1.3.2 函数的极值与导数-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （湘教版2019）

1.3.2　函数的极值与导数 [学习目标]　1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件． 导语 同学们，前面我们通过对函数的求导，掌握了函数的单调性，从而也发现了函数图象的变化趋势，正所谓“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，大家可以想象一下，在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山之中的最高处，但却是其附近的最高点，同样，各个谷底虽然不一定是山谷的最低处，但却是其附近的最低点．这就和我们今天要研究的函数的极值很相似． 一、函数极值的概念 问题1　如图是某处群山的截面图，你能指出山峰、山谷吗？ 提示　在x1，x3，x5处是山峰，在x2，x4处是山谷． 问题2　你能描述一下在各个山峰、山谷附近的特点吗？ 提示　以山峰x＝x1处为例来研究，在x＝x1处，它附近的函数值都比它小，且在x＝x1处的左侧函数是单调递增的，有f′(x)>0；在x＝x1处的右侧函数是单调递减的，有f′(x)<0，函数图象是连续不断的，f′(x)的变化也是连续不断的，并且有f′(x1)＝0. 知识梳理 极值点与极值的概念 如图1所示，设函数y＝f(x)在区间(a，b)内有定义，x0是区间(a，b)内的一个点，若点x0附近的函数值都小于或等于f(x0)(即f(x)≤f(x0))，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极大值，此时x0称为f(x)的一个极大值点． 如图2所示，设函数y＝f(x)在区间(a，b)内有定义，x0是区间(a，b)内的一个点，若点x0附近的函数值都大于或等于f(x0)(即f(x)≥f(x0))，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极小值，此时x0称为f(x)的一个极小值点． 极大值和极小值统称极值，极大值点和极小值点统称极值点． 若f′(c)＝0，则x＝c叫作函数f(x)的驻点． 注意点： (1)极值点不是点． (2)极值是函数的局部性质． (3)函数的极值不唯一． (4)极大值与极小值两者的大小关系不确定． (5)极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点． (6)若f′(c)＝0，则c不一定是极值点，即f′(c)＝0是f(x)在x＝c处取到极值的必要而不充分条件，函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点． 例1　(多选)函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断，正确的是(　　) A．函数y＝f(x)在区间内单调递减 B．函数y＝f(x)在区间(－2,2)内单调递增 C．当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值 D．当x＝2时，函数y＝f(x)有极大值 答案　BD 解析　对于A，当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 当x∈(2,3)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以A错误； 对于B，当x∈(－2,2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以B正确； 对于C，当x∈(－2,2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，故当x＝－时，f 不是极大值，所以C错误； 对于D，由A知，当x＝2时，函数y＝f(x)取得极大值，所以D正确． 反思感悟　解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数的还是导函数的，对于导函数的图象，重点考查在哪个区间上为正，哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在该点附近的导数值是如何变化的，若是由正值变为负值，则在该点处取得极大值；若是由负值变为正值，则在该点处取得极小值． 跟踪训练1　已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极小值点的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　A 解析　如图，在(a，c)，(d，b)上，f′(x)≥0， 所以函数f(x)在(a，c)，(d，b)上单调递增， 在(c，d)上，f′(x)<0，所以f(x)在(c，d)上单调递减， 所以当x＝c时，函数f(x)取得极大值，当x＝d时，函数f(x)取得极小值． 则函数y＝f(x)的极小值点的个数为1. 二、求函数的极值 例2　求下列函数的驻点，并判断其是否为极值点，若是，求出对应极值． (1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5； (2)f(x)＝＋3ln x. 解　(1)函数f(x)的定义域为R. f′(x)＝3x2－6x－9， 令f′(x)＝0， 即3x2－6x－9＝0， 解得x1＝－1，x2＝3. 所以x＝－1或x＝3为函数的驻点． 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示． x (－∞，－1) －1 (－1，3) 3 (3，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 递增↗ 极大值 递减↘ 极小值 递增↗ 所以当x＝－1时，函数y＝f(x)有极大值， 且f(－1)＝10； 当x＝3时，函数y＝f(x)有极小值， 且f(3)＝－22. (2)函数f(x)＝＋3ln x的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－＋＝. 令f′(x)＝0，解得x＝1， 所以x＝1为函数的驻点． 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示． x (0,1) 1 (1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) 递减↘ 极小值 递增↗ 所以当x＝1时，函数f(x)有极小值，为f(1)＝3，f(x)无极大值． 反思感悟　(1)函数极值和极值点的求解步骤 ①确定函数的定义域，并求导数f′(x)． ②求f(x)的驻点，即求方程f′(x)＝0的解． ③用方程f′(x)＝0的解顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格． ④对于方程f′(x)＝0的每一个解x0，分析f′(x)在x0左右两侧的符号，确定极值点． ⑤求出各极值点的函数值，就得到y＝f(x)的全部极值． (2)确定极值点，其记忆口诀为：左正右负为极大，左负右正为极小． 跟踪训练2　求下列函数的驻点，并判断其是否为极值点，若是，求出对应极值． (1)f(x)＝x2e－x； (2)f(x)＝x－aln x(a∈R)． 解　(1)函数f(x)的定义域为R， f′(x)＝2xe－x＋x2·e－x·(－x)′＝2xe－x－x2·e－x＝x(2－x)e－x. 令f′(x)＝0，即x(2－x)e－x＝0， 解得x＝0或x＝2，即x＝0或x＝2为函数f(x)的驻点． 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示． x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) 递减↘ 极小值 递增↗ 极大值 递减↘ 因此当x＝0时，f(x)取得极小值，且极小值为f(0)＝0； 当x＝2时，f(x)取得极大值， 且极大值为f(2)＝4e－2＝. (2)f(x)＝x－aln x的定义域为(0，＋∞)， 由f′(x)＝1－＝，x>0知 ①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，函数f(x)无驻点； ②当a>0时，由f′(x)＝0， 解得x＝a，即x＝a为函数f(x)的驻点． 又当x∈(0，a)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减； 当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增． 从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值． 综上，当a≤0时，函数f(x)无驻点；当a>0时，函数f(x)的驻点为x＝a，且在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值． 三、由极值求参数的值或范围 例3　(1)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，则a等于(　　) A．4或－3 B．4或－11 C．4 D．－3 答案　C 解析　∵f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2， ∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b. 由题意得 即 解得或 当时， f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0， 故函数f(x)单调递增，无极值，不符合题意． ∴a＝4. (2)若函数f(x)＝x2＋(a－1)x－aln x没有极值，则(　　) A．a＝－1 B．a≥0 C．a<－1 D．－1<a<0 答案　A 解析　f′(x)＝(x－1)，x>0， 当a≥0时，＋1>0， 令f′(x)<0，得0<x<1； 令f′(x)>0，得x>1， 则f(x)在x＝1处取极小值，不符合题意． 当a<0时，方程＋1＝0必有一个正数解x＝－a， ①若a＝－1，此正数解为x＝1， 此时f′(x)＝≥0， f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值． ②若a≠－1，此正数解为x≠1，f′(x)＝0必有2个不同的正数解，f(x)存在2个极值． 综上，a＝－1. 反思感悟　已知函数的极值求参数的方法 (1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号． 注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目中的条件． (2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立． 跟踪训练3　若函数f(x)＝x3－4x＋4的图象与直线y＝a恰有三个不同的交点，则实数a的取值范围是________． 答案　 解析　∵f(x)＝x3－4x＋4(x∈R)， ∴f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)． 令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示． x (－∞，－2) －2 (－2，2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 递增↗ 极大值 递减↘ 极小值 递增↗ ∴当x＝－2时，函数取得极大值f(－2)＝； 当x＝2时，函数取得极小值f(2)＝－. 且f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增． 根据函数单调性、极值的情况，它的图象大致如图所示， 结合图象知－<a<. 1．知识清单： (1)函数极值的概念． (2)函数极值的判定及求法． (3)函数极值的应用． 2．方法归纳：方程思想、分类讨论、数形结合． 3．常见误区：导数值等于零不是此点为极值点的充要条件． 1.函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下面结论错误的是(　　) A．在(1,2)上函数f(x)单调递增 B．在(3,4)上函数f(x)单调递减 C．在(1,3)上函数f(x)有极大值 D．x＝3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点 答案　D 解析　根据导函数图象知，当x∈(1,2)时，f′(x)>0；当x∈(2,4)时，f′(x)<0，当x∈(4,5)时，f′(x)>0. ∴f(x)在(1,2)，(4,5)上单调递增，在(2,4)上单调递减，x＝2是f(x)在[1,5]上的极大值点，x＝4是极小值点． 2．(多选)已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的单调递增区间是(　　) A．(－∞，2) B．(3，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－∞，3) 答案　AB 解析　∵f′(x)＝6x2＋2ax＋36，且在x＝2处有极值， ∴f′(2)＝0，即24＋4a＋36＝0，解得a＝－15， ∴f′(x)＝6x2－30x＋36＝6(x－2)(x－3)， 由f′(x)>0得x<2或x>3. 3．设函数f(x)＝xex，则(　　) A．x＝1为f(x)的极大值点 B．x＝1为f(x)的极小值点 C．x＝－1为f(x)的极大值点 D．x＝－1为f(x)的极小值点 答案　D 解析　f′(x)＝ex＋x·ex＝(1＋x)ex，令f′(x)＝0， 得x＝－1. 当x<－1时，f′(x)<0，则f(x)单调递减； 当x>－1时，f′(x)>0，则f(x)单调递增． 故x＝－1为f(x)的极小值点． 4．函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极大值－3，则a－b的值等于(　　) A．0 B．6 C．3 D．2 答案　A 解析　f′(x)＝12x2－2ax－2b，因为f(x)在x＝1处有极大值－3， 所以 解得a＝b＝3，经检验a＝b＝3满足题意，所以a－b＝0. 1．函数f(x)＝2x2－6x＋1的驻点为(　　) A．1 B. C．2 D．3 答案　B 解析　f′(x)＝4x－6，令f′(x)＝0， 得x＝. 2．下列函数中存在极值的是(　　) A．y＝ B．y＝x－ex C．y＝2 D．y＝x3 答案　B 解析　对于y＝x－ex，y′＝1－ex， 令y′＝0，得x＝0. 在区间(－∞，0)上，y′>0； 在区间(0，＋∞)上，y′<0. 故当x＝0时，函数y＝x－ex取得极大值． 3．若x＝1是函数f(x)＝ax3＋的一个极值点，则a的值为(　　) A. B．1 C．0 D. 答案　A 解析　由f(x)＝ax3＋，得f′(x)＝3ax2－，依题意可得f′(1)＝3a－1＝0，解得a＝，经检验，a＝满足题意． 4．函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e)上的极大值为(　　) A．－e B．－1 C．1－e D．0 答案　B 解析　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－1. 令f′(x)＝0，得x＝1. 当x∈(0,1)时，f′(x)>0，故f(x)单调递增； 当x∈(1，e)时，f′(x)<0，故f(x)单调递减； 故f(x)在x＝1处取得极大值f(1)＝ln 1－1＝0－1＝－1. 5.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　) A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) 答案　D 解析　由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0， 当－2<x<1时，f′(x)<0， 当1<x<2时，f′(x)<0， 当x>2时，f′(x)>0. 由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值． 6．已知函数f(x)＝2ln x＋ax2－3x在x＝2处取得极小值，则f(x)的极大值为(　　) A．2 B．－ C．3＋ln 2 D．－2＋2ln 2 答案　B 解析　由题意得，f′(x)＝＋2ax－3， ∵f(x)在x＝2处取得极小值， ∴f′(2)＝4a－2＝0，解得a＝， ∴f(x)＝2ln x＋x2－3x，x>0， f′(x)＝＋x－3＝， ∴f(x)在(0,1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减， ∴f(x)的极大值为f(1)＝－3＝－. 7．函数f(x)＝的极小值为________． 答案　－ 解析　f′(x)＝ ＝. 令f′(x)<0，得x<－2或x>1； 令f′(x)>0，得－2<x<1. 所以f(x)在(－∞，－2)，(1，＋∞)上单调递减， 在(－2,1)上单调递增， 所以f(x)极小值 ＝f(－2)＝－. 8．函数f(x)＝ax－1－ln x(a≤0)在定义域内的极值点的个数为________． 答案　0 解析　因为x>0，f′(x)＝a－＝， 所以当a≤0时，f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立， 所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减， 所以f(x)在(0，＋∞)上没有极值点． 9．设函数f(x)＝aln x＋＋x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴． (1)求a的值； (2)求函数f(x)的极值． 解　(1)f′(x)＝－＋(x>0)． 由题意知，曲线在x＝1处的切线斜率为0， 即f′(1)＝0， 从而a－＋＝0， 解得a＝－1. (2)由(1)知f(x)＝－ln x＋＋x＋1(x>0)， f′(x)＝－－＋ ＝＝. 令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－(舍去)． 当x∈(0,1)时，f′(x)<0， 故f(x)在(0,1)上单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上单调递增． 故f(x)在x＝1处取得极小值，极小值为f(1)＝3，无极大值． 10．设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a. (1)求f(x)的极值； (2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？ 解　(1)f′(x)＝3x2－2x－1. 令f′(x)＝0，得x＝－或x＝1. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示． x － 1 (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 递增↗ 极大值 递减↘ 极小值 递增↗ ∴f(x)的极大值是f ＝＋a， 极小值是f(1)＝a－1. (2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a ＝(x－1)2(x＋1)＋a－1， 由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)>0， x取足够小的负数时，有f(x)<0， ∴曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点． 由(1)知f(x)极大值＝f ＝＋a， f(x)极小值＝f(1)＝a－1. ∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点， ∴f(x)极大值<0或f(x)极小值>0， 即＋a<0或a－1>0， ∴a<－或a>1， ∴当a∈∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点． 11．已知函数f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1处的极值为0，则m＋n等于(　　) A．11 B．4或11 C．4 D．8 答案　A 解析　f′(x)＝3x2＋6mx＋n， 由题意知 解得 此时f(x)＝x3＋6x2＋9x＋4，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)，当－3<x<－1时，f′(x)<0，当x>－1时，f′(x)>0，故函数f(x)在x＝－1处取得极小值，符合题意，因此m＋n＝11. 12．若函数f(x)＝ex－ax－b在R上有小于0的极值点，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1,0) B．(0,1) C．(－∞，－1) D．(1，＋∞) 答案　B 解析　由题意知f′(x)＝ex－a. 当a≤0时，f′(x)>0恒成立，则f(x)在R上单调递增，不符合题意； 当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝ln a， ∴当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0. 可知x＝ln a为f(x)的极小值点， ∴ln a<0，∴a∈(0,1)． 13．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是(　　) 答案　C 解析　因为f(x)在x＝－2处取得极小值， 所以当x<－2时， f(x)单调递减， 即f′(x)<0； 当x>－2时，f(x)单调递增，即f′(x)>0. 所以当x<－2时，y＝xf′(x)>0； 当x＝－2时，y＝xf′(x)＝0； 当－2<x<0时，y＝xf′(x)<0； 当x＝0时，y＝xf′(x)＝0； 当x>0时，y＝xf′(x)>0. 结合选项中的图象知选C. 14．函数f(x)＝ex(x－aex)恰有两个极值点x1，x2(x1<x2)，则实数a的取值范围是________． 答案　 解析　∵函数f(x)＝ex(x－aex)， ∴f′(x)＝(x＋1－2aex)ex. ∵函数f(x)恰有两个极值点x1，x2， ∴x1，x2是方程f′(x)＝0的两个不相等的实数根． 令x＋1－2aex＝0，可知a≠0， ∴＝ex. 设y1＝(a≠0)，y2＝ex，在同一坐标系内画出两个函数的图象，如图所示． 要使这两个函数有两个不同的交点，应满足>1，解得0<a<， 所以实数a的取值范围为. 15.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx的图象如图所示，且f(x)在x＝x0与x＝2处取得极值，则f(1)＋f(－1)的值一定(　　) A．等于0 B．大于0 C．小于0 D．小于或等于0 答案　B 解析　f′(x)＝3ax2＋2bx＋c. 令f′(x)＝0，则x0和2是该方程的根． ∴x0＋2＝－<0，即>0. 由题图知，f′(x)<0的解集为(x0,2)， ∴3a>0，则b>0， ∵f(1)＋f(－1)＝2b， ∴f(1)＋f(－1)>0. 16．已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，当实数a≠时，求函数f(x)的单调区间与极值． 解　f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex. 令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2， 由a≠，得－2a≠a－2. 分以下两种情况讨论： ①若a>，则－2a<a－2. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示． x (－∞，－2a) －2a (－2a，a－2) a－2 (a－2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 递增↗ 极大值 递减↘ 极小值 递增↗ 所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)，单调递减区间为(－2a，a－2)，函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a，函数f(x)在x＝a－2处取得极小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)·ea－2. ②若a<，则－2a>a－2. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示． x (－∞，a－2) a－2 (a－2，－2a) －2a (－2a，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 递增↗ 极大值 递减↘ 极小值 递增↗ 所以f(x)的单调递增区间为(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)，单调递减区间为(a－2，－2a)， 函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)， 且f(a－2)＝(4－3a)ea－2， 函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)， 且f(－2a)＝3ae－2a. 学科网（北京）股份有限公司 $$