第十一章 不等式与不等式组（单元复习 4大易错+5大压轴）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（人教版2024）

第十一章 不等式与不等式组 01 思维导图 目录 【易错题型】 1 易错题型一　利用一元一次不等式的定义求参数的值 1 易错题型二　解一元一次不等式（组）去分母漏乘常数项 3 易错题型三　根据一元一次不等式的解集求参数 6 易错题型四　利用一元一次不等式的整数解求参数的取值范围 7 【压轴题型】 9 压轴题型一　利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围 9 压轴题型二　根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围 12 压轴题型三　整式方程(组)与一元一次不等式结合求参数的问题 14 压轴题型四　整式方程(组)与一元一次不等式组结合求参数的问题 17 压轴题型五　一元一次不等式（组）中的新定义型问题 21 【易错题型】02 易错题型 易错题型一　利用一元一次不等式的定义求参数的值 例题：（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）已知是关于的一元一次不等式，则 ． 【答案】 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的未知数的最高次数为1，即可求出的值． 【详解】解：是关于的一元一次不等式， ， ， 故答案为：． 巩固训练 1．（23-24七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）若是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集是 ． 【答案】 【知识点】一元一次不等式的定义、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义和解法，掌握基本概念和运算法则是解题的关键．先根据一元一次不等式的定义求出的值是；再把代入不等式，整理得：，然后求解即可． 【详解】解：根据不等式是一元一次不等式可得：， ∴， ∴原不等式化为：， 解得：． 故答案为：． 2．（2023九年级·全国·专题练习）已知（k－3）x|k|－2＋1＞0是关于x的一元一次不等式，则k＝ ． 【答案】-3 【知识点】一元一次不等式的定义 【详解】∵(k-3)x|k|-2+1>0是关于x的一元一次不等式, ∴k-3≠0且|k|-2=1, 解得k=-3. 3．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为 ． 【答案】 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可． 【详解】∵是关于x的一元一次不等式， ∴，， 解得：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键． 4．（23-24七年级下·重庆江津·期末）已知是关于x的一元一次不等式，则 ． 【答案】2 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：，， 解得：， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 5．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为 ． 【答案】 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可． 【详解】∵是关于x的一元一次不等式， ∴，， 解得：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键． 易错题型二　解一元一次不等式（组）去分母漏乘常数项 例题：（24-25八年级上·浙江宁波·期末）解不等式组： 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先分别求出不等式①②的解集，再将不等式①②的解集分别表示在数轴上即可得出答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 将不等式①和②的解集分别表示在数轴上： 由数轴可知，不等式组的解集为， ∴不等式组的解集为：． 巩固训练 1．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）解不等式组：． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 2．（24-25八年级上·湖南常德·期末）解不等式组：，并在数轴上把解集表示出来． 【答案】解集表示在数轴上见详解， 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查解不等式组，掌握不等式的性质，不等式组的取值方法是解题的关键． 根据不等式的性质，分别求出解集，把解集表示在数轴上，再根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”即可求解． 【详解】解：， 解①得，， 解②得，， 如图所示， ∴不等式组的解集为：． 3．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）解不等式组并把解在数轴上表示出来． 【答案】见解析 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，也考查了将不等式的解集表示在数轴上． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 将解集表示在数轴上如图所示： 故原不等式组无解． 4．（23-24七年级下·新疆昌吉·期末）解不等式组：，并在数轴上表示出它的解集． 【答案】，数轴见解析 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的求解，以及用数轴表示解集，熟练掌握解不等式组的方法与步骤是关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到来确定不等式组的解集即可． 【详解】， 由①得，， 解不等式①得，， 由②得， ，                解不等式②得，，                  所以不等式组的解集是．            在数轴上表示出它的解集如图：           易错题型三　根据一元一次不等式的解集求参数 例题：（23-24八年级上·浙江宁波·期中）关于的不等式的解集如图所示，则的值是 ． 【答案】3 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，根据题意得出不等式的解集是解题的关键．先用表示出不等式的解集，再由数轴上不等式的解集得出关于的方程，求出的值即可． 【详解】解：解不等式得，， 由数轴上不等式的解集可知，， ， 解得， 故答案为：3． 巩固训练 1．（23-24八年级下·四川达州·期中）如果不等式的解集是，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】不等式的性质、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 由不等式的性质可知，不等式两边同时除以时，不等式方向改变了，由此可确定的符号，即可求解． 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知如图是关于的不等式的解集，则的值为 ． 【答案】1 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．解不等式得出，结合数轴知，据此可得关于的方程，解之可得答案． 【详解】解：解不等式得：， 由数轴知不等式的解集为， ， 解得：， 故答案为：1． 易错题型四　利用一元一次不等式的整数解求参数的取值范围 例题：（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题主要考查一元一次不等式的含参问题，掌握求一元一次不等式的方法，取值方法是解题的关键． 首先解不等式，然后根据不等式只有3个正整数解即可得到一个关于m的不等式，求得m的范围． 【详解】解： 移项，得： ， 合并同类项，得： ， 系数化为1，得： ， ∵不等式只有3个正整数解， ∴， 故答案为： ． 巩固训练 1．（23-24七年级下·天津南开·期末）关于x的不等式有2个正整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】按照解一元一次不等式的步骤进行计算可得，然后再根据题意可得：，从而进行计算即可解答． 本题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， ∵不等式有2个正整数解， ∴， 解得：， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）关于的不等式的最小整数解为2，则实数的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】求一元一次不等式的整数解、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式求出解集是解题关键．先解出不等式，然后根据最小整数解为2得出关于的不等式组，解之即可求得的取值范围． 【详解】解：解不等式，得：， 不等式有最小整数解2， ， 解得：， 故答案为：． 【压轴题型】03 压轴题型 压轴题型一　利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围 例题：（24-25八年级上·四川成都·期末）如果关于的不等式组有且只有个整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组，解答本题的关键是求出的取值范围． 先分别解出两个不等式的解，根据不等式组有且只有个整数解可以是，，，，，即可得到，解得，可以求得满足条件的整数的值，然后求出它们的和即可． 【详解】解：由，得， 由，得， 关于的不等式组有且只有个整数解， 这个整数解是，，，，， ， 解得：， 满足条件的整数的值为，，， 符合条件的所有整数的和为， 故答案为：． 巩固训练 1．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查解一元一次不等式（组，一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 先解出不等式组中每个不等式的解集，然后根据不等式组恰有3个整数解，即可得到关于的不等式组，然后求解即可． 【详解】解：由，得：， 由，得：， 不等式组恰有3个整数解， 这3个整数解是0，1，2， ， 解得， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）已知关于x的不等式组只有3个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】首先解两个不等式，根据不等式组只有3个整数解，即可得到一个关于的不等式组，从而求得的范围．本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， 不等式组只有三个整数解，则整数解一定是3，4，5． 根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 3．（23-24七年级下·安徽滁州·阶段练习）若实数使关于的不等式组有且只有两个整数解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、由不等式组解集的情况求参数 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解个数可得答案． 【详解】解：， 解①得， 解②得， ∵不等式组有解集， ∴， ∵不等式组有且只有两个整数解， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 4．（23-24七年级下·重庆·期中）若关于的一元一次方程有正整数解，且使关于的不等式组至少有4个整数解，求出满足条件的整数的所有值的积为 ． 【答案】15 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、求一元一次不等式组的整数解 【分析】根据题意得出不等式的解集及一元一次方程的解，然后根据题意可进行求解． 【详解】解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组至少有4个整数解， ∴， 解得， 解关于x的一元一次方程，得， ∵方程有正整数解， ∴， 则， ∴， 其中能使为正整数的a值有1，3，5共3个， 满足条件的整数的所有值的积为 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式组及一元一次方程的解法，熟练掌握各个运算是解题的关键． 压轴题型二　根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围 例题：（23-24七年级下·全国·期中）若不等式组，的解集为，则m应满足的条件是 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题主要考查了不等式组的解集，先用含有m的式子表示不等式组的解集，再结合不等式组的解集得出答案． 【详解】解不等式组，得． ∵不等式组的解集是， ∴． 故答案为：． 巩固训练 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）关于x的一元一次不等式组有解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、求不等式组的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及由不等式解的情况求参数， 分别解不等式①②，根据不等式组有解，得出，解不等式即可求解． 【详解】解： 解①式得：， 解②式得：， ∵x的一元一次不等式组有解， ∴， 解得：， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）已知不等式组无解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了解一元一次不等式组．熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键． 解得，解得，由不等式组无解，可得，计算求解即可． 【详解】解：， ， 解得，， ， 解得，， ∵不等式组无解， ∴， 解得，， 故答案为：． 压轴题型三　整式方程(组)与一元一次不等式结合求参数的问题 例题：（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）若方程组的解x、y满足，则a的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查的是解二元一次方程组及一元一次不等式．先把两式相减求出的值，再代入中得到关于a的不等式，进而求出a的取值范围，即可． 【详解】解：， 由得：， ∵，则， ∴， ∴， 故答案是：． 巩固训练 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于x的方程的解为非负数，则m的范围为 ． 【答案】 【知识点】一元一次方程解的综合应用、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，解题的关键是正确解出一元一次方程、根据题意得到一元一次不等式并正确解出不等式．解出关于x的方程，根据题意列出关于m的一元一次不等式，解不等式得到答案． 【详解】解： ， 关于x的方程的解为非负数， ， ， ， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）关于x的方程解为负数，则实数a的取值范围是 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次方程、一元一次方程的解、解一元一次不等式等知识点，能得出关于a的不等式是解此题的关键． 根据解方程，可得x的值，根据方程的解是负数，可得不等式，根据解不等式，可得答案． 【详解】解：由，解得， 由关于x的方程解为负数，得． 解得， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·全国·期中）关于的方程的解为非负数，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次方程、解一元一次不等式及非负数的意义，根据题意得出不等式及熟练应用以上知识点是解题的关键． 解方程得出 ，由解是非负数列出不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解： 解得 关于的方程的解为非负数， 解得． 故答案为： 4．（24-25八年级上·河南南阳·开学考试）已知关于x、y的二元一次方程组，若，则m的取值范围是 【答案】 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】此题考查了解一元一次不等式，以及解二元一次方程组，解答本题的关键是明确解二元一次方程组的方法和解一元一次不等式的方法． 用方程①减去方程②，得，代入已知不等式求出解集即可确定出m的范围． 【详解】解： ，得：， ， ， ， 解得． 故答案为：． 5．（22-23八年级下·四川雅安·阶段练习）关于的方程的根为正数，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，先解方程得到，再根据方程的解为正数得到，解不等式即可得到答案． 【详解】解：解方程得， ∵关于的方程的根为正数， ∴， ∴， 故答案为：． 压轴题型四　整式方程(组)与一元一次不等式组结合求参数的问题 例题：（23-24七年级下·重庆酉阳·期末）关于，的二元一次方程组的解满足，且关于的不等式组有解，则符合条件的整数之和为 ． 【答案】5 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查解二元一次方程组的解，解一元一次不等式，解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解方程组和不等式的方法． 根据关于、的方程组的解满足，且关于的不等式组有解，可以求得的取值范围，从而可以求得符合条件的整数的值的和，本题得以解决． 【详解】解：， ①+②得， ， 关于、的方程组的解满足， ，得， 解不等式组， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组有解， ，得，由上可得，， 符合条件的整数的值的和为：． 故答案为：5． 巩固训练 1．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）若关于，的方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】二元一次方程组的特殊解法、求不等式组的解集 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解一元一次不等式组，熟练掌握二元一次方程组和不等式的解法是解题关键． 将方程组内两个方程相加得，整理得，再代入不等式组求解，即可得到的取值范围． 【详解】解：， 得：， ， ， ， 解得：， 的取值范围是， 故答案为：． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的方程组，为负数，为非正数．若为整数，则当 时，不等式的解集为． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式，解二元一次方程组，先解方程组可得，再由为负数，为非正数，求得，再由不等式的解集为得到，最后取整数即可． 【详解】解：解方程组， 得， 因为为负数，为非正数， 所以， 解得， 因为， 所以． 要使不等式的解集为， 必须， 解得． 又因为3，且为整数， 所以． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·重庆·期中）已知关于x、y的方程组的解满足，且关于x的不等式组无解，那么所有符合条件的整数a的和为 ． 【答案】7 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题主要考查解二元一次方程组和解一元一次不等式组，解关于x，y的方程组，结合，可求得的取值范围，解关于x的不等式组，根据不等式组无解，可再次可求得的另一取值范围，求解即可得到答案； 【详解】解关于x，y的方程组，得 ， 则， 即 解得， 解关于x的不等式组 由不等式①，得 ， 由不等式②，得， ， 因为关于x的不等式组无解，可得 ， 解得， 综上所述可知 ， ∴所有符合条件的整数a为，，0，1，2，3，4，这些整数的和为，， 故答案为：7． 4．（24-25八年级上·重庆铜梁·期中）若关于x的不等式组的解集为，且关于m，n方程组的解满足，则所有满足条件的整数a的值之积为 ． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查根据一元一次不等式组和二元方程组的解的情况求参数，先求出不等式组的解集，根据解集的情况求出的范围，再将两个方程相加，求出的范围，进而确定整数的值，相乘即可． 【详解】解：由，得：， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴， ∵ ∴，得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴整数， ∴； 故答案为：360． 压轴题型五　一元一次不等式（组）中的新定义型问题 例题：（22-23七年级下·江苏南通·期中）定义：在平面直角坐标系中，点和点坐标满足，则称点P、Q互为“友好点”． (1)若点A为，则它的“友好点”Aʹ坐标为______； (2)已知点B为，它的“友好点”，求点B、的坐标； (3)已知点与点互为“友好点”，且，则满足条件的整数n的值． 【答案】(1) (2)， (3)，， 【知识点】加减消元法、求一元一次不等式组的整数解、坐标与图形 【分析】此题主要考查了点的坐标，解二元一次方程组，解一元一次不等式组，理解题意，根据“友好点”的定义列出方程组或一元一次不等式组，熟练掌握解二元一次方程组和一元一次不等式组的方法与技巧是解决问题的关键． （1）设坐标为，根据“友好点”的定义得，由此解出，即可得点的坐标； （2）根据“友好点”的定义得，由此解出，即可得出点、的坐标； （3）根据“友好点”的定义得，由此得，再根据得，求出该不等式的整数解即可． 【详解】（1）解：设坐标为， 根据“友好点”的定义得：，解得：， 的坐标为． 故答案为：． （2）解：点的“友好点” ， ，解得：， 点，点； （3）解：根据“友好点”的定义得：， ， ， ， 解得：， 整数为，，． 巩固训练 1．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）（原创）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“船山方程”．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程是不等式组的船山方程． (1)问方程是不是不等式组的船山方程？请说明理由； (2)若关于的方程是不等式组的船山方程，求的取值范围； (3)若方程和都是关于的不等式组的船山方程，求的取值范围． 【答案】(1)不是，理由见解析； (2)； (3)； 【知识点】一元一次方程解的综合应用、由不等式组解集的情况求参数、求不等式组的解集 【分析】此题考查了一元一次不等式组和一元一次方程的解法，掌握船山方程的定义和分类讨论的思想是解题的关键． （1）求出方程的解和不等式组的解集，根据船山方程的定义进行判断即可； （2）解方程，得，解不等式组得到，根据方程是不等式组的船山方程，得到，解不等式组即可得到答案； （3）求出两个方程的解后，根据k的取值范围分情况讨论即可． 【详解】（1）解： ， 解得， 方程的解为， 由，得， 由，得， 不等式组的解集为， ， 不是不等式组的解， 方程不是不等式组的船山方程． （2）解：， 解得， 由得，， 解得， 由得，， 解得， 不等式组的解集为， 方程是不等式组的船山方程， ， 由得，， 由得，， ． （3）解：， 解得， ， 解得， 由得，， 当，即，， 当，即，， 由得，， 分两种情况： ① 当时，不等式组的解集为：； ② 当时，不等式组的解集为：； 方程和都是关于的不等式组的船山方程， ，都是不等式组的解， 当时，不等式组解集为：，不符合题意， 当时，不等式组得解集为，符合题意， 要使得，都是不等式组的解， ，且， ． 即的取值范围为． 2．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下，例如，．． (1)比较与的大小，并说明理由． (2)若，求x的取值范围． (3)若不等式组的解集为，求m的取值范围． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【知识点】新定义下的实数运算、由不等式组解集的情况求参数、有理数四则混合运算、求一元一次不等式的解集 【分析】（1）先根据关于的一种运算的法则计算，，由此可比较与的大小； （2）先计算，然后将不等式可转化为，解此不等式可得的取值范围； （3）先计算，因此可将不等式可转化为，由此可解得，然后根据不等式组，的解集为，得，解此不等式即可求出的取值范围． 【详解】（1）解： ，理由如下： ， ，， ； （2）解：， 不等式可转化为：， ； （3）解：， 不等式可转化为：， ， 不等式组组的解集为， ， ． 【点睛】此题主要考查了新定义，有理数的运算，解一元一次不等式和一元一次不等式组，一元一次不等式组的解集，理解题目中给出的新定义运算的法则，及一元一次不等式组的解集，熟练掌握有理数的运算，解一元一次不等式和一元一次不等式组是解决问题的关键． 3．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的【相伴方程】． (1)在方程①，②，③中，不等式组的【相伴方程】是______；（填序号） (2)若不等式组的一个【相伴方程】的解是整数，则这个【相伴方程】是，求a的值； (3)若方程，都是关于x的不等式组的【相伴方程】，求m的取值范围． 【答案】(1)①③ (2) (3) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了不等式组和一元一次方程相结合的问题： （1）分别求出三个一元一次方程的解和一元一次不等式组的解集即可得到答案； （2）先求出不等式组的解集，然后确定出不等式组的整数解，进而把所求的整数解代入一元一次方程中求出a的值即可； （3）先求出两个相伴方程的解，然后求出不等式组的解，然后根据相伴方程的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴方程①的解为； ∵， ∴， ∴方程②的解为； ∵， ∴， ∴方程③的解为； 解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， ∴方程①③的解是不等式组的解， ∴不等式组的【相伴方程】是①③； 故答案为：①③； （2）解：不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为， ∴是方程的解， ∴， ∴； （3）解：解方程得， 解方程得； 解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， ∵方程，都是关于x的不等式组的【相伴方程】， ∴， ∴． 4．（23-24七年级下·河南鹤壁·期中）阅读材料：定义：若关于的一元一次方程的解及解的二倍都在一元一次不等式组的解集范围内，则称这个方程为该不等式组的“完全子方程”．例如：方程的解为，则；不等式组的解集是，可以发现方程的解及都在不等式组的解集的范围内，则称方程是不等式组的“完全子方程”． 请根据以上材料回答下面问题： (1)在方程①；②中，是不等式组的“完全子方程”的是______；（填序号） (2)若方程是不等式组的“完全子方程”，求的取值范围． 【答案】(1)① (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求不等式组的解集 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，一元一次不等式组的解法，掌握新定义的含义是解本题的关键； （1）先解两个方程得到方程的解，再解不等式组，得到不等式组的解，再根据新定义的含义判定即可； （2）先解不等式组得到解集为，再由方程可得，，再结合新定义的含义建立不等式组，即可得到答案． 【详解】（1）解：解方程①得： ∴， ∴， 解方程②得： ∴，而， ∵， 解不等式得： ∴， 解不等式得： ∴， 解得： ∴， ∵，都在范围内，不在范围内， 不等式组的“完全子方程”是①． 故答案为：①． （2）∵， 解不等式，得． 解不等式，得． 不等式组的解集是． 解方程，得． 方程是不等式组的“完全子方程”， ，即， 解得； 且，即， 解得． 综上所述，的取值范围是． 5．（23-24七年级上·四川南充·期中）阅读材料： 材料一：定义表示不大于x的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，对有序实数对 若满足，则称该有序数对为“望一”数对； 若满足，则称该有序数对为“望音”数对． (1)计算： ． (2)下列数对是“望一”数对的有 ，是“望音”数对的有 ．（填序号） ①；②；③；④；⑤ (3)若有序数对是“望音”数对，求整数x的值． (4)计算的值，请直接写出答案． 【答案】(1)1 (2)③④，①⑤ (3)0、1、2 (4) 【知识点】新定义下的实数运算、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了新定义运算，无理数大小的估算，求不等式组的解集，解题的关键是理解题意，熟练掌握相关的定义． （1）根据题干中给出的信息进行计算即可； （2）根据“望一”数对和“望音”数对的定义进行求解即可； （3）根据“望音”数对定义列出方程，解方程即可； （4）根据题干中的信息找出规律，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：①∵， ∴是“望音”数对； ②∵， ∴既不是“望一”数对，也不是“望音”数对； ③∵， ∴是“望一”数对； ④， ∴是“望一”数对； ⑤∵ ∴是“望音”数对； 综上分析可知：“望一”数对的有③④，是“望音”数对的有①⑤． （3）解：∵有序数对是“望音”数对， ∴， ∴， 即， ∴， 解得：， ∴整数x的值为0、1、2． （4）解： 解：，，， ，，，，， ，，，，，，， …… ，， ， ， ∴中有3个1，5个2，7个3，……87个，89个44， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十一章 不等式与不等式组 01 思维导图 目录 【易错题型】 1 易错题型一　利用一元一次不等式的定义求参数的值 1 易错题型二　解一元一次不等式（组）去分母漏乘常数项 3 易错题型三　根据一元一次不等式的解集求参数 6 易错题型四　利用一元一次不等式的整数解求参数的取值范围 7 【压轴题型】 9 压轴题型一　利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围 9 压轴题型二　根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围 12 压轴题型三　整式方程(组)与一元一次不等式结合求参数的问题 14 压轴题型四　整式方程(组)与一元一次不等式组结合求参数的问题 17 压轴题型五　一元一次不等式（组）中的新定义型问题 21 【易错题型】02 易错题型 易错题型一　利用一元一次不等式的定义求参数的值 例题：（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）已知是关于的一元一次不等式，则 ． 巩固训练 1．（23-24七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）若是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集是 ． 2．（2023九年级·全国·专题练习）已知（k－3）x|k|－2＋1＞0是关于x的一元一次不等式，则k＝ ． 3．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为 ． 4．（23-24七年级下·重庆江津·期末）已知是关于x的一元一次不等式，则 ． 5．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为 ． 易错题型二　解一元一次不等式（组）去分母漏乘常数项 例题：（24-25八年级上·浙江宁波·期末）解不等式组： 巩固训练 1．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）解不等式组：． 2．（24-25八年级上·湖南常德·期末）解不等式组：，并在数轴上把解集表示出来． 3．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）解不等式组并把解在数轴上表示出来． 4．（23-24七年级下·新疆昌吉·期末）解不等式组：，并在数轴上表示出它的解集． 易错题型三　根据一元一次不等式的解集求参数 例题：（23-24八年级上·浙江宁波·期中）关于的不等式的解集如图所示，则的值是 ． 巩固训练 1．（23-24八年级下·四川达州·期中）如果不等式的解集是，那么a的取值范围是 ． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知如图是关于的不等式的解集，则的值为 ． 易错题型四　利用一元一次不等式的整数解求参数的取值范围 例题：（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是 ． 巩固训练 1．（23-24七年级下·天津南开·期末）关于x的不等式有2个正整数解，则a的取值范围是 ． 2．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）关于的不等式的最小整数解为2，则实数的取值范围是 ． 【压轴题型】03 压轴题型 压轴题型一　利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围 例题：（24-25八年级上·四川成都·期末）如果关于的不等式组有且只有个整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 巩固训练 1．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 ． 2．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）已知关于x的不等式组只有3个整数解，则a的取值范围是 ． 3．（23-24七年级下·安徽滁州·阶段练习）若实数使关于的不等式组有且只有两个整数解，则实数的取值范围是 ． 4．（23-24七年级下·重庆·期中）若关于的一元一次方程有正整数解，且使关于的不等式组至少有4个整数解，求出满足条件的整数的所有值的积为 ． 压轴题型二　根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围 例题：（23-24七年级下·全国·期中）若不等式组，的解集为，则m应满足的条件是 ． 巩固训练 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）关于x的一元一次不等式组有解，则a的取值范围是 ． 2．（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）已知不等式组无解，则a的取值范围是 ． 压轴题型三　整式方程(组)与一元一次不等式结合求参数的问题 例题：（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）若方程组的解x、y满足，则a的取值范围为 ． 巩固训练 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于x的方程的解为非负数，则m的范围为 ． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）关于x的方程解为负数，则实数a的取值范围是 3．（23-24七年级下·全国·期中）关于的方程的解为非负数，则的取值范围是 ． 4．（24-25八年级上·河南南阳·开学考试）已知关于x、y的二元一次方程组，若，则m的取值范围是 5．（22-23八年级下·四川雅安·阶段练习）关于的方程的根为正数，则的取值范围是 ． 压轴题型四　整式方程(组)与一元一次不等式组结合求参数的问题 例题：（23-24七年级下·重庆酉阳·期末）关于，的二元一次方程组的解满足，且关于的不等式组有解，则符合条件的整数之和为 ． 巩固训练 1．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）若关于，的方程组的解满足，则的取值范围是 ． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的方程组，为负数，为非正数．若为整数，则当 时，不等式的解集为． 3．（24-25八年级上·重庆·期中）已知关于x、y的方程组的解满足，且关于x的不等式组无解，那么所有符合条件的整数a的和为 ． 4．（24-25八年级上·重庆铜梁·期中）若关于x的不等式组的解集为，且关于m，n方程组的解满足，则所有满足条件的整数a的值之积为 ． 压轴题型五　一元一次不等式（组）中的新定义型问题 例题：（22-23七年级下·江苏南通·期中）定义：在平面直角坐标系中，点和点坐标满足，则称点P、Q互为“友好点”． (1)若点A为，则它的“友好点”Aʹ坐标为______； (2)已知点B为，它的“友好点”，求点B、的坐标； (3)已知点与点互为“友好点”，且，则满足条件的整数n的值． 巩固训练 1．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）（原创）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“船山方程”．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程是不等式组的船山方程． (1)问方程是不是不等式组的船山方程？请说明理由； (2)若关于的方程是不等式组的船山方程，求的取值范围； (3)若方程和都是关于的不等式组的船山方程，求的取值范围． 2．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下，例如，．． (1)比较与的大小，并说明理由． (2)若，求x的取值范围． (3)若不等式组的解集为，求m的取值范围． 3．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的【相伴方程】． (1)在方程①，②，③中，不等式组的【相伴方程】是______；（填序号） (2)若不等式组的一个【相伴方程】的解是整数，则这个【相伴方程】是，求a的值； (3)若方程，都是关于x的不等式组的【相伴方程】，求m的取值范围． 4．（23-24七年级下·河南鹤壁·期中）阅读材料：定义：若关于的一元一次方程的解及解的二倍都在一元一次不等式组的解集范围内，则称这个方程为该不等式组的“完全子方程”．例如：方程的解为，则；不等式组的解集是，可以发现方程的解及都在不等式组的解集的范围内，则称方程是不等式组的“完全子方程”． 请根据以上材料回答下面问题： (1)在方程①；②中，是不等式组的“完全子方程”的是______；（填序号） (2)若方程是不等式组的“完全子方程”，求的取值范围． 5．（23-24七年级上·四川南充·期中）阅读材料： 材料一：定义表示不大于x的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，对有序实数对 若满足，则称该有序数对为“望一”数对； 若满足，则称该有序数对为“望音”数对． (1)计算： ． (2)下列数对是“望一”数对的有 ，是“望音”数对的有 ．（填序号） ①；②；③；④；⑤ (3)若有序数对是“望音”数对，求整数x的值． (4)计算的值，请直接写出答案． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$