3.2.4 离散型随机变量的方差 课件-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

3.2.4 选择性必修二 离散型随机变量的方差 学习目标 2、会计算两点分布、二项分布的方差及标准差. 1、通过具体实例，理解离散型随机变量的方差与标准差； 3、会应用离散型随机变量的方差解决实际问题. 复习导入 问题1.五一假期前，我们刚结束了本学期的第二次月考，想了解两个班级数学成绩是否一样，除了通过平均分来了解班级整体数学成绩的集中趋势和平均水平外，还需要研究什么？ 问题2：学校从甲、乙两名射击运动员中选拔一人参加市中学生运动会，甲、乙两人参加测试的成绩（单位：环）如下： 甲：7，8，8，9，7，8； 乙：6，8，7，7，8，9. 教练员该如何选出合适选手？ 新知探究 问题2 学校从甲、乙两名射击运动员中选拔一人参加市中学生运动会， 甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1，X2的分布列分别为 教练员又该如何选出合适选手？ 新知探究 E(X1)=E(X2)=8．从期望（均值）的角度看，分不出甲、乙两名射手的射击水平，不知道谁更优秀． 但进一步观察分布列，可以发现甲有 42%的成绩在8 环，而乙仅有12%的成绩在8环，这说明甲成绩偏离均值小，乙成绩偏离均值大． 问题3：类比计算样本的方差的计算，以及离散型随机变量的期望的计算，可以用什么方法来刻画离散型随机变量的方差呢？你有何想法？ 新知生成 很自然地想到，|X－E(X)|表示随机变量X与其期望E(X)偏离的大小，可以用E{|X－E(X)|}表示平均偏离的大小． 但由于绝对值运算在数学处理上有许多不便． 人们便用E{[X－E(X)]2} 或 来刻画与它的期望的偏离程度． 设离散型随机变量 X 的分布列为 由数学期望公式可知 D(X) = E{[X－E(X)]2} = (x1－E(X) )2p1＋(x2－E(X) )2p2＋∙ ∙ ∙＋(xn－E(X))2pn 则称D(X)为随机变量 X 的方差，并称 为 X 的标准差． 通常还用 σ2 表示表示方差D(X)，用 σ 表示标准差． 新知运用 根据上述分析，你认为教练员该如何选出合适选手？ E(X1)=E(X2)=8 D(X1)=1.6,D(X2)=1.96 方差或标准差越小，则随机变量的取值向数学期望集中得越好； 反之，方差或标准差越大，则随机变量的取值就越分散． 随机变量的方差是常数，而样本的方差依赖于样本的选取，带有随机性，即样本方差是随机变量．在大多数情况下，样本方差会接近于总体方差，因此，我们常用样本方差估计总体的方差． 新知运用 例14 若随机变量的概率分布如下表所示,求方差和标准差. 新知生成 根据方差的定义和数学期望的性质，对于离散型随机变量X，我们还可以得到以下计算公式： 于是有 若X~B(n，p)，则 D(X) = np(1－p)． 若Y = aX＋b， a，b为常数，则 D(Y ) = a2D(X) ． 新知运用 例15 某厂一批产品的正品率是,检验单位从中有放回地随机抽取件,计算: (1)抽出的件产品中平均有多少件正品 (2)抽出的件产品中正品数的方差和标准差 新知运用 例16某人欲投资万元,有两种方案可供选择,设表示方案一所得收益(单位:万元),表示方案二所得收益(单位:万元),其分布列分别为 追问1：你能总结一下用期望和方差对实际问题做出决策的步骤吗？ 新知运用 练习4：已知投资项目A和B有如下资料可供投资者参考，试说明投资哪个项目更佳： 课堂小结 1.离散型随机变量的方差 E{[X－E(X)]2} 2、几个特殊分布的方差： 布置作业 正式作业:A:习题3.2 :9、10 练习册:例2后巩固训练1、例3、巩固训练 随堂检测：2、4 $$