3.2.4 离散型随机变量的方差 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （湘教版2019）

3.2.4　离散型随机变量 的方差 第3章　§3.2 离散型随机变量及其分布列 学习目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念和意义. 2.能计算简单随机变量的方差，并能解决一些实际问题. 3.掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求方差. 在一次选拔赛中，甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8,9,10的概率分别为0.2,0.6,0.2；射手乙击中环数8,9,10的概率分别为0.4，0.2，0.4.如果你是教练，如何比较两名射手的射击水平，选拔谁呢？通过本节课的学习，我们就会得到答案. 导语 内容索引 一、离散型随机变量的方差、标准差 二、两点分布与二项分布的方差 课时对点练 三、方差的性质及综合应用 随堂演练 离散型随机变量的方差、标准差 一 问题1　A，B两台机床同时加工口罩，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表： A机床 次品数X1 0 1 2 3 P 0.7 0.2 0.06 0.04 B机床 次品数X2 0 1 2 3 P 0.8 0.06 0.04 0.10 试想利用什么指标可以比较A，B两台机床的加工质量？ 提示　E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44. E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44. 它们的数学期望相等，只根据数学期望无法区分这两台机床的加工质量.可以利用样本方差，它可以刻画样本数据的稳定性. 离散型随机变量的方差、标准差 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 由数学期望的公式可知D(X)＝E{[X－E(X)]2}＝______________________ _____________________________，则称D(X)为随机变量X的______，并称 为X的_______.通常还用σ2表示方差D(X)，用σ表示标准差 (x1－E(X))2p1＋ (x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn 方差 标准差 知识梳理 8 注意点： (1)离散型随机变量的方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. (2)离散型随机变量的方差的单位是随机变量本身的单位的平方，标准差与随机变量本身的单位相同. 知识梳理 9 例1　已知随机变量ξ的分布列为 E(ξ)＝0.1×0＋0.2×1＋0.3×2＋0.4×3＝2， 所以D(ξ)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.2＋(2－2)2×0.3＋(3－2)2×0.4＝1， ξ 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.3 0.4 求其方差和标准差. 10 求离散型随机变量的方差的方法 (1)根据题目条件先求分布列. (2)由分布列求出数学期望，再由方差公式求方差，当分布列中的概率值是待定常数时，应先由分布列的性质求出待定常数再求方差. 反思感悟 11 跟踪训练1　甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮.已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为 在前3次投篮中，乙投篮的次数为X，求X的分布列、方差及标准差. 12 由题意得，X的可能取值为0,1,2. 故X的分布列为 X 0 1 2 P 13 二 两点分布与二项分布的方差 1.若X服从两点分布，则D(X)＝_________(其中p为成功概率). 2.若X～B(n，p)，则D(X)＝_________. p(1－p) np(1－p) 知识梳理 15 例2　2022年10月16日二十大胜利召开后，学习贯彻党的二十大精神，要在全面学习上下功夫，只有全面、系统、深入学习，才能完整、准确、全面领会党的二十大精神.有关部门就学习宣传二十大精神推进学校和机关单位，某学校计划选派部分优秀学生干部参加宣传活动，报名参加的学生需进行测试，共设4道选择题，规定必须答完所有题，且每答对一题得1分，答错得0分，至少得3分才能成为宣传员；甲、乙、丙三名同学报名参加测试，他们答对每道题的概率都为 ，且每个人答题相互不受影响. (1)求甲、乙、丙三名同学恰有两名同学成为宣传员的概率； 16 每个同学成为宣传员需得3分或4分，即答对3道或4道试题， 因为每个人答题相互不受影响， 所以三人是否成为宣传员是相互独立事件， 所以甲、乙、丙三名同学恰有两名同学成为宣传员的概率为 17 (2)用随机变量ξ表示三名同学能够成为宣传员的人数，求ξ的数学期望与方差. 又随机变量ξ表示能够成为宣传员的人数，即3次独立重复试验中发生ξ次的概率， 18 两点分布与二项分布方差的计算步骤 (1)判断：判断随机变量服从什么分布. (2)计算：直接代入相应的公式求解方差. 反思感悟 19 跟踪训练2　(1)某运动员投篮命中率p＝0.8，则该运动员在一次投篮中命中次数X的方差为________. 0.16 依题意知，X服从两点分布，所以D(X)＝0.8×(1－0.8)＝0.16. 20 (2)为防止风沙危害，某地政府决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n株沙柳，已知各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设X为成活沙柳的株数，已知E(X)＝3，D(X)＝ ，则n＝____， p＝____. 6 由题意知，X服从二项分布B(n，p)， 21 三 方差的性质及综合应用 问题2　若随机变量X的方差为D(X)，Y＝aX＋b(a，b为常数，且a≠0)，你能推导出D(X)与D(Y)的关系吗？ 提示　E(Y)＝aE(X)＋b，∴D(Y)＝D(aX＋b)＝[ax1＋b－aE(X)－b]2p1＋[ax2＋b－aE(X)－b]2p2＋…＋[axn＋b－aE(X)－b]2pn＝[ax1－aE(X)]2p1＋[ax2－aE(X)]2p2＋…＋[axn－aE(X)]2pn＝a2D(X). 1.X为离散型随机变量，a，b为常数，若Y＝aX＋b，则D(aX＋b)＝______. 2.D(c)＝____(其中c为常数). a2D(X) 0 知识梳理 24 例3　(1)已知随机变量X的分布列为 X 0 1 x P p 25 ∵Y＝3X－2，∴D(Y)＝D(3X－2)＝9D(X)＝5， 26 (2)甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且候鸟的种类和数量也大致相同，两个保护区每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为 X 0 1 2 3 P 0.3 0.3 0.2 0.2 Y 0 1 2 P 0.1 0.5 0.4 试评定这两个保护区的管理水平. 27 甲保护区内违反保护条例的次数X的数学期望和方差分别为 E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3， D(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21. 乙保护区内违反保护条例的次数Y的数学期望和方差分别为 E(Y)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3， D(Y)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41. 因为E(X)＝E(Y)，D(X)>D(Y)，所以两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件的平均次数相同，但甲保护区内违反保护条例的事件次数相对分散且波动较大，乙保护区内违反保护条例的事件次数更加集中和稳定，相对而言，乙保护区的管理更好一些. 28 (1)求随机变量Y＝aX＋b方差的方法 ①先求Y的分布列，再求其数学期望，最后求方差. ②应用公式D(aX＋b)＝a2D(X)求解. (2)数学期望、方差在决策中的作用 ①数学期望：数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平，数学期望越大，平均水平越高. ②方差：方差反映了离散型随机变量取值的离散波动程度，方差越大越不稳定. ③在决策中常结合实际情形依据数学期望、方差做出决断. 反思感悟 29 跟踪训练3　某市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为 ，甲、乙两家公司对每道题的回答都是相互独立、互不影响的. (1)求甲公司至少答对2道题目的概率； 由题意可知，甲公司至少答对2道题目可分为答对2道题或者答对3道题， 30 (2)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家公司哪家竞标成功的可能性更大？ 31 设甲公司正确完成招标问题的题目数为X， 则X的取值分别为1,2,3. 则X的分布列为 X 1 2 3 P 32 设乙公司正确完成招标问题的题目数为Y，则Y的取值分别为0,1,2,3， 则Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P 由E(X)＝E(Y)，D(X)<D(Y)可得，甲公司竞标成功的可能性更大. 33 1.知识清单： (1)离散型随机变量的方差、标准差. (2)两点分布与二项分布的方差. (3)离散型随机变量的方差的性质及应用. 2.方法归纳：转化化归. 3.常见误区：方差公式套用错误. 课堂小结 随堂演练 四 1.设随机变量X的方差D(X)＝1，则D(2X＋1)的值为 A.2 　　　　B.3 　　　　C.4 　　　　D.5 D(2X＋1)＝4D(X)＝4×1＝4. 1 2 3 4 √ 2.有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本数学期望E(X甲)＝E(X乙)，方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计 A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 1 2 3 4 √ 3.已知随机变量X服从二项分布X～B(n，p)，且E(X)＝2.4，D(X)＝1.44，则 A.n＝4，p＝0.6 B.n＝6，p＝0.4 C.n＝8，p＝0.3 D.n＝24，p＝0.1 E(X)＝np＝2.4，D(X)＝np(1－p)＝1.44， 解得n＝6，p＝0.4. 1 2 3 4 √ 4.已知离散型随机变量X的分布列如右表所示，若E(X)＝0，D(X)＝1，则 a＝_____，b＝_____. 1 2 3 4 X －1 0 1 2 P a b c 课时对点练 五 1.(多选)下列说法中正确的是 A.离散型随机变量X的数学期望E(X)反映了X取值的概率的平均值 B.离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的离散程度 C.离散型随机变量X的数学期望E(X)反映了X取值的平均水平 D.离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的概率的平均值 E(X)反映了X取值的平均水平，D(X)反映了X取值的离散程度. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ √ 2.若随机变量X服从两点分布，且成功的概率p＝0.5，则E(X)和D(X)分别为 A.0.5和0.25 B.0.5和0.75 C.1和0.25 D.1和0.75 ∵X服从两点分布， ∴X的分布列为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ X 0 1 P 0.5 0.5 ∴E(X)＝0×0.5＋1×0.5＝0.5， D(X)＝0.52×0.5＋(1－0.5)2×0.5＝0.25. 3.(多选)已知X的分布列为 则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 X 1 2 3 4 P √ √ 4.由以往的统计资料表明，甲、乙两名运动员在比赛中的得分情况为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 X1(甲得分) 0 1 2 P 0.2 0.5 0.3 X2(乙得分) 0 1 2 P 0.3 0.3 0.4 现有一场比赛，应派哪位运动员参加较好 A.甲 B.乙 C.甲、乙均可 D.无法确定 √ ∵E(X1)＝E(X2)＝1.1， D(X1)＝1.12×0.2＋0.12×0.5＋0.92×0.3＝0.49， D(X2)＝1.12×0.3＋0.12×0.3＋0.92×0.4＝0.69， ∴D(X1)<D(X2)，即甲比乙得分稳定， 故派甲运动员参加较好. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.同时抛掷两枚质地均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则D(ξ)等于 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ ∴x2＝4－2x1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴x1＋x2＝3. 7.随机变量X的分布列为 且E(X)＝1.1，则D(X)＝_____. ∵E(X)＝1.1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 X 0 1 m P n 0.49 8.已知随机变量X，且D(10X)＝ ，则X的标准差为_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知随机变量ξ的分布列如下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ξ －1 0 1 P (2)设η＝2ξ＋3，求E(η)，D(η). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.某投资公司在2024年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目可供选择： 针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若按“项目一”投资，设获利X1万元， 则X1的分布列为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 X1 300 －150 P 若按“项目二”投资，设获利X2万元， 则X2的分布列为 X2 500 －300 0 P ∴E(X1)＝E(X2)，D(X1)<D(X2)， 这说明虽然项目一、项目二获利的数学期望相等，但项目一更稳妥.综上所述，建议该投资公司选择项目一投资. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.E(ξ)有最大值 B.E(ξ)无最小值 C.D(ξ)有最大值 D.D(ξ)无最小值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 因为随机变量X的分布列为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.一次数学测验由25道选择题构成，每道选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个答案选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率均为0.6，则此学生在这一次测验中成绩的数学期望为_____，方差为____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 96 设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X，所得的分数(成绩)为Y，则Y＝4X. 由题意知X～B(25,0.6)， 所以E(X)＝25×0.6＝15，D(X)＝25×0.6×0.4＝6， E(Y)＝E(4X)＝4E(X)＝60， D(Y)＝D(4X)＝42×D(X)＝16×6＝96， 所以该学生在这次测验中成绩的数学期望与方差分别是60与96. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 降水量X X<300 300≤X<700 700≤X<900 X≥900 工期延误天数Y 0 2 6 10 若历史气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9，则工期延误天数Y的数学期望是_____，工期延误天数Y的方差为_____. 3 9.8 由已知条件和概率的加法公式知， P(X<300)＝0.3， P(300≤X<700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4， P(700≤X<900)＝P(X<900)－P(X<700)＝0.9－0.7＝0.2， P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1. 所以随机变量Y的分布列为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Y 0 2 6 10 P 0.3 0.4 0.2 0.1 故E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3； D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8. 故工期延误天数Y的方差为9.8. 15.编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，则E(ξ)＝__，D(ξ)＝___. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 1 1 ξ的所有可能取值为0,1,3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了， ξ＝3表示三位同学全坐对了，即对号入座， 所以ξ的分布列为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ξ 0 1 3 P 16.A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2，根据市场分析，X1和X2的分布列分别如表所示： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 X1 5% 10% P 0.8 0.2 X2 2% 8% 12% P 0.2 0.5 0.3 (1)在A，B两个投资项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)； 根据题意，知Y1和Y2的分布列分别为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Y1 5 10 P 0.8 0.2 Y2 2 8 12 P 0.2 0.5 0.3 从而E(Y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6， D(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4， E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8， D(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12. (2)将x(0≤x≤100)万元投资项目A，(100－x)万元投资项目B，f(x)表示投资项目A所得利润的方差与投资项目B所得利润的方差的和.求f(x)的最小值，并指出当x为何值时，f(x)取得最小值. 当x＝75时，f(x)取得最小值3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 . (3)方差的变形公式：D(X)＝xpi－[E(x)]2. ＝＝1. ，， E(X)＝0×＋1×＋2×＝， D(X)＝2×＋2×＋2×＝， ∴＝. P(X＝0)＝×＝，P(X＝1)＝×＋×＝，P(X＝2)＝×＝. 所以每个同学成为宣传员的概率为C3＋C4＝， 又因为每个人成为宣传员的概率均为， C2＝. 因为每个人成为宣传员的概率均为，故为独立重复试验， 所以随机变量ξ满足二项分布ξ～B， 所以E(ξ)＝np＝3×＝， D(ξ)＝np(1－p)＝. 得1－p＝，∴p＝，n＝6. 由E(X)＝np＝3，D(X)＝np(1－p)＝， 若E(X)＝，且Y＝3X－2，则＝______. ∴＝. 由随机变量分布列的性质，得＋＋p＝1， 解得p＝， ∵E(X)＝0×＋1×＋x＝，∴x＝2. ∴D(X)＝2×＋2×＋2×＝＝. 所以概率P＝＋＝. ∴E(X)＝1×＋2×＋3×＝2， D(X)＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝； P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， ∴E(Y)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2， D(Y)＝(0－2)2×＋(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝， P(Y＝2)＝C×2×＝，P(Y＝3)＝C3＝， P(Y＝0)＝，P(Y＝1)＝C××2＝， 由题意知解得 ∵E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝， A.E(X)＝ 　 B.D(X)＝ C.D(X)＝ D.E(X)＝ ∴D(X)＝2×＋2×＋2×＋2×＝. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币一次，两枚硬币同时出现反面的概率为 P＝×＝， A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D.5 ∴ξ～B，∴D(ξ)＝10××＝. 6.若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1<x2，又已知E(X)＝，D(X)＝，则x1＋x2的值为 A. 　　　　B. 　　　　C.3 　　　　D. ∵E(X)＝x1＋x2＝， D(X)＝2×＋2×＝. ∵x1<x2，∴ 由＋n＋＝1，得n＝， ∴0×＋1×＋m×＝1.1，得m＝2， ∴D(X)＝(0－1.1)2×＋(1－1.1)2×＋(2－1.1)2×＝0.49. 由题意可知，D(10X)＝， 即100D(X)＝，∴D(X)＝， ∴＝.即X的标准差为. E(ξ)＝(－1)×＋0×＋1×＝－， (1)求E(ξ)，D(ξ)，； D(ξ)＝2×＋2×＋2×＝，＝. E(η)＝2E(ξ)＋3＝，D(η)＝4D(ξ)＝. 项目一：新能源汽车.据市场调研，投资该项目，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和； 项目二：通信设备.据市场调研，投资该项目，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和. ∴E(X1)＝300×＋(－150)×＝200. ∴E(X2)＝500×＋(－300)×＋0×＝200. D(X1)＝(300－200)2×＋(－150－200)2×＝35 000， D(X2)＝(500－200)2×＋(－300－200)2×＋(0－200)2×＝140 000， 11.(多选)已知随机变量ξ满足P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝x，P(ξ＝2)＝－x，若0<x<，则 因为f(x)＝－x2－x＋＝－2＋在上单调递减， 所以当0<x<时，D(ξ)无最大值和最小值.故C错误，D正确. 由题意可得，E(ξ)＝0×＋1×x＋2×＝－x， 因为f(x)＝－x在上单调递减， 所以当0<x<时，E(ξ)无最大值和最小值.故A错误，B正确； D(ξ)＝2·＋2·x＋2·＝－x2－x＋， 12.随机变量X的分布列为P(X＝n)＝(n＝1,2,3)，其中a是常数，则D(aX)等于 A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 故D(aX)＝a2D(X)＝. P(X＝n)＝(n＝1，2，3)， 故＋＋＝1，解得a＝， 则E(X)＝1×＋2×＋3×＝， D(X)＝2×＋2×＋2×＝， 则P(ξ＝0)＝＝； 则P(ξ＝1)＝＝； 则P(ξ＝3)＝＝. E(ξ)＝0×＋1×＋3×＝1. D(ξ)＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(3－1)2＝1. f(x)＝D＋D＝2D(Y1)＋2D(Y2) ＝[x2＋3(100－x)2]＝(4x2－600x＋30 000)＝(x－75)2＋3， $$