p q 50 不高于40岁 15 35 50 合计 a b 100 P(χ2≥x0) 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 x0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 95% 设“从所有统计结果中任意抽取一个，取到喜欢西班牙队的人”为事件A， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以q＝25，p＝25，a＝40，b＝60. 故至少有95%的把握认为是否喜欢西班牙队与年龄有关. 参考数据及公式如右： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 P(χ2≥x0) 0.050 0.010 0.001 x0 3.841 6.635 10.828 A.12 　　　　B.11 　　　　C.10 　　　　D.18 √ 设男生人数为x，依题意可得如下2×2列联表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若有95%的把握认为中学生喜欢航天和性别有关联，则χ2>3.841. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解得x>10.243. 16.“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患.某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查，得到数据制成如右2×2 列联表： 态度 性别 合计 男性 女性 反感 10     不反感   8   合计     30 已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是 (1)请将上面的2×2列联表补充完整(直接写结果，不需要写求解过程)，并据此表分析反感“中国式过马路”与性别是否有关. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 补充完整的2×2列联表如右所示. 提出统计假设H0：反感“中国式过马路”与性别无关， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 态度 性别 合计 男性 女性 反感 10 6 16 不反感 6 8 14 合计 16 14 30 所以没有充分的证据显示反感“中国式过马路”与性别有关. (2)若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动，记反感“中国式过马路”的人数为X，求X的分布列和均值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 X的可能取值为0,1,2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以X的分布列为 由此表可以粗略地估计出在吸烟的人中，有≈16.82%的人患病；在不吸烟的人中，有≈7.12%的人患病.因此，从直观上可以得到结论：吸烟者中患病的比例与不吸烟者中患病的比例相比有很大的差异，故可以认为患呼吸道疾病与吸烟有关. 由题意得解得 χ2＝， χ2＝. ∴χ2＝ ＝≈8.106. χ2＝≈1.157 5， 由分层抽样可得300×＝90，所以应收集90位女生的样本数据. χ2＝. χ2＝≈4.762. χ2＝. 由公式得χ2＝≈4.963<6.635， χ2＝≈0.041<3.841， 由公式得χ2＝≈2.334. 由题意得＝，解得c＝20， χ2＝≈6.109>3.841， 由公式得χ2＝≈5.059>5.024. 由题意得 χ2＝≈6.233>5.024， 甲班优秀人数为30人，优秀率为＝60%， 乙班优秀人数为25人，优秀率为＝50%， χ2＝. 因为χ2＝≈1.010<3.841， D. χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量 A.夜晚下雨的概率约为 B.未出现“日落云里走”，但夜晚下雨的概率约为 由题意，把频率看作概率可得夜晚下雨的概率约为＝，A错误； 未出现“日落云里走”，但夜晚下雨的概率约为＝，B正确； χ2＝ ＝>3.841， 附：χ2＝. 临界值表： 由已知得P(A)＝＝， χ2＝＝≈4.167>3.841. 15.针对时下的航天热，某校团委对“中学生是否喜欢航天和性别有关联”进行一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生喜欢航天的人数占男生人数的，女生喜欢航天的人数占女生人数的.提出统计假设H0：中学生喜欢航天和性别无关联.若有95%的把握认为中学生喜欢航天和性别有关联，则男生的人数至少为 χ2＝. 喜欢航天 不喜欢航天 合计 男生 x 女生 合计 x 由χ2＝＝>3.841， 因为，为整数，所以男生的人数至少为12. . 附：χ2＝. 由已知数据得χ2＝ ≈1.158＜3.841. P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝. X 0 1 2 P E(X)＝0×＋1×＋2×＝. $$