1.3.4 导数的应用举例 学案-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

1.3 课时4 导数的应用举例 【学习目标】 1.掌握解决有关函数最大值、最小值的实际问题的方法.(数学运算) 2.提高用有关求函数的最大值、最小值的知识解决一些实际问题的能力.(数学建模、数学运算) 【自主预习】 某厂家计划用一种材料生产一种盛500 mL溶液的圆柱形易拉罐. 1.生产这种易拉罐,如何计算材料用量多少呢? 2.如何制作使用材料才能最省? 3.在实际问题中,如果在定义域内函数只有一个极值点,那么函数在该点处取最值吗? 1.某公司的盈利y(元)和时间x(天)的函数关系是y=f(x),且f'(100)=-1,这个数据说明在第100天时,(　　). A.公司已经亏损 B.公司的盈利在增加 C.公司的盈利在逐渐减少 D.公司有时盈利有时亏损 2.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(　　). A.13万件 B.11万件 C.9万件 D.7万件 【合作探究】 探究1 面积、容（体）积有关的最值问题 例1　如图所示,ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E,F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x cm. (1)求包装盒的容积V(x)关于x的函数表达式,并求出函数的定义域. (2)当x为多少时,包装盒的容积V(x)最大?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值. 【方法总结】　　解决面积、容积的最值问题,要正确引入变量,将面积或容积表示为变量的函数,结合实际问题的定义域,利用导数求解函数的最值. 如图所示,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器,当这个正六棱柱容器的底面边长为　　　　时,其容积最大.  探究2 费用（用材）最省问题 例2　某网球中心欲建连成片的网球场数块,用128万元购买土地10000平方米,该中心每块球场的建设面积为1000平方米,球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费用与球场数有关,当该中心建球场x块时,每平方米的平均建设费用(单位:元)可近似地用f(x)=8001+ln x来刻画.为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和),该网球中心应建几个球场? 【方法总结】　　实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都需要利用导数求解相应函数的最小值.根据f'(x)=0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后,若函数在该点附近满足左减右增,则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值. 统计表明:某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(单位:升)关于行驶速度x(单位:千米/时)的函数【解析】式可以表示为y=x3-x+8,x∈(0,120],且甲、乙两地相距100千米,则当汽车以　　　　千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地的耗油量最少.  探究3 利润最大问题 例3　生产某产品的全部成本c(单位:万元)与产品的件数x(单位:件)满足函数关系c=1200+x3.该产品单价p(单位:万元)的平方与生产的产品件数x(单位:件)成反比,现已知生产该产品100件时,其单价p=50万元,且工厂生产的产品都可以销售完.设工厂生产该产品的利润为f(x)(单位:万元).(注:利润=销售额-成本) (1)求函数y=f(x)的表达式; (2)当生产该产品的件数x为多少时,工厂生产该产品的利润最大? 【方法总结】　　1.关于利润问题常用的两个等量关系:①利润=收入-成本;②利润=每件产品的利润×销售件数. 2.实际生活中利润最大问题都需要利用导数求解相应函数的最大值,此时根据f'(x)=0求出极值点(注意根据实际意义舍弃不合适的极值点),若函数满足左增右减,此时唯一的极大值就是所求函数的最大值. 某汽车制造厂有一条价值为60万元的汽车生产线,现要通过技术改造来提高其生产能力,进而提高产品的增加值.已知投入x万元用于技术改造,所获得的产品的增加值为(60-x)x2万元,并且技术改造投入比率∈(0,5]. (1)求技术改造投入x的取值范围. (2)当技术改造投入为多少万元时,所获得的产品的增加值最大?最大值为多少万元? 【随堂检测】 1.一质点沿直线运动,如果由始点出发,经过t秒后的距离为s=t3-2t2,那么速度为0的时刻是(　　). A.1秒末 B.0秒 C.2秒末 D.0秒或1秒末 2.某公司生产一种产品,固定成本为20000元,每生产一个单位的产品,成本增加100元,若总收入R与年产量x(0≤x≤39