1.3.3 三次函数的性质：单调区间和极值-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （湘教版2019）

1.3.3　三次函数的性质：单调区间和极值 [学习目标]　1.能利用导数研究三次函数的有关性质.2.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.3.会求某闭区间上具体函数的最值． 导语 研究高次函数(中学阶段多项式函数不超过三次)时，我们往往通过求导降次的方法，转化为低次函数来处理，从而达到研究的目的．今天我们研究三次函数的有关性质，也可以采取上述的思想方法． 一、三次函数的性质：单调区间和极值 问题1　回顾函数的单调性与导数的关系，怎样确定三次函数的单调性和极值呢？ 提示　三次函数可以通过求导转化为二次函数，研究二次函数在相应区间上的正、负，可以得到三次函数的单调性，进而确定函数的极值． 知识梳理 三次函数的导数的零点与其单调区间和极值 设F(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，F′(x)＝3ax2＋2bx＋c(a≠0)，填写下表． 当a>0时， F′x的零点 Fx、 F′x的性质　 无 x＝ω x＝u和x＝v(u<v) F′(x)的符号 F′(x) >0 F′(x) ≥0 x∈(－∞，u)∪(v，＋∞)时，F′(x)>0；x∈(u，v)时，F′(x)<0 F(x)的单调性 在(－∞，＋∞)上单调递增 在(－∞，＋∞)上单调递增 在(－∞，u)，(v，＋∞)上单调递增，在(u，v)上单调递减 F(x)的极值 无 无 在x＝u处取极大值，在x＝v处取极小值 当a<0时， F′x的零点 Fx、 F′x的性质　　 无 x＝ω x＝u和x＝v(u<v) F′(x)的符号 F′(x) <0 F′(x) ≤0 x∈(－∞，u)∪(v，＋∞)时，F′(x)<0；x∈(u，v)时，F′(x)>0 F(x)的单调性 在(－∞，＋∞)上单调递减 在(－∞，＋∞)上单调递减 在(－∞，u)，(v，＋∞)上单调递减，在(u，v)上单调递增 F(x)的极值 无 无 在x＝u处取极小值，在x＝v处取极大值 例1　已知x轴是曲线f(x)＝x3＋ax＋b在点A(1，f(1))处的切线． (1)求函数f(x)的解析式； (2)求函数f(x)的单调区间和极值． 解　(1)由题意知f′(x)＝3x2＋a， f′(1)＝0，且f(1)＝0， 所以解得 所以f(x)＝x3－3x＋2. (2)f′(x)＝3x2－3＝3(x2－1)， 令f′(x)＝0，得x＝±1. 当x变化时，f′(x)和f(x)的变化情况如表所示． x (－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 递增↗ 极大值 递减↘ 极小值 递增↗ 故f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，单调递减区间为(－1,1)． f(x)的极大值是f(－1)＝4，极小值是f(1)＝0. 反思感悟　求解函数的单调区间和极值时，导数值为0的点将整个定义域分为若干个区间，可将x，f′(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格中，通过表格可以清楚地判断在相应区间上是单调递增还是单调递减，在哪个点处取得极值，是极大值还是极小值． 跟踪训练1　求下列函数的单调区间和极值点： (1)f(x)＝2x3＋3x2＋6x＋1； (2)f(x)＝－2x3＋9x2－12x－7. 解　(1)f′(x)＝6x2＋6x＋6＝6(x2＋x＋1)． ∵f′(x)恒为正， ∴f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间，无极值点． (2)f′(x)＝－6x2＋18x－12＝－6(x2－3x＋2)＝－6(x－1)(x－2)，令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝2. 当x变化时，f′(x)和f(x)的变化情况如表所示． x (－∞，1) 1 (1,2) 2 (2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) 递减↘ 极小值 递增↗ 极大值 递减↘ 故f(x)的单调递减区间为(－∞，1)和(2，＋∞)，单调递增区间为(1,2)． x＝1是函数f(x)的极小值点，x＝2是函数f(x)的极大值点． 二、极值与最值的关系 问题2　如图是y＝f(x)在区间[a，b]上的函数图象．显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值．你能找到函数的最大值和最小值吗？ 提示　由题图可得，最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得．显然函数的最值是函数的整体性质，且要求函数是连续不断的，而最值不同于极值，如果有最大(小)值，则唯一存在． 问题3　开区间上的连续函数有最值吗？ 提示　如图． 容易发现，开区间上的连续函数不一定有最大值和最小值，若有最值，则一定是在极值点处取到． 知识梳理 函数最值的定义 (1)一般地，如果在闭区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么该函数在[a，b]上必有最大值和最小值． (2)对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值． 注意点： (1)开区间上的函数不一定有最值，闭区间上的连续函数一定有最值． (2)函数f(x)在闭区间[a，b]上连续是f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值的充分不必要条件． 例2　如图是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象，写出函数的极大值、极小值、最大值和最小值． 解　由题图可知，y＝f(x)在x1，x3处取得极小值，在x2处取得极大值，所以极小值为f，f，极大值为f；比较极值和端点值可知函数的最小值是f，最大值在b处取得，最大值为f(b)． 反思感悟　最值与极值的区别与联系 (1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言． (2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)． (3)函数f(x)的极值点在定义域内，但不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点． (4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得． 跟踪训练2　(多选)关于函数的最值，下列说法正确的是(　　) A．导数为零的点一定是函数的最值点 B．函数的最小值一定小于它的最大值 C．f(x)在定义域内一定有最大值或最小值 D．在[a，b] 内的连续函数f(x)一定有最小值和最大值 答案　BD 解析　对于f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)的极值点，f(0)也不是最值，故选项A不正确；最小值一定小于最大值，故选项B正确；f(x)＝x－1 没有最值，选项C显然不正确；选项D正确． 三、求函数的最值 例3　求下列函数的最值： (1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]； (2)f(x)＝x＋sin x，x∈[0,2π]． 解　(1)因为f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]， 所以f′(x)＝6x2－12 ＝6(x＋)(x－)， 令f′(x)＝0， 解得x＝－ 或x＝. 因为f(－2)＝8，f(3)＝18， f()＝－8，f(－)＝8， 所以当x＝时， f(x)取得最小值－8； 当x＝3时， f(x)取得最大值18. (2)因为f(x)＝x＋sin x， 所以f′(x)＝＋cos x，令f′(x)＝0， 又x∈[0,2π]，解得x＝或x＝. 因为f(0)＝0，f(2π)＝π，f ＝＋， f ＝－. 所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0； 当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π. 反思感悟　求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最值的步骤 (1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； (2)求函数y＝f(x)在端点处的函数值f(a)，f(b)； (3)将函数y＝f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大者是最大值，最小者是最小值． 跟踪训练3　求下列函数的最值： (1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2,4]； (2)f(x)＝. 解　(1)f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)． 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2. 又f(0)＝3，f(2)＝－5，f(4)＝35，f(－2)＝－37， ∴当x＝4时，f(x)取得最大值35. 当x＝－2时，f(x)取得最小值－37. 即f(x)在[－2,4]上的最大值为35，最小值为－37. (2)函数f(x)＝的定义域为R. f′(x)＝＝， 令f′(x)＝0，得x＝2， 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示． x (－∞，2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － f(x) 递增↗ 递减↘ ∴f(x)在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减， ∴f(x)无最小值，且当x＝2时， f(x)max＝f(2)＝. 1．知识清单： (1)三次函数的性质． (2)函数最值的定义． (3)求函数的最值． 2．方法归纳：转化化归、数形结合、分类讨论． 3．常见误区：忽视函数的最值与极值的区别与联系． 1．下列结论正确的是(　　) A．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值 B．若f(x)在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值 C．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极小值一定是在x＝a和x＝b处取得 D．若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值 答案　D 解析　函数f(x)在[a，b]上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而若在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上一定存在最大值和最小值． 2．函数f(x)＝x3－4x＋3在[0,3]上的最小值为(　　) A．－ B．－ C．0 D．3 答案　A 解析　f′(x)＝x2－4， 由f′(x)>0，得x<－2或x>2； 由f′(x)<0，得－2<x<2. 又x∈[0,3]， 所以f(x)在[0,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增， 所以f(x)min＝f(2)＝－8＋3＝－. 3．已知函数f(x)＝ex－2x＋3，则f(x)在定义域上(　　) A．有极小值5－2ln 2 B．有极大值2ln 2 C．有最大值 D．无最小值 答案　A 解析　因为f(x)＝ex－2x＋3的定义域为R，f′(x)＝ex－2，令f′(x)>0，即ex－2>0，解得x>ln 2，所以f(x)在(ln 2，＋∞)上单调递增，令f′(x)<0，得x<ln 2，即f(x)在(－∞，ln 2)上单调递减，所以函数f(x)在x＝ln 2处取得极小值即最小值，所以f(x)min＝f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＋3＝5－2ln 2，故有极小值5－2ln 2，即最小值5－2ln 2，无极大值与最大值． 4．函数f(x)＝(x＋1)ex的最小值是________． 答案　－ 解析　由题意知f′(x)＝(x＋2)ex， 当x>－2时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 当x<－2时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 因此当x＝－2时，函数有最小值，最小值为f(－2)＝(－2＋1)e－2＝－. 1.函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则(　　) A．－3是函数y＝f(x)的极大值点 B．y＝f(x)在区间(－3,1)上单调递增 C．－1是函数y＝f(x)的最小值点 D．y＝f(x)在x＝0处切线的斜率小于零 答案　B 解析　根据导函数图象可知，函数y＝f(x)在(－∞，－3)上单调递减，在(－3,1)上单调递增，∴－3是函数y＝f(x)的极小值点，故A错误，B正确；∵f(x)在(－3,1)上单调递增，∴－1不是函数y＝f(x)的最小值点，故C错误；∵函数y＝f(x)在x＝0处的导数大于0，∴f(x)在x＝0处切线的斜率大于零，故D错误． 2．如图所示的图象中有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数f′(x)的图象，则f(－1)等于(　　) A. B．－ C. D．－或 答案　B 解析　∵f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1， ∴导函数f′(x)的图象开口向上， 又∵a≠0， ∴f′(x)不是偶函数，其图象不关于y轴对称， ∴其图象必为题图③. 由图象特征知f′(0)＝0，且对称轴为直线x＝－a>0， ∴a＝－1，∴f(－1)＝－－1＋1＝－. 3．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是(　　) A．a＝0或a＝7 B．a<0或a>21 C．0≤a≤21 D．a＝0或a＝21 答案　C 解析　f′(x)＝3x2＋2ax＋7a. ∵函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax(x∈R)不存在极值点，且f′(x)的图象开口向上， ∴f′(x)≥0在x∈R上恒成立， ∴Δ＝4a2－84a≤0， 解得0≤a≤21. 4．函数f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是(　　) A．5，－15 B．5，－4 C．－4，－15 D．5，－16 答案　A 解析　f′(x)＝6x2－6x－12＝6(x－2)(x＋1)， 令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝2， 所以当x∈[0,2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x∈(2,3]时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 所以f(x)min＝f(2)＝－15， 又f(0)＝5，f(3)＝－4， 所以f(x)max＝f(0)＝5. 5．函数f(x)＝x＋2cos x在区间上的最小值是(　　) A．－ B．2 C.＋ D.＋1 答案　A 解析　因为f′(x)＝1－2sin x， 且x∈， 所以f′(x)＝1－2sin x>0在上恒成立． 所以f(x)在上单调递增． 所以f(x)min＝f ＝－＋2cos＝－. 6．已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)<g′(x)，则f(x)－g(x)的最大值为(　　) A．f(a)－g(a) B．f(b)－g(b) C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a) 答案　A 解析　令F(x)＝f(x)－g(x)， ∵f′(x)<g′(x)， ∴F′(x)＝f′(x)－g′(x)<0， ∴F(x)在[a，b]上单调递减， ∴F(x)max＝F(a)＝f(a)－g(a)． 7．(多选)下列关于函数f(x)＝(2x－x2)ex的判断正确的是(　　) A．f(x)>0的解集是{x|0<x<2} B．f(－)是极小值，f()是极大值 C．f(x)没有最小值，也没有最大值 D．f(x)有最大值无最小值 答案　ABD 解析　由f(x)>0得0<x<2，故A正确； f′(x)＝(2－x2)ex， 令f′(x)＝0，得x＝±， 当x<－或x>时，f′(x)<0， 当－<x<时，f′(x)>0， ∴当x＝－时，f(x)取得极小值， 当x＝时，f(x)取得极大值，故B正确； 当x→－∞时，f(x)→0， 当x→＋∞时，f(x)→－∞， 且f()>0， 结合函数的单调性可知，函数f(x)有最大值无最小值， 故C不正确，D正确． 8．函数f(x)＝ 的最小值为 ______，最大值为 ______. 答案　－1　1 解析　f′(x)＝，令f′(x)＝0⇒x＝±1，令f′(x)>0，得－1<x<1，令f′(x)<0，得x<－1或x>1，所以函数f(x)在(－1,1)上单调递增，在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递减，所以f(x)的极小值为f(－1)＝－1，极大值为f(1)＝1.又当x→－∞时，f(x)→0，当x→＋∞时，f(x)→0，所以f(x)的最小值为－1，最大值为1. 9．已知函数f(x)＝x3－x2－4x＋1. (1)求f(x)的单调区间； (2)求f(x)在区间[0,2]上的最值． 解　(1)f(x)＝x3－x2－4x＋1， f′(x)＝3x2－x－4＝(x＋1)(3x－4)， 当x＝－1或时，f′(x)＝0. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示． x (－∞，－1) －1 f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 递增↗ 递减↘ － 递增↗ 故f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，，单调递减区间为. (2)由(1)知，f(x)在上单调递减，在上单调递增，x＝为极小值点，f(0)＝1， f ＝－，f(2)＝－1， 所以f(x)在区间[0,2]上的最小值为－，最大值为1. 10．已知函数f(x)＝aln x－bx2，a，b∈R，且曲线y＝f(x)在x＝1处与直线y＝－相切． (1)求a，b的值； (2)求f(x)在上的最大值． 解　(1)f′(x)＝－2bx(x>0)． 由曲线y＝f(x)在x＝1处与直线y＝－相切， 得即解得 (2)由(1)得f(x)＝ln x－x2. f′(x)＝－x＝，x∈. 令f′(x)>0，得≤x<1， 令f′(x)<0，得1<x≤e， 所以f(x)在上单调递增，在(1，e]上单调递减， 所以f(x)在上的最大值为f(1)＝－. 11．各种不同的进制在我们生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数学运算一般用的是十进制．通常我们用函数f(x)＝·表示在x进制下表达M(M>1)个数字的效率，则下列选项中表达M个数字的效率最高的是(　　) A．二进制 B．三进制 C．七进制 D．十进制 答案　B 解析　设g(x)＝，则g′(x)＝，当0<x<e时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x>e时，g′(x)<0，g(x)单调递减，所以g(x)max＝g(e)＝，由于f(x)中x∈N＋，下面比较和的大小即可． －＝＝<0， 所以<，所以f(3)最大，即三进制效率最高． 12．(多选)关于函数f(x)＝x3－4x＋4，下列说法正确的是(　　) A．它的极大值为，极小值为－ B．当x∈[3,4]时，它的最大值为，最小值为－ C．它的单调递减区间为[－2,2] D．它在点(0,4)处的切线方程为y＝－4x＋4 答案　ACD 解析　∵函数f(x)＝x3－4x＋4， ∴f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)． 由f′(x)＝(x－2)(x＋2)>0， 得x>2或x<－2，此时函数单调递增； 由f′(x)＝(x－2)(x＋2)<0， 得－2<x<2，此时函数单调递减，∴C正确； 当x＝－2时，函数f(x)取得极大值f(－2)＝， 当x＝2时，函数f(x)取得极小值f(2)＝－，∴A正确； 当x∈[3,4]时，f(x)单调递增，它的最大值为f(4)＝－4×4＋4＝，最小值为f(3)＝－4×3＋4＝1，∴B错误； f′(0)＝－4，f(0)＝4， ∴它在点(0,4)处的切线方程为y＝－4x＋4，∴D正确． 13．已知函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是(　　) A．20 B．18 C．3 D．0 答案　A 解析　因为f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，x∈[－3,2]，所以f(x)在[－1,1]上单调递减，在[－3，－1]和[1,2]上单调递增．f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以在区间[－3,2]上，f(x)max＝1，f(x)min＝－19，又由题意知在[－3,2]上|f(x1)－f(x2)|≤f(x)max－f(x)min＝20，所以t≥20，故选A. 14．函数f(x)＝2x3－3x＋1的零点个数为________． 答案　3 解析　令f′(x)＝6x2－3＝0， 解得x＝±， 所以f(x)在上单调递增， 在上单调递减， 在上单调递增， 所以当x＝－时，f(x)取得极大值1＋>0； 当x＝时，f(x)取得极小值1－<0， 当x→－∞时，f(x)→－∞；当x→＋∞时，f(x)→＋∞， 所以函数f(x)＝2x3－3x＋1的零点个数为3. 15．已知直线x＝t与y＝x及y＝2ln x的图象分别交于A，B两点，则的最小值为(　　) A．1 B．2ln 2－2 C．2ln 2 D．2－2ln 2 答案　D 解析　令f(x)＝x－2ln x，x∈(0，＋∞)，则f′(x)＝1－＝. 当0<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0. 所以f(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， 所以f(x)min＝f(2)＝2－2ln 2，即最小值为2－2ln 2. 16．已知函数f(x)＝x3－mx2＋x，m∈R. (1)当m＝时，求函数y＝f(x)在区间[0,3]上的最大值和最小值； (2)若f(x0)为f(x)的一个极值，求证：<0. (1)解　当m＝时，f(x)＝x3－x2＋x， f′(x)＝x2－x＋1＝(x－2)， 令f′(x)＝0，解得x＝或x＝2. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示． x 0 2 (2,3) 3 f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 0 递增↗ 递减↘ － 递增↗ 所以当x＝2时，f(x)取得最小值－； 当x＝3时，f(x)取得最大值. (2)证明　因为f(x0)是f(x)的一个极值， 所以f′(x)＝x2－2mx＋1＝0有两个不同的解， 所以Δ>0，即m2>1， 且f′(x0)＝x－2mx0＋1＝0， 即x－2mx0＝－1， 所以＝ ＝(x－2mx0)－m2＋1 ＝－m2＋<0. 学科网（北京）股份有限公司 $$