2.4.3 向量与夹角 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （湘教版2019）

2.4.3　向量与夹角 第2章　§2.4 空间向量在立体几何中的应用 学习目标 1.会用向量法求线线角、线面角、面面角. 2.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系. 地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”，黄道面与地球赤道面交角(二面角的平面角)为23°26′.黄道面与天球相交的大圆为“黄道”.黄道及其附近的南北宽9°以内的区域称为黄道带，太阳及大多数行星在天球上的位置常在黄道带内.黄道带内有十二个星座，称为“黄道十二宫”.从春分(节气)点起，每30°便是一宫，并冠以星座名，如白羊座、狮子座、双子座等等，这便是星座的由来. 导语 内容索引 一、直线与直线的夹角 二、直线与平面所成的角 课时对点练 三、两个平面所成的角 随堂演练 直线与直线的夹角 一 问题1　如何用空间向量求两条异面直线所成的角？ 提示　两条异面直线所成角的问题的研究路径：两条异面直线所成的角的定义→两条异面直线所成的角的范围→两条异面直线所成的角的向量求法. 设两条异面直线a与b所成的角为θ ，它们的方向向量分别是v1， v2，设v1与v2所成的角为φ，则cos θ＝_______＝|cos〈v1，v2〉|＝______. |cos φ| 知识梳理 7 注意点： 两异面直线所成角的范围是 ，两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系. 知识梳理 8 例1　如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，试求直线EF和BC1所成角的大小. 9 所以直线EF和BC1所成角的大小为60°. 10 求异面直线夹角的步骤 (1)确定两条异面直线的方向向量. (2)确定两个向量夹角的余弦值的绝对值. (3)得出两条异面直线所成的角. 反思感悟 11 跟踪训练1　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为 √ 12 设正方体的棱长为2，则B1(2,2,2)，M(1,1,0)，D1(0，0,2)，N(1,0,0)， 13 二 直线与平面所成的角 问题2　如何用空间向量求直线与平面所成的角？ 提示　直线与平面所成角的问题的研究路径：直线与平面所成的角的定义→直线与平面所成的角的范围→直线与平面所成的角的向量求法. 当直线l与平面α相交且不垂直时，设它们所成的角为θ，v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，v与n所成的角为φ，则sin θ＝______ ＝|cos〈v，n〉|＝______. |cos φ| 知识梳理 16 注意点： (1)直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角. 知识梳理 17 例2　如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝ AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点. (1)证明：CM⊥SN； 18 则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)， (2)求SN与平面CMN所成角的大小. 20 设a＝(x，y，z)为平面CMN的法向量， 取y＝1，得a＝(2,1，－2). ∴平面CMN的一个法向量为a＝(2,1，－2)， 21 设SN与平面CMN所成的角为θ， 22 利用平面的法向量求直线与平面所成角的基本步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)求直线的方向向量u. (3)求平面的法向量n. 反思感悟 23 跟踪训练2　如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，E，F分别为C1C，BC的中点.求A1B与平面AEF所成角的正弦值. 24 则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，B(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,1,0)， 设平面AEF的法向量为n＝(a，b，c)， 令a＝1，可得n＝(1，－1,2). 则平面AEF的一个法向量为n＝(1，－1,2). 25 设A1B与平面AEF所成角为θ， 26 三 两个平面所成的角 1.两平面所成的角：两个平面相交会形成四个二面角，一般规定较小的 二面角为两平面所成的角，由此可知两个平面所成角的取值范围为______. 2.两平面所成角的计算：设两个平面α1和α2所成的角为θ，平面α1，α2的法向量分别为n1和n2，记〈n1，n2〉＝φ，则cos θ＝______＝|cos〈n1，n2〉|. |cos φ| 知识梳理 28 注意点： (1)两平面所成角的问题转化为两平面法向量的夹角问题. (2)两个平面所成角的范围是 . (3)二面角与两平面所成的角是不同的概念，若要求的是二面角，则需根据图形判断是钝角还是锐角. 知识梳理 29 例3　如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形. (1)证明：O1O⊥平面ABCD； 30 因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，所以CC1⊥AC，DD1⊥BD， 又CC1∥DD1∥OO1，所以OO1⊥AC，OO1⊥BD， 因为AC∩BD＝O，AC，BD⊂平面ABCD， 所以O1O⊥平面ABCD. (2)若∠CBA＝60°，求平面C1OB1与平面OB1D所成角的余弦值. 32 因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，又O1O⊥平面ABCD，所以OB，OC，OO1两两垂直. 平面OB1D的一个法向量为n＝(0,1,0)， 设平面C1OB1的法向量为m＝(x，y，z)， 33 34 求两平面所成的角的两种方法 (1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面所成的角.也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同. 反思感悟 35 跟踪训练3　如图所示，在几何体S－ABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD＝DC＝2，BC＝1，又SD＝2，∠SDC＝120°，求平面SAD与平面SAB所成角的余弦值. 36 ∵∠SDC＝120°，∴∠SDE＝30°，又SD＝2， 设平面SAD的法向量为m＝(x，y，z)， 37 38 39 1.知识清单： (1)直线与直线的夹角. (2)直线与平面所成的角. (3)两个平面所成的角. 2.方法归纳：转化与化归. 3.常见误区：混淆两个向量的夹角和空间两条直线所成的角的关系，不能正确理解空间角的概念，把握空间角的范围. 课堂小结 随堂演练 四 1.已知向量m，n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量，若cos〈m，n〉＝ ，则l与α所成的角为 A.30° 　　　　B.60° 　　　　C.120° 　　　　D.150° 由已知得直线l和平面α的法向量所成锐角为60°，因此l与α所成的角为30°. 1 2 3 4 √ 2.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 3.如图所示，点A，B，C分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上， ＝(0,0,2)，平面ABC的一个法向量为n＝(2,1,2)，平面ABC与平面ABO所成的角为θ，则 cos θ＝_____. 1 2 3 4 4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为____. 1 2 3 4 则D(0,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1). 1 2 3 4 课时对点练 五 1.若平面α的一个法向量为n1＝(1,0,1)，平面β的一个法向量是n2＝(－3,1,3)，则平面α与β所成角的大小为 A.30° 　　　　B.45° 　　　　C.60° 　　　　D.90° 因为n1·n2＝(1,0,1)·(－3,1,3)＝0，所以α⊥β，即平面α与β所成角的大小为90°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 2.斜线l与它在平面α上的射影l′的方向向量分别为a＝(1,0,1)，b＝(0,1,1)，则斜线l与平面α所成角的大小为 A.30° 　　　　B.45° 　　　　C.60° 　　　　D.90° 斜线l与平面α所成的角即为a与b所成的角(或其补角)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 所以〈a，b〉＝60°. 即斜线l与平面α所成角的大小为60°. 3.已知A(0,1,1)，B(2，－1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，则直线AB和直线CD所成角的余弦值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 4.已知正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD所成角的大小为 A.30° 　　　　B.45° 　　　　C.60° 　　　　D.90° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 设PA＝AB＝1，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴平面PAB与平面PCD所成角的大小为45°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，且AC⊥BD，AC与BD交于点O，PO⊥底面ABCD，PO＝2，AB＝ ，E，F分别是AB，AP的中点.则平面FOE与平面OEA所成角的余弦值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由题意知，OA＝OB＝2， 则O(0,0,0)，A(0，－2,0)，B(2,0,0)，P(0,0,2)， E(1，－1,0)，F(0，－1,1)， 设平面FOE的法向量为m＝(x，y，z)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令x＝1，可得m＝(1,1,1)， 易知平面OEA的一个法向量为n＝(0,0,1)， 设平面FOE与平面OEA所成的角为θ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)如图，已知在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AP＝6，AB＝a.若在直线BC上存在两个不同的点M，Q，使得直线PM，PQ与平面ABCD所成的角都为 .则实数a的值可以为 A.1 　　　　B.2 　　　　C.3 　　　　D.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 所以在直线BC上存在两个不同的点M，Q， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则直线CD与平面BDC1 所成角的正弦值等于____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设AA1＝2AB＝2， 则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)， 令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量为n＝ (2，－2,1). 设直线CD与平面BDC1所成的角为θ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.在空间中，已知平面α过点A(3,0,0)和B(0,4,0)及z轴上一点P(0,0，a)(a>0)， 如果平面α与平面xOy所成的角为45°，则a＝_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 平面xOy的一个法向量为n＝(0,0,1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.如图所示，在四面体ABCD中，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝ . 求异面直线AB与CD所成角的余弦值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 取BD的中点O，连接OA，OC.由题意知OA，OC，BD两两垂直. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.在四棱锥P－ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AD⊥DC，且AB＝1，AD＝DC＝DP＝2，∠PDC＝120°.求________所成角的余弦值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 从①平面PAB与平面ABC；②平面PBD与平面BDC；③平面PBC与平面BCD这三个条件中任选一个，补充在题目中并作答. 选择①：在平面PCD内过点D作DH⊥DC，交PC于H. 由题意可知，平面ABCD⊥平面PCD，平面ABCD∩ 平面PCD＝DC，AD⊥DC， 所以AD⊥平面PDC，所以AD⊥DH. 故DA，DC，DH两两垂直. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 易知平面ABCD的一个法向量为n＝(0,0,1). 设平面PAB的法向量为m＝(x，y，z)， 设平面PAB与平面ABC所成的角为θ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选择②：若与上面建系相同，则平面ABCD的一个法向量为n＝(0,0,1)， 设平面PBD与平面BDC所成的角为α， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选择③：若与上面建系相同，则平面ABCD的一个法向量为n＝(0,0,1)， 设平面PBC与平面BCD所成的角为β， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1， 则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵∠APC为钝角，∴cos∠APC<0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴(1－λ)(－λ)＋(－λ)(1－λ)＋(λ－1)2＝(λ－1)·(3λ－1)<0， 12.如图所示，M，N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E，现将△ADE沿DE折起，使平面ADE与平面DEB所成的角为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M，N的连线与AE所成的角的大小为 A.45° 　　　B.90° 　　　C.135° 　　　D.150° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意知△ABE为等腰直角三角形，设CD＝1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB∥DC，PD＝AB＝AD＝ ，Q为PC的中点，则直线PC与平面BDQ所成角的正弦值为 ______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设平面BDQ的法向量为n＝(x，y，z)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 取x＝1，则n＝(1，－1，2)， 设直线PC与平面BDQ所成的角为α， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.如图，在三棱锥V－ABC中，点C在空间直角坐标系的原点处，点A，B，V分别在x轴、y轴、z轴上， D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，∠VDC＝ ， 则异面直线AC与VD所成角的余弦值为_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵AC＝BC＝2，D是AB的中点， ∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设直线AC与VD所成的角为θ， 15.如图，在正方形ABCD中，EF∥AB，若沿EF将正方形折成一个二面角 后，AE∶ED∶AD＝1∶1∶ ，则AF与CE所成角的余弦值为_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 所以AE⊥ED，即AE，DE，EF两两垂直， 设AB＝EF＝CD＝2，则E(0,0,0)，A(1,0,0)，F(0,2,0)，C(0,2,1)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知几何体EFG－ABCD，如图所示，其中四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，且边长均为1，点M在棱DG上. (1)求证：BM⊥EF； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形， ∴GD⊥DA，GD⊥DC. 又DA∩DC＝D，DA，DC⊂平面ABCD，∴GD⊥平面ABCD. 则B(1,1,0)，E(1,0,1)，F(0，1,1). ∵点M在棱DG上，故可设M(0,0，t)(0≤t≤1). (2)是否存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45°？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 假设存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45°. 设平面BEF的法向量为n＝(x，y，z)， 令z＝1，得x＝y＝1， ∴n＝(1,1,1)为平面BEF的一个法向量， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵直线MB与平面BEF所成的角为45°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 于是cos〈，〉＝＝＝， 以B为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，如图. 设AB＝1，则B(0,0,0)，E ，F ，C1(1,0,1)， 所以＝，＝(1,0,1). A. 　　　　B. 　　　　 C. 　　　　D. ∴cos〈，〉＝＝. ∴B1M与D1N所成角的余弦值为. 以点D为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， ∴＝(－1，－1，－2)，＝(1,0，－2)， (2)线面角的范围为. (3)若〈v，n〉是一个锐角，则θ＝－〈v，n〉；若〈v，n〉是一个钝角，则θ＝〈v，n〉－. ∴N ，M ，S ， ＝，＝， ∴·＝·＝0， ∴⊥，因此CM⊥SN. 设PA＝1，以A为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图). 又AN＝AB，M，S分别为PB，BC的中点， 由(1)知，＝，＝，＝， ∴·a＝0，·a＝0. 则∴ ∴SN与平面CMN所成的角为. 则sin θ＝|cos〈a，〉|＝＝. ∵θ∈， (4)设线面角为θ，则sin θ＝ . 由得 以A为原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以＝(2,0，－2)，＝(0,2,1)，＝(1,1,0). 所以sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝， 即A1B与平面AEF所成角的正弦值为. 所以O(0,0,0)，B1(，0,2)，C1(0,1,2)，＝ (，0,2)，＝(0,1,2)， 如图，以O为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系. 设棱长为2，因为∠CBA＝60°，所以OB＝，OC＝1， 取z＝－，则x＝2，y＝2， 所以m＝(2,2，－)为平面C1OB1的 一个法向量， 所以|cos〈m，n〉|＝＝＝. 所以平面C1OB1与平面OB1D所成角的余弦值为. 由m⊥，m⊥， 得x＋2z＝0，y＋2z＝0， (2)法向量法：分别求出两平面的法向量n1，n2，则两平面所成的角为〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉. 则有D(0，0,0)，S(－1，，0)，A(0,0,2)，B(2，0,1)， ∵＝(0,0，－2)，＝(－1，，－2)， 如图，过点D作DC的垂线交SC于点E，以D为原 点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方 向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系. ∴点S到y轴的距离为1，到x轴的距离为， 又＝(2,0，－1)，设平面SAB的法向量为n＝ (a，b，c)， 则即 ∴即 取x＝，得平面SAD的一个法向量为m＝(，1,0). ∴cos〈m，n〉＝＝＝， 故平面SAD与平面SAB所成角的余弦值是. 令a＝， 则n＝(，5,2)， － A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 所以cos〈，〉＝＝＝. 即BM与AN所成角的余弦值为. 如图所示，以C为原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，设CA＝1， 则B(0,1,0)，M ，A(1,0,0)，N . 故＝，＝， cos θ＝＝＝. 则sin θ＝|cos〈，〉|＝＝＝， 即BB1与平面ACD1所成角的正弦值为. 设正方体的棱长为1，以D为原点，分别以，，的方向为x轴、  y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系如图. 易知平面ACD1的一个法向量为＝(1,1,1). 又＝(0,0,1)，设BB1与平面ACD1所成的角为θ， 因为cos〈a，b〉＝＝， A. 　　　　B.－ 　　　　C. 　　　　D.－ 由题意可得＝(2，－2，－1)，＝(－2，－3，－3)， 所以cos〈，〉＝＝＝， 故直线AB和CD所成角的余弦值为. 如图所示，以A为原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系， 于是＝(0,1,0)，取PD的中点E，连接AE， 则E ， ∴＝，易知是平面PAB的一个法向量，是平面PCD的一个法向量， ∴cos〈，〉＝， A.－ 　　　B. 　　　C.－ 　　　D. 2 以O为坐标原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系， ∴＝(1，－1,0)，＝(0，－1,1)， 则即 则cos θ＝|cos〈m，n〉|＝＝＝， ∴平面FOE与平面OEA所成角的余弦值为. 使得直线PM，PQ与平面ABCD所成的角都为， 等价于在直线BC上有两个不同的点M，Q到点A的距离为2， 由此可得0<a<2. 假设在直线BC上有一点Q，使得直线PQ与平面ABCD所成的角为，连接AQ，如图所示， 易得∠PQA＝， 在Rt△APQ中，由于AP＝6，可得AQ＝2. 以D为坐标原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，如图. 则＝(0,1,0)，＝(1,1,0)，＝(0,1,2). 则所以 则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝. 而|cos〈n，u〉|＝＝， 又∵a>0，∴a＝. 设平面α的法向量为u＝(x，y，z)，又＝(－3,4,0)，＝(－3,0，a)， 则即 即3x＝4y＝az，取z＝1，则u＝. ∴cos〈，〉＝＝. ∴异面直线AB与CD所成角的余弦值为. 以O为坐标原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，如图所示， 则B(1,0,0)，D(－1,0,0)，C(0，，0)，A(0,0,1)， ∴＝(－1,0,1)，＝(－1，－，0)， 如图，以D为原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系， 则D(0,0,0)，P(0，－1，)，A(2,0,0)，B(2,1,0)，C(0,2,0). 则＝，＝(0,1,0)， 故平面PAB与平面ABC所成角的余弦值为. 则即 取z＝2，有m＝(，0,2). 所以cos θ＝|cos〈n，m〉|＝＝＝， 所以cos α＝|cos〈n，a〉|＝＝＝. 故平面PBD与平面BDC所成角的余弦值为. ＝，＝， 设平面PBD的法向量为a＝(x1，y1，z1)，则 则平面PBD的一个法向量为a＝(－，2，2)， 所以cos β＝|cos〈n，b〉|＝＝＝. 故平面PBC与平面BCD所成角的余弦值为. 设平面PBC的法向量为b＝(x2，y2，z2)，＝，＝ (－2，1，0)， 则 则平面PBC的一个法向量为b＝(1,2,2). 11.如图，已知动点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的体对角线BD1 (不含端点)上.设＝λ，若∠APC为钝角，则实数λ的取值范围为 A. 　　B. 　　C. 　　D. 由题设，以D为原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系， ∴＝(1,0，－1)，＝(1,1，－1)，＝(0,1，－1)， ∴＝(λ，λ，－λ)，0<λ<1， ∴＝＋＝(－λ，－λ，λ)＋(1，0，－1)＝(1－λ，－λ，λ－1)， ＝＋＝(－λ，－λ，λ)＋(0，1，－1)＝(－λ，1－λ，λ－1)， ∴·<0， 解得<λ<1， ∴λ的取值范围是. 则BE＝1，AB＝1，AE＝. 设BC＝DE＝2a，则E(0,0,0)，A(1,0,1)，N(1，a,0)，D(0,2a,0)，M ， ∴＝，＝(－1，0，－1)， ∴·＝·(－1,0，－1)＝0， ∴⊥，从而MN与AE所成的角为90°. ＝(0，2，－1)，＝(1，1，0)，＝， 则即 以D为原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系， 设DC＝2，则PD＝AB＝AD＝1，PC＝， D(0,0,0)，P(0，0，1)，C(0，2，0)，B(1，1，0)，Q， ＝＝， 即直线PC与平面BDQ所成角的正弦值为. 则sin α＝|cos〈n，〉|＝ 在Rt△VCD中，∠VDC＝，CD＝， ∴V(0,0，)， ∴＝(－2,0,0)，＝(1,1，－)， ∴cos θ＝|cos〈，〉|＝＝＝. ∴异面直线AC与VD所成角的余弦值为. 所以|cos〈，〉|＝＝＝， 所以AF与CE所成角的余弦值为. 因为AE∶ED∶AD＝1∶1∶， 以E为原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以＝(－1,2,0)，＝(0,2,1)， 以点D为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. ∵＝(1,1，－t)，＝(－1,1,0)，∴·＝0，∴BM⊥EF. ∵＝(0，－1,1)，＝(－1,0,1)， ∴∴ ∴|cos〈n，〉|＝＝， ∴sin 45°＝|cos〈n，〉|， ∴＝， 解得t＝－4±3. 又0≤t≤1，∴t＝3－4. ∴存在点M(0,0,3－4). ∴当点M位于棱DG上，且DM＝3－4时，直线MB与平面BEF所成的角为45°. $$