2.2.2 空间向量的数量积-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （湘教版2019）

第2课时　空间向量的数量积 [学习目标]　1.了解空间向量的夹角.2.掌握空间向量数量积的定义、性质、运算律及计算方法.3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.4.能够运用数量积解决空间中的夹角、距离及垂直问题． 导语 如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W＝F·s＝|F||s|cos α，为了在数学中体现“功”这样一个标量，我们引入了“数量积”的概念． 由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义． 一、空间向量的数量积 问题1　类比平面向量的夹角的概念，空间向量的夹角是怎样定义的？ 提示　由于空间任意两个向量a，b都可以平移到同一个平面内，类比平面向量夹角的定义，我们把平移后两向量的夹角称为空间向量a，b的夹角． 问题2　类比平面向量数量积的定义，你能给出空间两向量数量积的定义吗？ 提示　a·b＝|a||b|cos〈a，b〉为a与b的数量积． 知识梳理 1．空间向量的夹角 (1)定义： 如图，由于空间任意两个向量a，b都可以平移到同一个平面OAB内，借助平面向量夹角的定义，我们任选一点O，作＝a，＝b，则∠AOB称为向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． (2)取值范围：[0，π]． ①当〈a，b〉＝时，向量a与b垂直，记作a⊥b. ②当〈a，b〉＝0或π时，向量a与b平行，记作a∥b. 2．空间向量的数量积 (1)定义a·b＝|a||b|cos〈a，b〉为a与b的数量积． 特别地，a·a＝|a|2，|a|＝，a·b＝0⇔a⊥b. (2)对于两个非零向量a，b，由a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉得cos〈a，b〉＝. (3)空间向量的数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 注意点： (1)两个向量的数量积是数量，而不是向量． (2)零向量与任意向量的数量积为0，即0·a＝0. 例1　如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算： (1)·；(2)·；(3)·；(4)·. 解　(1)· ＝· ＝||·||·cos〈，〉 ＝×1×1×cos 60°＝， 所以·＝. (2)·＝·＝||·||·cos〈，〉＝×1×1×cos 0°＝， 所以·＝. (3)·＝·＝||·||·cos〈，〉＝×1×1×cos 120°＝－， 所以·＝－. (4)·＝(＋)·(＋) ＝[·(－)＋·(－)＋·＋·] ＝[－·－·＋(－)·＋·] ＝×＝－. 所以·＝－. 反思感悟　由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判断夹角的大小，才能使a·b计算准确． 跟踪训练1　(1)如图，空间四面体ABCD的每条棱都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，则·等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　∵＝，∴·＝·＝×1×1×cos 60°＝. (2)若a，b，c为空间中两两夹角为的单位向量，＝2a－2b，＝b－c，则·＝________. 答案　－1 解析　由题意得，a·b＝b·c＝c·a＝12×cos ＝， 则·＝2(a－b)·(b－c)＝2(a·b－a·c－b2＋b·c)＝2×＝－1. 二、投影向量与投影 知识梳理 1．投影向量与投影 如图，将空间任意两个向量a，b平移到同一个平面内，可得＝a，＝b，〈a，b〉＝α.过点B作BB1⊥OA，垂足为点B1，则为在方向上的投影向量，投影向量的模|1|＝|||cos α|称为投影长． 取方向上的单位向量e来度量投影向量1，类比平面向量，可得1＝(||cos α)e，我们称||cos α为在方向上的投影． 2．数量积的几何意义：a与b的数量积等于a的模|a|与b在a方向上的投影|b|cos α的乘积，也等于b的模|b|与a在b方向上的投影|a|cos α的乘积． 注意点： (1)投影可正、可负、也可为零，这是由两非零向量的夹角决定的． (2)投影不一定是投影向量的模．当两向量的夹角小于或等于90°时，投影才是投影向量的模． 例2　(1)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，BC⊥PB，PA＝2，PB＝2.若方向上的单位向量为e，则在向量方向上的投影向量为________． 答案　－2e 解析　∵平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC＝PB，BC⊂平面PBC，BC⊥PB， ∴BC⊥平面PAB， 又AB⊂平面PAB，∴CB⊥AB， 又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB， 故在方向上的投影向量为＝－2e. (2)已知向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝6，则2a－b在a方向上的投影为________． 答案　1 解析　∵a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝6， ∴(2a－b)·a＝2|a|2－a·b＝2×22－2×6×＝2， ∴2a－b在a方向上的投影为＝＝1. 反思感悟　(1)求投影向量时首先确定向量a的模与b同向的单位向量e及两向量a与b的夹角θ，然后依据公式|a|cos θ·e计算． (2)a在b方向上的投影为|a|cos〈a，b〉＝. 跟踪训练2　(1)已知|a|＝3，|b|＝5，a·b＝－12且e是与b方向相同的单位向量，则a在b方向上的投影向量为________． 答案　－e 解析　由于cos〈a，b〉＝＝－＝－， 所以a在b方向上的投影向量为|a|cos〈a，b〉·e＝3×·e＝－e. (2)已知|b|＝3，a在b方向上的投影为，则a·b＝________. 答案　 解析　∵a在b方向上的投影为， ∴|a|cos〈a，b〉＝， ∴a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝3×＝. 三、空间向量数量积的性质及应用 知识梳理 设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. (3)当a，b同向时，a·b＝； 当a，b反向时，a·b＝－. (4)a·a＝|a|2或|a|＝. (5)|a·b|≤. (6)cos θ＝. 以上性质说明，可以从向量角度有效地分析有关垂直、长度、角度等问题． 例3　(1)如图，已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为1的正方形，侧棱AA1的长为2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°，求： ①AC1的长； ②直线BD1与AC所成角的余弦值． 解　①||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·， 由已知得||2＝4，||2＝||2＝1，〈，〉＝〈，〉＝120°，〈，〉＝90°， ∴·＝2×1×cos 120°＝－1， 同理·＝－1，·＝0， ∴||2＝2， ∴AC1的长为. ②∵＝＋－，＝＋， ∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·－2·－2·＝1＋4＋1＋2×(－1)－0－2×(－1)＝6， ||2＝||2＋2·＋||2＝2， ∴||＝，||＝. ∵·＝(＋－)·(＋)＝ ·＋·＋·＋2－2－·＝－1－1＋0＋1－1－0＝－2， ∴cos〈·〉＝＝＝－. ∴直线BD1与AC所成角的余弦值为. (2)已知在空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC. 证明　如图所示，连接ON，设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ， 又设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|. 又＝(＋) ＝ ＝(a＋b＋c)，＝－＝c－b. ∴·＝(a＋b＋c)·(c－b) ＝(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c) ＝(|a|2·cos θ－|a|2·cos θ－|a|2＋|a|2) ＝0. ∴⊥，即OG⊥BC. 反思感悟　(1)用数量积求两点间距离的步骤 ①将两点间的连线用向量表示． ②用其他向量表示此向量． ③用公式a·a＝|a|2，求|a|. (2)用向量法求夹角、证明垂直关系的步骤 利用数量积的定义可得cos〈a，b〉＝，求出〈a，b〉的大小，进而求得线线角，两直线垂直可作为求夹角的特殊情况． 跟踪训练3　如图，已知一个60°的二面角的棱上有两点A，B，AC，BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段．又知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长． 解　∵CA⊥AB，BD⊥AB， ∴〈，〉＝120°. ∵＝＋＋，且·＝0，·＝0， ∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2· ＝||2＋||2＋||2＋2||||·cos〈，〉 ＝62＋42＋82＋2×6×8×＝68， ∴||＝2，故CD的长为2. 1．知识清单： (1)空间向量的夹角、投影向量、投影． (2)空间向量的数量积、性质及运算律． 2．方法归纳：转化化归． 3．常见误区： (1)数量积的符号由夹角的余弦值决定． (2)当a≠0时，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0. 1．在正四面体A－BCD中，点E，F分别是AC，AD的中点，则与的夹角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 答案　C 解析　由题意，可得＝， 所以〈，〉＝〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－60°＝120°. 2．已知空间向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(a－2b)·a等于(　　) A．12 B．8 C．4 D．14 答案　D 解析　(a－2b)·a＝a2－2b·a＝|a|2－2|a|·|b|cos 120°＝4－2×2×5×＝14. 3．已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝，则cos〈a，b〉＝________. 答案　 解析　因为|a－b|＝，所以(a－b)2＝7， 所以a·b＝， 又a·b＝|a||b|cos〈a，b〉， 所以cos〈a，b〉＝. 4.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则与的夹角为________，·＝________. 答案　60°　1 解析　方法一　连接A1D(图略)， 则∠PA1D就是与的夹角，连接PD(图略)， 在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝， 即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°， 即与的夹角为60°， 因此·＝××cos 60°＝1. 方法二　根据向量的线性运算可得 ·＝(＋)·＝2＝1. 由题意可得PA1＝B1C＝， 则××cos〈，〉＝1， 从而〈，〉＝60°. 1．(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是(　　) A.与 B.与 C.与 D.与 答案　AD 2．已知四面体ABCD的所有棱长都是2，点E是AD的中点，则·等于(　　) A．1 B．－1 C. D．－ 答案　A 解析　由题意可知，＝＋， ∴·＝·(＋)＝·＋·＝2×2×cos 60°＋2×1×cos 120°＝1. 3．已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则两直线的夹角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 答案　B 解析　设向量a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝－，所以θ＝120°，则两个方向向量对应的直线的夹角为180°－120°＝60°. 4．(多选)设a，b为空间中的任意两个非零向量，则下列各式中正确的是(　　) A．a2＝|a|2 B.＝ C．(a·b)2＝a2·b2 D．(a－b)2＝a2－2a·b＋b2 答案　AD 解析　A正确，a2＝|a|2cos 0°＝|a|2；B错误，向量不能做比值；C错误，(a·b)2＝(|a||b|cos θ)2＝|a|2·|b|2·cos2θ≤a2·b2；D正确，(a－b)2＝a2－2a·b＋b2. 5．在底面是正方形的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝2，∠A1AD＝∠A1AB＝，则||等于(　　) A．2 B．2 C．3 D. 答案　D 解析　由题意知||2＝2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋4＋2×1×1×cos ＋2×2×1×cos ＋2×2×1×cos ＝10，则||＝. 6．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝，且a与2b－a互相垂直，则〈a，b〉等于(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 答案　B 解析　由a与2b－a互相垂直， 得a·(2b－a)＝0， 即2a·b＝|a|2＝4，解得a·b＝2， ∴cos〈a，b〉＝＝＝， 又0°≤〈a，b〉≤180°， ∴〈a，b〉＝45°. 7．已知向量a，b，|a|＝6，|b|＝8，〈a，b〉＝120°，则a在b方向上的投影向量为________，b在a方向上的投影向量为________． 答案　－b　－a 解析　与向量a，b同方向的单位向量分别为，. 根据投影向量的定义，得a在b方向上的投影向量为|a|cos〈a，b〉＝＝－b，b在a方向上的投影向量为|b|cos〈a，b〉·＝＝－a. 8．已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝________. 答案　60° 解析　由条件知(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0， (a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0，两式相减得46a·b＝23|b|2，所以a·b＝|b|2，代入上面两个式子中的任意一个， 得|a|＝|b|， 所以cos〈a，b〉＝＝＝， 所以〈a，b〉＝60°. 9.如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点．求下列向量的数量积： (1)·；(2)·；(3)·；(4)·. 解　(1)在空间四边形ABCD中，＝＝a，且〈，〉＝60°， ∴·＝a2cos 60°＝a2. (2)＝a，＝a，〈，〉＝60°， ∴·＝a2cos 60°＝a2. (3)＝a，||＝a， 又∥，〈，〉＝π， ∴·＝a2cos π＝－a2. (4)∵＝a，＝a，∥， ∴〈，〉＝〈，〉＝60°. ∴·＝a2cos 60°＝a2. 10.如图所示，在空间四面体OABC中，OA，OB，OC两两成60°角，且OA＝OB＝OC＝2，E为OA的中点，F为BC的中点，试求E，F间的距离． 解　由题意得2＝2＝2＝4，·＝||||cos〈，〉 ＝2×2×cos 60°＝2， 同理可得·＝·＝2， 因为＝＋＝＋(＋)＝＋[(－)＋(－)]＝－＋＋， 所以2＝2＋2＋2＋2××·＋2××·＋2××·＝2. 所以||＝，即E，F间的距离为. 11．已知向量a，b，c两两之间的夹角都为60°，其模都为1，则|a－b＋2c|等于(　　) A. B．5 C．6 D. 答案　A 解析　(a－b＋2c)2＝a2＋b2＋4c2－2a·b＋4a·c－4b·c＝1＋1＋4－2cos 60°＝5，∴|a－b＋2c|＝. 12.在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，AB＝1，PD＝2，则异面直线PA与BD所成角的余弦值为(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　D 解析　由题意知，DA⊥DC，＝－，＝＋， 故·＝(－)·(＋)＝2＋·－·－·＝1， ＝＝， ＝＝， cos〈，〉＝＝＝， 所以异面直线PA与BD所成角的余弦值为. 13．在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，则·(＋＋)＝________. 答案　 解析　∵OA，OB，OC两两垂直， ∴·＝·＝·＝0， 且＝， 故·(＋＋) ＝(＋＋)2＝(||2＋||2＋||2)＝×(1＋4＋9)＝. 14．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则·的取值范围是________． 答案　[0,1] 解析　依题意，设＝λ，λ∈[0,1]，·＝·(＋)＝·(＋λ)＝2＋λ·＝1＋λ×1××＝1－λ，又λ∈[0,1]，因此·的取值范围是[0,1]． 15.如图所示，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i＝1,2，…，8)是上底面上其余的八个点，则·(i＝1,2，…，8)的不同值的个数为(　　) A．8 B．4 C．2 D．1 答案　D 解析　·＝·(＋)＝2＋·， ∵AB⊥平面BP2P8P6， ∴⊥， ∴·＝0， ∴·＝||2＝1， 则·(i＝1,2，…，8)的不同值的个数为1. 16．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AC＝，∠ACD＝90°，沿对角线AC将△ACD折起，使AB与CD的夹角为60°，求此时B，D之间的距离． 解　∵∠ACD＝90°， ∴·＝0，·＝0. ∵AB与CD的夹角为60°， ∴〈，〉＝60°或〈，〉＝120°. ∵＝＋＋， ∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝22＋()2＋22＋0＋2×2×2×cos〈，〉＋0＝10＋8cos〈，〉． 当〈，〉＝60°时，||2＝10＋8cos〈，〉＝10＋8×cos 60°＝14， 即||＝； 当〈，〉＝120°时， ||2＝10＋8cos〈，〉＝10＋8×cos 120°＝6， 即||＝. 综上，B，D之间的距离为或. 学科网（北京）股份有限公司 $$