1.3.4 导数的应用举例-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （湘教版2019）

1.3.4　导数的应用举例 [学习目标]　1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题． 导语 在日常生活中，为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、成本最低、消耗最少等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略．这些都是最优化问题．因为利用导数可以求得最值，所以利用导数可以解决最优化问题，下面我们通过实例来进行学习． 一、成本最低、用料最省问题 例1　为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k的值及f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求出最小值． 解　(1)由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝(0≤x≤10)，再由C(0)＝8，得k＝40， 因此C(x)＝.而建造费用为6x. 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋6x＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)． (2)f′(x)＝6－， 令f′(x)＝0，即＝6， 解得x＝5或x＝－(舍去)． 当0<x<5时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当5<x<10时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 故x＝5是f(x)的极小值点，也是最小值点，对应的最小值为f(5)＝＋6×5＝70. 故当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小，最小值为70万元． 反思感悟　利用导数解决生活中的最优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)； (2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0； (3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点处的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值； (4)回归实际问题写出答案． 跟踪训练1　甲、乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/时)的函数关系是P＝v4－v3＋15v. (1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式； (2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时全程运输成本的最小值． 解　(1)Q＝P· ＝· ＝－v2＋6 000(0<v≤100)． (2)由(1)可得Q′＝－5v， 令Q′＝0，得v＝0(舍去)或v＝80， 当0<v<80时，Q′<0；当80<v≤100时，Q′>0， 故当v＝80时，全程运输成本取得极小值，即最小值，且Qmin＝(元)． 二、效率最高、利润最大问题 例2　已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝ (1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本) 解　(1)当0<x≤10时， W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝8.1x－－10； 当x>10时，W＝xR(x)－(10＋2.7x) ＝98－－2.7x. ∴W＝ (2)①当0<x≤10时，由W′＝8.1－＝0， 得x＝9(舍负)，且当x∈(0,9)时，W′>0； 当x∈(9,10]时，W′<0， ∴当x＝9时，W取最大值， 且Wmax＝8.1×9－－10＝38.6. ②当x>10时， W＝98－≤98－2＝38， 当且仅当＝2.7x，即x＝时，Wmax＝38， 综合①②知当x＝9时，W取最大值38.6，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大． 反思感悟　利用导数解决利润(收益)最大问题，关键是灵活运用题设条件，建立利润(收益)的函数解析式，然后再利用导数方法求出该函数的最大值，即可得到最大利润(收益)，常见的基本等量关系如下： (1)利润(收益)＝收入－成本． (2)利润(收益)＝每件产品的利润(收益)×销售量． 跟踪训练2　中国高铁的快速发展给群众出行带来巨大便利，极大促进了区域经济社会发展．已知某条高铁线路通车后，发车时间间隔t(单位：分钟)满足5≤t≤25，t∈N＋，经测算，高铁的载客量与发车时间间隔t相关：当20≤t≤25时，高铁为满载状态，载客量为1 000人；当5≤t≤20时，载客量会在满载基础上减少，减少的人数与(20－t)2成正比，且发车时间间隔为5分钟时的载客量为100人．记发车时间间隔为t分钟时，高铁载客量为P(t)． (1)求P(t)的表达式； (2)若该线路发车时间间隔为t分钟时的净收益Q(t)＝P(t)－40t2＋650t－2 000(元)，当发车时间间隔为多少时，单位时间的净收益最大？ 解　(1)当5≤t≤20时， 不妨设P(t)＝1 000－k(20－t)2， 由题意得P(5)＝1 000－k(20－5)2＝100， 所以k＝4， 则P(t)＝ (2)当5≤t≤20时，Q(t)＝P(t)－40t2＋650t－2 000＝－t3＋500t－2 000，记y(t)＝， 因此y(t)＝＝－t2－＋500,5≤t≤20. 因为y′(t)＝－2t＋＝， 当5≤t<10时，y′(t)>0，y(t)单调递增； 当10<t≤20时，y′(t)<0，y(t)单调递减， 所以y(t)max＝y(10)＝200. 当20≤t≤25时，Q(t)＝－40t2＋900t－2 000， 因此y(t)＝＝900－40， 因为y′(t)＝<0，此时y(t)单调递减，所以y(t)max＝y(20)＝0， 综上，当发车时间间隔为10分钟时，单位时间的净收益最大． 三、面积、体积的最值问题 例3　如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x cm. 某厂商要求包装盒的容积V(单位：cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值． 解　∵AE＝x，∴HE＝x，EF＝60－2x， ∴EG＝EF＝(60－2x)＝(30－x)， ∴V(x)＝(x)2×(30－x) ＝2x2(30－x) ＝－2x3＋60x2(0<x<30)． ∴V′(x)＝－6x2＋120x＝－6x(x－20)． 令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝20. ∵当0<x<20时，V′(x)>0，V(x)单调递增； 当20<x<30时，V′(x)<0，V(x)单调递减． ∴V(x)在x＝20时取极大值，即最大值． ∴包装盒的底面边长为x＝20(cm)， 高为(30－x)＝10(cm)， ∴当x＝20时，包装盒的容积最大，此时高与底面边长的比值为. 延伸探究　本例条件不变，若要求包装盒的侧面积S(单位：cm2)最大，试问x应取何值？ 解　∵AE＝x，∴HE＝x，EF＝60－2x， ∴EG＝EF＝(60－2x)＝(30－x)． ∴S＝4×HE×EG＝4×x×(30－x) ＝8x(30－x)＝－8x2＋240x ＝－8(x－15)2＋1 800(0<x<30)． ∴当x＝15时，S取得最大值，最大为1 800 cm2. 反思感悟　(1)几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，在此基础上解决与实际相关的问题． (2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程． 跟踪训练3　现有一张长为108 cm，宽为a cm(a<108)的长方形铁皮ABCD，准备用它做成一个无盖长方体铁皮容器，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处的损失，如图，在长方形ABCD的一个角上剪下一块边长为x cm的正方形铁皮作为铁皮容器的底面，用余下的材料剪拼后作为铁皮容器的侧面，设长方体的高为y cm，体积为V cm3. (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该铁皮容器体积V的最大值． 解　(1)由题意得x2＋4xy＝108a， 即y＝，0<x≤a. (2)铁皮容器的体积V(x)＝x2y＝x2· ＝(－x3＋108ax)，0<x≤a. V′(x)＝(－3x2＋108a)＝－(x2－36a)， 令V′(x)＝0，得x＝6或x＝－6(舍去)， 当0<a≤36，即6≥a时， 当x∈(0，a]时，V′(x)>0，V(x)单调递增， 可得V(x)max＝V(a)＝a2(108－a)； 当36<a<108，即6<a时， 当x∈(0,6)时，V′(x)>0，V(x)单调递增， 当x∈(6，a)时，V′(x)<0，V(x)单调递减， 可得V(x)max＝V(6)＝108a. 故当0<a≤36时，该铁皮容器体积V的最大值为a2(108－a)； 当36<a<108时，该铁皮容器体积V的最大值为108a. 1．知识清单： (1)生活中的最优化问题． (2)最优化问题解题步骤． 2．方法归纳：数学建模、转化法． 3．常见误区：对题意的理解不透彻和对数学模型的构建不正确而致错． 1．某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，则当利润最大时，每件商品的定价为(　　) A．105元 B．110元 C．115元 D．120元 答案　C 解析　由题意，知0<x<200， 利润为S(x)＝(x－30)(200－x)＝－x2＋230x－6 000， S′(x)＝－2x＋230，令S′(x)＝0，得x＝115， 当0<x<115时，S′(x)>0，S(x)单调递增； 当115<x<200时，S′(x)<0，S(x)单调递减， 故当x＝115时利润最大． 2．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是(　　) A．8 B. C．－1 D．－8 答案　C 解析　由题意得，f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1， ∵0≤x≤5， ∴当x＝1时，f′(x)取最小值，最小值为－1， 即原油温度的瞬时变化率的最小值是－1. 3．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的体积是27π，且用料最省，则水桶的底面半径为________． 答案　3 解析　设圆柱形水桶的表面积为S，底面半径为r(r>0)，则水桶的高为，所以S＝πr2＋2πr×＝πr2＋(r>0)，求导数，得S′＝2πr－，令S′＝0，解得r＝3. 当0<r<3时，S′<0；当r>3时，S′>0，所以当r＝3时，圆柱形水桶的表面积最小，即用料最省． 4．某厂生产x件产品的总成本为C万元，产品单价为P万元，且满足C＝1 200＋x3，P＝，则当x＝________时，总利润最高． 答案　25 解析　设总利润为L(x)万元，则由题意得L(x)＝x·－1 200－x3＝－x3＋500－1 200(x>0)．由L′(x)＝－x2＋＝0，得x＝25. 令L′(x)>0，得0<x<25；令L′(x)<0，得x>25，所以L(x)在区间(0,25)上单调递增，在区间(25，＋∞)上单调递减，所以当x＝25时，总利润最高． 1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数解析式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(　　) A．13万件 B．11万件 C．9万件 D．7万件 答案　C 解析　y′＝－x2＋81，令y′＝0， 则x＝9(负值舍去)． 所以当x∈(0,9)时，y′>0， 当x∈(9，＋∞)时，y′<0， 所以函数y＝－x3＋81x－234在(0,9)上单调递增，在(9，＋∞)上单调递减， 所以x＝9是函数的极大值点， 又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点， 所以函数在x＝9处取得最大值． 2．若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则当其表面积最小时，底面边长为(　　) A. B. C. D．2 答案　C 解析　设底面边长为x，则直棱柱的高为， 所以表面积S＝x2＋V(x>0)， 所以S′＝(x3－4V)．令S′＝0，得x＝， 当0<x<时，S′<0，当x>时，S′>0，所以当x＝时，S取得最小值． 3．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P元，销量为Q，销量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)(　　) A．30元 B．60元 C．28 000元 D．23 000元 答案　D 解析　设毛利润为L(P)． 则L(P)＝PQ－20Q ＝(8 300－170P－P2)(P－20) ＝－P3－150P2＋11 700P－166 000(P>20)， 所以L′(P)＝－3P2－300P＋11 700. 令L′(P)＝0，解得P＝30或P＝－130(舍去)． 当20<P<30时，L′(P)>0； 当P>30时，L′(P)<0，当P＝30时，L(P)取得最大值L(30)＝23 000. 根据实际问题的意义知，最大毛利润为23 000元． 4．把一段长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是(　　) A. cm2 B．4 cm2 C．3 cm2 D．2 cm2 答案　D 解析　设一段长为x，则另一段长为12－x(0<x<12)． 则围成的两个正三角形的面积之和S(x)＝×2×＋×2× ＝x2－x＋4， S′(x)＝x－， 令S′(x)＝0，得x＝6， 当0<x<6时，S′(x)<0； 当6<x<12时，S′(x)>0， 易知当x＝6时，S(x)最小． 所以S(x)min＝S(6)＝2(cm2)． 5．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其容积最大，则高应为(　　) A. cm B. cm C. cm D. cm 答案　B 解析　设圆锥的高为h cm,0<h<20， ∴V＝π(202－h2)h＝π(400－h2)h， ∴V′＝π(400－3h2)， 令V′＝0，得h＝(负值舍去)， 当h∈时，V′>0，当h∈时，V′<0， 故当h＝时，V取最大值． 即高为 cm时，其容积最大． 6．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)＝则当总利润P(x)最大时，每年生产产品的单位数是(　　) A．150 B．200 C．250 D．300 答案　D 解析　由题意得，总利润 P(x)＝ 当0≤x≤390时，P′(x)＝－＋300， 令P′(x)＝0，得x＝300(舍负)， 当0≤x<300时，P′(x)>0，当300<x≤390时，P′(x)<0，所以当x＝300时，P(x)取得最大值40 000. 又当x>390时，P(x)＝70 090－100x为减函数， 所以P(x)<31 090， 所以当每年生产300单位的产品时，总利润最大． 7．某箱子的体积与底面边长x的关系为V(x)＝x2(0<x<60)，则箱子底面边长为________时，它的体积最大． 答案　40 解析　V′(x)＝－x2＋60x＝－x(x－40)， 令V′(x)＝0，得x＝40或x＝0(舍去)， 当0<x<40时，V′(x)>0，V(x)单调递增； 当40<x<60时，V′(x)<0，V(x)单调递减， 所以x＝40是V(x)的极大值点也是最大值点． 所以当箱子的底面边长为40时，体积最大． 8．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)，贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x(x∈(0,0.048))，为使银行获得最大收益，则存款利率应定为________． 答案　0.032 解析　存款利率为x(x∈(0,0.048))，依题意，得存款量是kx2，银行应支付的利息是kx3，贷款的收益是0.048kx2.所以银行的收益是y＝0.048kx2－kx3，由于y′＝0.096kx－3kx2，令y′＝0得x＝0.032或x＝0(舍去)，又当0<x<0.032时，y′>0；当0.032<x<0.048时，y′<0，所以当x＝0.032时，y取得最大值，即存款利率应定为0.032. 9．一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10千米时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1千米所需的费用总和最少？ 解　设速度为每小时v千米时，燃料费是每小时p元，那么由题设知p＝kv3， 因为当v＝10时，p＝6，所以k＝＝0.006. 于是有p＝0.006v3. 又设船的速度为每小时v千米时，航行1千米所需的总费用为q元，那么每小时所需的总费用是(0.006v3＋96)元，而航行1千米所用时间为小时，所以航行1千米的总费用为q＝(0.006v3＋96)＝0.006v2＋. q′＝0.012v－＝(v3－8 000)， 令q′＝0，解得v＝20. 当0<v<20时，q′<0； 当v>20时，q′>0， 所以当v＝20时，q取得最小值． 即当速度为20千米/时时，航行1千米所需的费用总和最少． 10．某商店经销一种商品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a元(a为常数，2≤a≤5)的税收．设每件产品的售价为x元(35≤x≤41)，根据市场调查，日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比．已知每件产品的售价为40元时，日销售量为10件． (1)求该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x元的函数关系式； (2)当每件产品的售价为多少元时，该商品的日利润L(x)最大，并求出L(x)的最大值． 解　(1)设日销售量为，则＝10， ∴k＝10e40，则日销售量为件． 则日利润L(x)＝(x－30－a)× ＝. (2)由(1)得L′(x)＝. ①当2≤a≤4时，33≤a＋31≤35， 当35≤x≤41时，L′(x)<0，L(x)单调递减． ∴当x＝35时，L(x)取最大值，最大值为10(5－a)e5； ②当4<a≤5时，35<a＋31≤36， 令L′(x)＝0，得x＝a＋31，易知当x＝a＋31时， L(x)取最大值，最大值为10e9－a. 综上，L(x)max＝ 11．如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为(　　) A.3π B.3π C.3π D.π 答案　A 解析　设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r＋2h＝l，∴h＝，V＝πr2h＝πr2－2πr3. 则V′＝lπr－6πr2，令V′＝0，得r＝0或r＝，而r>0， ∴r＝是其唯一的极值点． ∵当0<r<时，V′>0，当<r<时，V′<0， ∴当r＝时，V取得最大值，最大值为3π. 12．某火车每小时电力消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h时，每小时电力消耗费用为40元，其他费用每小时需200元，火车的最高速度为100 km/h，要使从甲城开往乙城的总费用最少，则速度应为(　　) A．10 km/h B．20 km/h C．5 km/h D. km/h 答案　A 解析　设速度为x km/h，甲、乙两城距离为a km，比例系数为k， 则总费用f(x)＝(kx3＋200)＝a(0<x≤100)． 由已知条件，得40＝k·203， ∴k＝，∴f(x)＝a. 令f′(x)＝＝0，解得x＝10， 当0<x<10时，f′(x)<0； 当10<x≤100时，f′(x)>0. ∴当x＝10时，f(x)最小， ∴要使总费用最少，速度应为10 km/h. 13．内接于半径为R的半圆的矩形，周长最大时，其宽和长分别为(　　) A.和R B.R和R C.R和R D．以上都不对 答案　B 解析　设矩形的宽为x，则长为2， 则矩形的周长l＝2x＋4(0<x<R)， l′＝2－， 令l′＝0，得x1＝R，x2＝－R(舍去)． 当0<x<R时，l′>0； 当R<x<R时，l′<0， 所以当x＝R时，l取得最大值， 即周长最大时，矩形的宽和长分别为R，R. 14.一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如图所示)．当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为________ m时，帐篷的体积最大． 答案　2 解析　设OO1＝x m，则1<x<4. 由题设可得正六棱锥底面边长为 ＝. 于是底面正六边形的面积为 6××()2＝(8＋2x－x2)． 帐篷的体积为 V(x)＝(8＋2x－x2) ＝(16＋12x－x3)． 则V′(x)＝(12－3x2)． 令V′(x)＝0，得x＝－2(舍去)或x＝2. 当1<x<2时，V′(x)>0，V(x)单调递增； 当2<x<4时，V′(x)<0，V(x)单调递减． 综上，当x＝2时，V(x)取得极大值，也是最大值． 即当OO1＝2 m时，帐篷的体积最大． 15.如图所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，当这个正六棱柱容器的底面边长为__________时，其容积最大． 答案　 解析　设被切去的全等四边形的一边长为x，如图所示， 则正六棱柱的底面边长为1－2x，高为x， 所以正六棱柱的体积V＝6×(1－2x)2·x＝(4x3－4x2＋x)， 则V′＝(12x2－8x＋1)． 令V′＝0，得x＝(舍去)或x＝. 则当x∈时，V′>0； 当x∈时，V′<0. 故当x＝时，V有极大值，也是最大值， 此时正六棱柱的底面边长为. 16.如图是某市在城市改造中的沿市内主干道城站路修建的圆形休闲广场，圆心为O，半径为100 m，其与城站路一边所在直线l相切于点M，MO的延长线交圆O于点N，A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为点B.市园林局计划在△ABM内进行绿化，设△ABM的面积为S(单位：m2)． (1)以∠AON＝θ(单位：rad)为自变量，将S表示成θ的函数； (2)求使绿化面积最大时点A的位置及最大绿化面积． 解　(1)由题意知，BM＝100sin θ，AB＝100＋100cos θ，故S＝5 000sin θ(1＋cos θ)(0<θ<π)． (2)因为S＝5 000sin θ(1＋cos θ)(0<θ<π)，所以S′＝5 000(cos θ＋cos2θ－sin2θ)＝5 000(2cos2θ＋cos θ－1)＝5 000(cos θ＋1)(2cos θ－1)． 令S′＝0，得cos θ＝或cos θ＝－1(舍去)， 又θ∈(0，π)，故θ＝. 当0<θ<时，<cos θ<1，S′>0； 当<θ<π时，－1<cos θ<，S′<0. 故当θ＝时，S取得极大值，也是最大值，最大值为3 750，此时AB＝150. 即当点A距路边的距离为150 m时，绿化面积最大，最大面积为3 750 m2. 学科网（北京）股份有限公司 $$