第11章 一元一次不等式（单元复习 4大易错+5大压轴）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（苏科版2024）

第11章 一元一次不等式 01 思维导图 目录 【易错题型】 1 易错题型一　利用一元一次不等式的定义求参数的值 1 易错题型二　解一元一次不等式（组）去分母漏乘常数项 3 易错题型三　根据一元一次不等式的解集求参数 6 易错题型四　利用一元一次不等式的整数解求参数的取值范围 7 【压轴题型】 9 压轴题型一　利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围 9 压轴题型二　根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围 12 压轴题型三　整式方程(组)与一元一次不等式结合求参数的问题 14 压轴题型四　整式方程(组)与一元一次不等式组结合求参数的问题 16 压轴题型五　一元一次不等式（组）中的新定义型问题 19 【易错题型】02 易错题型 易错题型一　利用一元一次不等式的定义求参数的值 例题：（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）已知是关于的一元一次不等式，则 ． 巩固训练 1．（23-24七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）若是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集是 ． 2．（2023九年级·全国·专题练习）已知（k－3）x|k|－2＋1＞0是关于x的一元一次不等式，则k＝ ． 3．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为 ． 4．（23-24七年级下·重庆江津·期末）已知是关于x的一元一次不等式，则 ． 5．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为 ． 易错题型二　解一元一次不等式（组）去分母漏乘常数项 例题：（24-25八年级上·浙江宁波·期末）解不等式组： 巩固训练 1．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）解不等式组：． 2．（24-25八年级上·湖南常德·期末）解不等式组：，并在数轴上把解集表示出来． 3．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）解不等式组并把解在数轴上表示出来． 4．（23-24七年级下·新疆昌吉·期末）解不等式组：，并在数轴上表示出它的解集． 易错题型三　根据一元一次不等式的解集求参数 例题：（23-24八年级上·浙江宁波·期中）关于的不等式的解集如图所示，则的值是 ． 巩固训练 1．（23-24八年级下·四川达州·期中）如果不等式的解集是，那么a的取值范围是 ． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知如图是关于的不等式的解集，则的值为 ． 易错题型四　利用一元一次不等式的整数解求参数的取值范围 例题：（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是 ． 巩固训练 1．（23-24七年级下·天津南开·期末）关于x的不等式有2个正整数解，则a的取值范围是 ． 2．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）关于的不等式的最小整数解为2，则实数的取值范围是 ． 【压轴题型】03 压轴题型 压轴题型一　利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围 例题：（24-25八年级上·四川成都·期末）如果关于的不等式组有且只有个整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 巩固训练 1．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 ． 2．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）已知关于x的不等式组只有3个整数解，则a的取值范围是 ． 3．（23-24七年级下·安徽滁州·阶段练习）若实数使关于的不等式组有且只有两个整数解，则实数的取值范围是 ． 4．（23-24七年级下·重庆·期中）若关于的一元一次方程有正整数解，且使关于的不等式组至少有4个整数解，求出满足条件的整数的所有值的积为 ． 压轴题型二　根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围 例题：（23-24七年级下·全国·期中）若不等式组，的解集为，则m应满足的条件是 ． 巩固训练 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）关于x的一元一次不等式组有解，则a的取值范围是 ． 2．（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）已知不等式组无解，则a的取值范围是 ． 压轴题型三　整式方程(组)与一元一次不等式结合求参数的问题 例题：（2024·山东东营·二模）若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围为 ． 巩固训练 1．（23-24七年级下·全国·期中）关于的方程的解为非负数，则的取值范围是 ． 2．（23-24八年级上·陕西西安·期末）若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是 ． 3．（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）若关于x的方程的解是非正数，则m的取值范围是 ． 压轴题型四　整式方程(组)与一元一次不等式组结合求参数的问题 例题：（24-25八年级上·重庆巴南·阶段练习）若方程组中未知数x、y满足，关于x的不等式组有且只有3个整数解，则所有满足条件的整数a的和为 ． 巩固训练 1．（24-25八年级上·重庆·期中）若使得关于的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数之和是 ． 2．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）若关于的不等式组有且仅有4个整数解，且关于、的方程组的解为整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 压轴题型五　一元一次不等式（组）中的新定义型问题 例题：（23-24七年级下·江西宜春·期末）对于实数x，y定义一种新运算“”：（其中m，n均为非零常数），这里等式的右边是通常的四则运算．例如：．已知，． (1)求m，n的值． (2)若关于a的不等式组恰好有2个整数解，求实数b的取值范围． 巩固训练 1．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）定义运算：．已知，． (1)直接写出：________，________； (2)若关于x的不等式组无解，求t的取值范围； (3)若的解集为，求不等式：的解集． 2．（24-25七年级上·吉林·期中）【定义】若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：的解为的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 【问题解决】（1）在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是______（填序号）； （2）若关于的方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围； （3）若方程是关于的不等式组的“子方程”，直接写出的取值范围． 3．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）阅读理解： 定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”，例如：的解为， 的解集为，在的范围内，所以是 的“子方程”． 问题解决： (1)若关于x的方程是不等式组 的“子方程”，求k的取值范围； (2)若方程 ，都是关于x的不等式组的“子方程”，试求m的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章 一元一次不等式 01 思维导图 目录 【易错题型】 1 易错题型一　利用一元一次不等式的定义求参数的值 1 易错题型二　解一元一次不等式（组）去分母漏乘常数项 3 易错题型三　根据一元一次不等式的解集求参数 6 易错题型四　利用一元一次不等式的整数解求参数的取值范围 7 【压轴题型】 9 压轴题型一　利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围 9 压轴题型二　根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围 12 压轴题型三　整式方程(组)与一元一次不等式结合求参数的问题 14 压轴题型四　整式方程(组)与一元一次不等式组结合求参数的问题 16 压轴题型五　一元一次不等式（组）中的新定义型问题 19 【易错题型】02 易错题型 易错题型一　利用一元一次不等式的定义求参数的值 例题：（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）已知是关于的一元一次不等式，则 ． 【答案】 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的未知数的最高次数为1，即可求出的值． 【详解】解：是关于的一元一次不等式， ， ， 故答案为：． 巩固训练 1．（23-24七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）若是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集是 ． 【答案】 【知识点】一元一次不等式的定义、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义和解法，掌握基本概念和运算法则是解题的关键．先根据一元一次不等式的定义求出的值是；再把代入不等式，整理得：，然后求解即可． 【详解】解：根据不等式是一元一次不等式可得：， ∴， ∴原不等式化为：， 解得：． 故答案为：． 2．（2023九年级·全国·专题练习）已知（k－3）x|k|－2＋1＞0是关于x的一元一次不等式，则k＝ ． 【答案】-3 【知识点】一元一次不等式的定义 【详解】∵(k-3)x|k|-2+1>0是关于x的一元一次不等式, ∴k-3≠0且|k|-2=1, 解得k=-3. 3．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为 ． 【答案】 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可． 【详解】∵是关于x的一元一次不等式， ∴，， 解得：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键． 4．（23-24七年级下·重庆江津·期末）已知是关于x的一元一次不等式，则 ． 【答案】2 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：，， 解得：， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 5．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为 ． 【答案】 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可． 【详解】∵是关于x的一元一次不等式， ∴，， 解得：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键． 易错题型二　解一元一次不等式（组）去分母漏乘常数项 例题：（24-25八年级上·浙江宁波·期末）解不等式组： 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先分别求出不等式①②的解集，再将不等式①②的解集分别表示在数轴上即可得出答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 将不等式①和②的解集分别表示在数轴上： 由数轴可知，不等式组的解集为， ∴不等式组的解集为：． 巩固训练 1．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）解不等式组：． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 2．（24-25八年级上·湖南常德·期末）解不等式组：，并在数轴上把解集表示出来． 【答案】解集表示在数轴上见详解， 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查解不等式组，掌握不等式的性质，不等式组的取值方法是解题的关键． 根据不等式的性质，分别求出解集，把解集表示在数轴上，再根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”即可求解． 【详解】解：， 解①得，， 解②得，， 如图所示， ∴不等式组的解集为：． 3．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）解不等式组并把解在数轴上表示出来． 【答案】见解析 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，也考查了将不等式的解集表示在数轴上． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 将解集表示在数轴上如图所示： 故原不等式组无解． 4．（23-24七年级下·新疆昌吉·期末）解不等式组：，并在数轴上表示出它的解集． 【答案】，数轴见解析 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的求解，以及用数轴表示解集，熟练掌握解不等式组的方法与步骤是关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到来确定不等式组的解集即可． 【详解】， 由①得，， 解不等式①得，， 由②得， ，                解不等式②得，，                  所以不等式组的解集是．            在数轴上表示出它的解集如图：           易错题型三　根据一元一次不等式的解集求参数 例题：（23-24八年级上·浙江宁波·期中）关于的不等式的解集如图所示，则的值是 ． 【答案】3 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，根据题意得出不等式的解集是解题的关键．先用表示出不等式的解集，再由数轴上不等式的解集得出关于的方程，求出的值即可． 【详解】解：解不等式得，， 由数轴上不等式的解集可知，， ， 解得， 故答案为：3． 巩固训练 1．（23-24八年级下·四川达州·期中）如果不等式的解集是，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】不等式的性质、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 由不等式的性质可知，不等式两边同时除以时，不等式方向改变了，由此可确定的符号，即可求解． 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知如图是关于的不等式的解集，则的值为 ． 【答案】1 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．解不等式得出，结合数轴知，据此可得关于的方程，解之可得答案． 【详解】解：解不等式得：， 由数轴知不等式的解集为， ， 解得：， 故答案为：1． 易错题型四　利用一元一次不等式的整数解求参数的取值范围 例题：（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题主要考查一元一次不等式的含参问题，掌握求一元一次不等式的方法，取值方法是解题的关键． 首先解不等式，然后根据不等式只有3个正整数解即可得到一个关于m的不等式，求得m的范围． 【详解】解： 移项，得： ， 合并同类项，得： ， 系数化为1，得： ， ∵不等式只有3个正整数解， ∴， 故答案为： ． 巩固训练 1．（23-24七年级下·天津南开·期末）关于x的不等式有2个正整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】按照解一元一次不等式的步骤进行计算可得，然后再根据题意可得：，从而进行计算即可解答． 本题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， ∵不等式有2个正整数解， ∴， 解得：， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）关于的不等式的最小整数解为2，则实数的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】求一元一次不等式的整数解、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式求出解集是解题关键．先解出不等式，然后根据最小整数解为2得出关于的不等式组，解之即可求得的取值范围． 【详解】解：解不等式，得：， 不等式有最小整数解2， ， 解得：， 故答案为：． 【压轴题型】03 压轴题型 压轴题型一　利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围 例题：（24-25八年级上·四川成都·期末）如果关于的不等式组有且只有个整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组，解答本题的关键是求出的取值范围． 先分别解出两个不等式的解，根据不等式组有且只有个整数解可以是，，，，，即可得到，解得，可以求得满足条件的整数的值，然后求出它们的和即可． 【详解】解：由，得， 由，得， 关于的不等式组有且只有个整数解， 这个整数解是，，，，， ， 解得：， 满足条件的整数的值为，，， 符合条件的所有整数的和为， 故答案为：． 巩固训练 1．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查解一元一次不等式（组，一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 先解出不等式组中每个不等式的解集，然后根据不等式组恰有3个整数解，即可得到关于的不等式组，然后求解即可． 【详解】解：由，得：， 由，得：， 不等式组恰有3个整数解， 这3个整数解是0，1，2， ， 解得， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）已知关于x的不等式组只有3个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】首先解两个不等式，根据不等式组只有3个整数解，即可得到一个关于的不等式组，从而求得的范围．本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， 不等式组只有三个整数解，则整数解一定是3，4，5． 根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 3．（23-24七年级下·安徽滁州·阶段练习）若实数使关于的不等式组有且只有两个整数解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、由不等式组解集的情况求参数 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解个数可得答案． 【详解】解：， 解①得， 解②得， ∵不等式组有解集， ∴， ∵不等式组有且只有两个整数解， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 4．（23-24七年级下·重庆·期中）若关于的一元一次方程有正整数解，且使关于的不等式组至少有4个整数解，求出满足条件的整数的所有值的积为 ． 【答案】15 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、求一元一次不等式组的整数解 【分析】根据题意得出不等式的解集及一元一次方程的解，然后根据题意可进行求解． 【详解】解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组至少有4个整数解， ∴， 解得， 解关于x的一元一次方程，得， ∵方程有正整数解， ∴， 则， ∴， 其中能使为正整数的a值有1，3，5共3个， 满足条件的整数的所有值的积为 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式组及一元一次方程的解法，熟练掌握各个运算是解题的关键． 压轴题型二　根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围 例题：（23-24七年级下·全国·期中）若不等式组，的解集为，则m应满足的条件是 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题主要考查了不等式组的解集，先用含有m的式子表示不等式组的解集，再结合不等式组的解集得出答案． 【详解】解不等式组，得． ∵不等式组的解集是， ∴． 故答案为：． 巩固训练 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）关于x的一元一次不等式组有解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、求不等式组的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及由不等式解的情况求参数， 分别解不等式①②，根据不等式组有解，得出，解不等式即可求解． 【详解】解： 解①式得：， 解②式得：， ∵x的一元一次不等式组有解， ∴， 解得：， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）已知不等式组无解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了解一元一次不等式组．熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键． 解得，解得，由不等式组无解，可得，计算求解即可． 【详解】解：， ， 解得，， ， 解得，， ∵不等式组无解， ∴， 解得，， 故答案为：． 压轴题型三　整式方程(组)与一元一次不等式结合求参数的问题 例题：（2024·山东东营·二模）若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】不等式组和方程组结合的问题 【分析】根据、是二元一次方程组的解可知的解，最后解一元一次不等式即可． 【详解】解：∵、是二元一次方程组的解， ∴， ∵关于、的二元一次方程组的解满足， ∴， ∴解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查了二元一次方程，一元一次不等式，掌握二元一次方程组及一元一次不等式的相关概念是解题的关键． 巩固训练 1．（23-24七年级下·全国·期中）关于的方程的解为非负数，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了解一元一次方程、解一元一次不等式及非负数的意义，根据题意得出不等式及熟练应用以上知识点是解题的关键． 解方程得出 ，由解是非负数列出不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解： 解得 关于的方程的解为非负数， 解得． 故答案为： 2．（23-24八年级上·陕西西安·期末）若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式，解答此题的关键是把当作已知数表示出的值，再得到关于的不等式．首先解关于和的方程组，利用表示出，代入即可得到关于的不等式，求得的范围． 【详解】解：， ①+②得， 则，而， 根据题意得， 解得． 故答案是：． 3．（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）若关于x的方程的解是非正数，则m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，先解方程得到，再根据方程的解为非正数得到，解不等式即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于x的方程的解是非正数， ∴， ∴， 故答案为：． 压轴题型四　整式方程(组)与一元一次不等式组结合求参数的问题 例题：（24-25八年级上·重庆巴南·阶段练习）若方程组中未知数x、y满足，关于x的不等式组有且只有3个整数解，则所有满足条件的整数a的和为 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、求一元一次不等式组的整数解、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解，解二元一次方程组等知识点，能求出a的整数解是解此题的关键． 先根据方程组得出，然后求出不等式组的解集，根据不等式组有且只有3个整数解确定，得到整数a为，，求和即可． 【详解】解：关于x，y的方程组 得 ∵， ∴， ∴， 关于x的不等式组， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， ∵关于x的不等式组有且只有3个整数解， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴整数a为，，其和为， 故答案为：． 巩固训练 1．（24-25八年级上·重庆·期中）若使得关于的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数之和是 ． 【答案】 【知识点】不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先求出不等式组两个不等式的解集，再根据不等式组至少有两个整数解得到；再利用加减消元法得到，则，据此求出即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组至少2个整数解， ∴， ∴； 得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴满足条件的整数m有3、4、5、6、7， ∴满足条件的整数之和是， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）若关于的不等式组有且仅有4个整数解，且关于、的方程组的解为整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和解二元一次方程组，先求出一元一次不等式组的解集，再根据不等式组有且仅有4个整数解，得出，进而求得a的取值范围，再根据加减消元法用a表示出y的值，根据方程组的解为整数，即可得出满足条件的整数的值，进而即可求出答案． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 关于的不等式组有且仅有4个整数解， ， 解得， ， 得，， ∵方程组有解，且a为整数， ∴或， ， 关于、的方程组的解为整数， 当时，，， 当时，，， 所有满足条件的整数的值之和为， 故答案为：． 压轴题型五　一元一次不等式（组）中的新定义型问题 例题：（23-24七年级下·江西宜春·期末）对于实数x，y定义一种新运算“”：（其中m，n均为非零常数），这里等式的右边是通常的四则运算．例如：．已知，． (1)求m，n的值． (2)若关于a的不等式组恰好有2个整数解，求实数b的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、构造二元一次方程组求解、新定义下的实数运算 【分析】考查了解二元一次方程组以及解一元一次不等式组，理解题中的新定义，并熟练掌握一元一次不等式组的解法是解本题的关键． （1）根据题意列出方程组求解即可； （2）利用题中的新定义化简已知不等式组，求出解集，根据关于a的不等式组恰好有2个整数解，确定b的范围即可． 【详解】（1）根据题意得： ， 解得； （2）根据题意得： 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰好有2个整数解，即，1， ∴， 解得 即实数P的取值范围是． 巩固训练 1．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）定义运算：．已知，． (1)直接写出：________，________； (2)若关于x的不等式组无解，求t的取值范围； (3)若的解集为，求不等式：的解集． 【答案】(1)； (2) (3) 【知识点】求不等式组的解集、构造二元一次方程组求解 【分析】本题考查二元一次方程组的解法、一元一次不等式的解法和一元一次不等式组的解法． （1）根据定义的新运算，列出二元一次方程组，解方程组可求出，的值； （2）根据（1）求出的，的值和新运算列出一元一次不等式组，解不等式组并根据不等式组解集的情况可求出的取值范围； （3）根据（1）求出的，的值和新运算列出一元一次不等式，根据解集为可得出与的数量关系；再根据，的值和新运算列出一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 故答案为：；； （2）把，代入得， ∴不等式组可转化为， 解得：， ∵关于的不等式组无解， ∴， 解得：， ∴的取值范围是； （3）不等式转化为， 整理，得：， ∵的解集为， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴， 解得：， 不等式转化为， 整理，得：， ∴， ∴， ∴， ∴不等式的解集为． 2．（24-25七年级上·吉林·期中）【定义】若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：的解为的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 【问题解决】（1）在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是______（填序号）； （2）若关于的方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围； （3）若方程是关于的不等式组的“子方程”，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①②；（2）；（3） 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、求不等式组的解集、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】（1）先分别求得各一元一次方程的解和不等式组的解集，再根据题中定义判断即可解答； （2）先求得方程和不等式组的解集，再根据定义得到关于k的不等式组，然后解不等式组即可求解； （3）先解方程，再求出不等式组的解集，然后根据定义求解即可． 【详解】（1）解：解方程得：， 解方程得：， 解方程得：， 解不等式组得：， 所以不等式组 的“子方程”是①②． （2）解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 解方程，得， 由题意，得， ∴， 解得：； （3）解方程，得：， 解不等式组得：， ∴不等式组得解集为， ∴在范围内， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查解一元一次方程和一元一次不等式组，以及一元一次方程的解和一元一次不等式组的解集的关系，理解题中定义，正确得到满足条件的参数对应的不等式（组）是解答的关键． 3．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）阅读理解： 定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”，例如：的解为， 的解集为，在的范围内，所以是 的“子方程”． 问题解决： (1)若关于x的方程是不等式组 的“子方程”，求k的取值范围； (2)若方程 ，都是关于x的不等式组的“子方程”，试求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求不等式组的解集、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】（1）先求出不等式组的解集，然后再解方程求出，最后根据“子方程”的定义列出关于的不等式组，进行计算即可； （2）先求出方程的解和不等式组的解集，根据“子方程”的定义即可解答． 本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“子方程”是解题的关键． 【详解】（1）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：， ， 解得：， 方程是不等式组的“子方程”， ， 解得：； （2）， 解得：， ， 解得：， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：， 方程，都是关于的不等式组的“子方程”， ， 解得： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$