2.1.1 建立空间直角坐标系-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （湘教版2019）

2.1.1　建立空间直角坐标系 [学习目标]　1.了解空间直角坐标系的建系方式.2.掌握在空间中任意一点的表示方法.3.熟练掌握在空间直角坐标系中点与其坐标之间的关系． 导语 在一条直线上可以建立数轴，将每个点的位置用一个实数x来表示．在一个平面上可以建立平面直角坐标系，将每点的位置用两个实数组成有序实数组(x，y)来表示．那么，在空间中怎样表示每个点的位置呢？这就是本节课要研究的问题． 一、确定空间中点的坐标 问题　如图，如何刻画在海面上空飞行的飞机的位置P? 提示　如图，将海面看成一个平面，从飞机在空中所在位置向海平面作垂线PP′，垂足为P′，则飞机在P′上空．为了刻画P′在海平面上的位置，在海平面上建立平面直角坐标系，则P′可以由它在这个坐标系中的坐标(x，y)来刻画．又由于飞机在海平面上空的高度|PP′|＝z是一个实数，因而将x，y，z这三个实数组成有序实数组(x，y，z)，它就刻画了飞机的位置P，称之为点P的坐标． 知识梳理 1．空间直角坐标系 (1)建系方法：在空间中任取一点O，以O为原点，作三条两两垂直的有向直线Ox，Oy，Oz，在这三条直线上选取共同的长度单位，分别建立坐标轴，依次称为x轴、y轴、z轴． (2)建系原则：伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向x轴正方向，然后让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向，此时大拇指的指向即为z轴正方向． (3)构成要素：点O叫作坐标原点，x，y，z轴统称为坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面和xOz平面． 2．空间直角坐标系中点的坐标 在空间直角坐标系中，空间一点P的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)称为点P的坐标，记作P(x，y，z)，其中x称为点P的横坐标，y称为点P的纵坐标，z称为点P的竖坐标． 注意点： 在空间直角坐标系中，坐标轴及三个坐标平面内的点的坐标特点如下： 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标的形式 (x,0,0) (0，y,0) (0,0，z) 点的位置 xOy平面内 yOz平面内 xOz平面内 坐标的形式 (x，y,0) (0，y，z) (x,0，z) 例1　(1)画一个正方体ABCD－A1B1C1D1，若以A为坐标原点，分别以有向直线AB，AD，AA1为x轴、y轴、z轴的正方向，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，则 ①顶点A，D1的坐标分别为______________； ②棱C1C中点的坐标为________； ③正方形AA1B1B对角线的交点的坐标为________． 答案　①(0,0,0)，(0,1,1)　② ③ (2)已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标． 解　∵正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10， ∴正四棱锥的高为2. 作OE∥BC交AB于点E，OF∥AB交BC于点F， 以正四棱锥的底面中心O为原点，分别以有向直线OE，OF，OP为x轴、y轴、z轴的正方向，以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系， 则正四棱锥各顶点的坐标分别为A(2，－2,0)，B(2，2,0)，C(－2,2,0)，D(－2，－2,0)，P(0,0，2)．(答案不唯一) 反思感悟　(1)建立空间直角坐标系时应遵循的两个原则 ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上． ②充分利用几何图形的对称性． (2)求空间某点的坐标的方法 求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面内的射影，确定其两个坐标再找出它在另一坐标轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标． 跟踪训练1　建立适当的空间直角坐标系，写出底面边长为2，高为3的正三棱柱ABC－A1B1C1的各顶点的坐标． 解　以BC的中点O为原点，分别以有向直线OA，OB为x轴、y轴的正方向，以1为单位长度，建立空间直角坐标系，如图所示． 由题意知，|AO|＝， 从而可知各顶点的坐标分别为A(，0,0)，B(0,1,0)，C(0，－1,0)，A1(，0,3)，B1(0，1,3)，C1(0，－1,3)．(答案不唯一) 二、已知点的坐标确定点的位置 例2　在空间直角坐标系中描出点P(3,4,5)． 解　方法一　第一步：从原点出发沿x轴正方向移动3个单位长度． 第二步：沿与y轴平行的方向向y轴正方向移动4个单位长度． 第三步：沿与z轴平行的方向向z轴正方向移动5个单位长度，即得点P(如图所示)． 方法二　以O为顶点构造长方体，使这个长方体在点O处的三条棱分别在x轴、y轴、z轴的正半轴上，且棱长分别为3,4,5，则长方体与顶点O相对的顶点即为所求点P. 反思感悟　已知点P的坐标确定其位置的方法 (1)利用平移点的方法，将原点按坐标轴方向三次平移得点P. (2)构造适合条件的长方体，通过和原点相对的顶点确定点P的位置． (3)通过作三个分别与坐标轴垂直的平面，由平面的公共交点确定点P. 跟踪训练2　点A(0，－2,3)在空间直角坐标系中的位置是(　　) A．在x轴上 B．在xOy平面内 C．在yOz平面内 D．在xOz平面内 答案　C 解析　因为点A的横坐标为0，所以点A(0，－2,3)在yOz平面内． 三、空间点的对称问题 例3　在空间直角坐标系中，已知点P(－2,1,4)． (1)求点P关于x轴对称的点的坐标； (2)求点P关于xOy平面对称的点的坐标； (3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点的坐标． 解　(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1(－2，－1，－4)． (2)由点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P2(－2,1，－4)． (3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点， 由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6， y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12， 所以对称点P3的坐标为(6，－3，－12)． 反思感悟　空间中点关于原点、坐标轴及坐标平面的对称点的坐标特征 (1)P(x，y，z)P1(－x，－y，－z)． (2)P(x，y，z)P2(x，－y，－z)； P(x，y，z)P3(－x，y，－z)； P(x，y，z)P4(－x，－y，z)． (3)P(x，y，z)P5(x，y，－z)； P(x，y，z)P6(－x，y，z)； P(x，y，z)P7(x，－y，z)． 记忆口诀：“关于谁对称谁不变，其余相反”． 跟踪训练3　点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为________，点P关于z轴的对称点P2的坐标为________． 答案　(1,1，－1)　(－1，－1,1) 1．知识清单： (1)空间直角坐标系的概念． (2)空间直角坐标系中点的坐标． (3)空间直角坐标系中点的对称问题． 2．方法归纳：数形结合、类比联想． 3．常见误区：由空间点的位置求点的坐标时，坐标的符号容易出错． 1．已知点A，则点A关于x轴的对称点的坐标为(　　) A．(－3，－1,4) B．(－3，－1，－4) C．(3,1,4) D．(3，－1，－4) 答案　A 解析　在空间直角坐标系中，关于x轴的对称点中，横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为原来的相反数． 又因为点A(－3,1，－4)， 所以点A关于x轴对称的点的坐标是(－3，－1,4)． 2．在空间直角坐标系中，点P(1,3，－5)关于平面xOy对称的点的坐标是(　　) A．(－1,3，－5) B．(1,3,5) C．(1，－3,5) D．(－1，－3,5) 答案　B 3．在空间直角坐标系中，已知点A(1，－2,3)，B(－3,0,1)，则线段AB的中点坐标是(　　) A．(－1，－1,2) B．(1,1，－2) C．(2,2，－4) D．(－2，－2,4) 答案　A 解析　设线段AB的中点坐标为(x，y，z)， 所以x＝＝－1，y＝＝－1，z＝＝2，故线段AB的中点坐标是(－1，－1,2)． 4．在空间直角坐标系中，点P(－1，－2，－3)到平面yOz的距离是(　　) A．1 B．2 C．3 D. 答案　A 解析　点P到平面yOz的距离就是点P的横坐标的绝对值，即1. 1．(多选)下列命题中正确的是 (　　) A．在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c) B．在空间直角坐标系中，在yOz平面内的点的坐标是(0，b，c) C．在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标可记作(0,0，c) D．在空间直角坐标系中，在xOz平面内的点的坐标是(a,0，c) 答案　BCD 解析　空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标是(a,0,0)，故A错误． 2．在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)关于xOy平面的对称点的坐标是(　　) A．(－2,1，－4) B．(－2，－1，－4) C．(2，－1,4) D．(2,1，－4) 答案　A 解析　过点P向xOy平面作垂线，垂足为N(图略)， 则N就是点P与它关于xOy平面的对称点P′连线的中点， 又N(－2,1,0)， 所以对称点为P′(－2,1，－4)． 3．在空间直角坐标系中，点(1,2,3)与点(－1,2,3)(　　) A．关于xOy平面对称 B．关于xOz平面对称 C．关于yOz平面对称 D．关于x轴对称 答案　C 解析　空间中的两个点(1,2,3)和(－1,2,3)，y，z轴上的两个坐标相同，x轴上的坐标相反，故此两点关于yOz平面对称． 4．已知点A(－3,1,4)，B(7,1,0)，则线段AB的中点M在yOz平面上的射影点的坐标为(　　) A．(0,1,2) B．(2,1,2) C．(2，－1,2) D．(－2,1，－2) 答案　A 解析　线段AB的中点M的坐标为(2,1,2)，从而点M在yOz平面上的射影点的坐标为(0,1,2)． 5．在空间直角坐标系中，已知点P(1，，)，过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为(　　) A．(0，，0) B．(0，，) C．(1,0，) D．(1，，0) 答案　B 解析　由于垂足在平面yOz内，所以纵坐标，竖坐标不变，横坐标为0，故垂足Q的坐标为(0，，)． 6．(多选)关于空间直角坐标系O－xyz中的一点P(1,2,3)，下列说法正确的是(　　) A．OP的中点坐标为 B．点P关于x轴对称的点的坐标为(－1,2,3) C．点P关于原点对称的点的坐标为(－1，－2，－3) D．点P关于xOy平面对称的点的坐标为(1,2，－3) 答案　ACD 解析　利用中点坐标公式可得OP的中点坐标为，故A正确； 点P关于x轴对称的点的坐标为(1，－2，－3)，故B错误； 点P关于原点对称的点的坐标为(－1，－2，－3)，故C正确； 点P关于xOy平面对称的点的坐标为(1,2，－3)，故D正确． 7．在空间直角坐标系中，过点P(－4，－2,3)作x轴的垂线，则垂足与点P的中点坐标为________． 答案　 解析　过空间任意一点P作x轴的垂线，垂足的坐标均为(a,0,0)的形式，所以垂足的坐标为(－4,0,0)，故所求中点坐标为. 8.如图是一个正方体截下的一角P－ABC，其中PA＝a，PB＝b，PC＝c.以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，则△ABC的重心G的坐标是________． 答案　 解析　由题意知A(a,0,0)，B(0，b,0)，C(0,0，c)． 由重心坐标公式得点G的坐标为. 9．已知点A(－4,2,3)关于坐标原点的对称点为A1，A1关于xOz平面的对称点为A2，A2关于z轴的对称点为A3，求线段AA3的中点M的坐标． 解　因为点A(－4,2,3)关于坐标原点的对称点A1的坐标为(4，－2，－3)， 点A1(4，－2，－3)关于xOz平面的对称点A2的坐标为(4,2，－3)， 点A2(4,2，－3)关于z轴的对称点A3的坐标为(－4，－2，－3)， 所以AA3的中点M的坐标为(－4,0,0)． 10.已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝4，点N是AB的中点，点M是B1C1的中点．以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，写出点D，N，M的坐标． 解　由于D为坐标原点，所以D(0,0,0)， 由|AB|＝|BC|＝2，|D1D|＝4得A(2,0,0)， B(2,2,0)，B1(2,2,4)，C1(0,2,4)， 因为点N是AB的中点，点M是B1C1的中点，所以N，M. 11．在空间直角坐标系中，点M(1,2,3)到z轴的距离为(　　) A. B．3 C. D. 答案　A 解析　在空间直角坐标系中，点M(1,2,3)到z轴的距离为＝. 12．(多选)下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是(　　) A．点P(1，－1,0)与点Q(1,1,0)关于z轴对称 B．点A(－3，－1,4)与点B(3，－1，－4)关于y轴对称 C．点A(－3，－1,4)与点B(3，－1，－4)关于平面xOz对称 D．空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分 答案　BD 解析　对于A，点P(1，－1,0)与点Q(1,1,0)关于x轴对称，A错误； 对于B，点A(－3，－1,4)与B(3，－1，－4)关于y轴对称，B正确； 对于C，点A(－3，－1,4)与B(3，－1，－4)不关于平面xOz对称，C错误； 对于D，空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分，D正确． 13．设z为任一实数，则点(2,2，z)表示的图形是(　　) A．z轴 B．与xOy平面平行的一条直线 C．与xOy平面垂直的一条直线 D．xOy平面 答案　C 解析　点(2,2，z)在过点(2,2,0)且垂直于平面xOy的直线上，故选C. 14．已知点M到三个坐标平面的距离都是1，且点M的三个坐标同号，则点M的坐标为________． 答案　(1,1,1)或(－1，－1，－1) 解析　分别过点(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)作与yOz平面，xOz平面，xOy平面平行的平面， 三个平面的交点即为点M，其坐标为(1,1,1)； 或过点(－1,0,0)，(0，－1,0)，(0,0，－1)作与yOz平面，xOz平面，xOy平面平行的平面， 三个平面的交点即为点M，其坐标为 (－1，－1，－1)． 15．(多选)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，分别以有向直线DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴的正方向，以1为单位长度，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是(　　) A．点B1的坐标为(4,5,3) B．点C1关于点B对称的点为(5,8，－3) C．点A关于直线BD1对称的点为(0,5,3) D．点C关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0) 答案　ACD 解析　根据题意知，点B1的坐标为(4,5,3)，选项A正确； B的坐标为(4,5,0)，C1的坐标为(0,5,3)， 故点C1关于点B对称的点为(8,5，－3)，选项B错误； 在长方体中|AD1|＝|BC1|＝＝5＝|AB|， 所以四边形ABC1D1为正方形，AC1与BD1垂直且平分， 即点A关于直线BD1对称的点为C1(0,5,3)，选项C正确； 点C关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0)，选项D正确． 16.如图，在空间直角坐标系中，|BC|＝2，原点O是BC的中点，点D在平面yOz内，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，求点D的坐标． 解　如图，过点D作DE⊥BC，垂足为E. 在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，|BC|＝2，则|BD|＝1，|CD|＝， 所以|DE|＝|CD|sin 30°＝， |OE|＝|OB|－|BE|＝|OB|－|BD|cos 60°＝1－＝， 所以点D的坐标为. 学科网（北京）股份有限公司 $$