1.2.2 函数的和差积商求导法则-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （湘教版2019）

1.2.2　函数的和差积商求导法则 [学习目标]　1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和函数求导法则求函数的导数． 导语 同学们，上节课我们学习了基本初等函数的导数，实际上，它是我们整个导数的基础，而且我们也只会幂函数、指数函数、对数函数、三角函数这四类函数的求导法则，我们知道，可以对基本初等函数进行加减乘除等多种形式的组合，组合后的函数又如何求导，这将是我们本节课要解决的内容． 一、函数和、差的求导法则 问题1　设f(x)＝x3，g(x)＝x，计算(f(x)＋g(x))′，(f(x)－g(x))′，它们与f′(x)和g′(x)有什么关系？ 提示　设u(x)＝f(x)＋g(x)＝x3＋x， 则 ＝ ＝ ＝ ＝3x2＋3dx＋d2＋1， 当d→0时，3x2＋3dx＋d2＋1→3x2＋1， 即u′(x)＝3x2＋1， 又f′(x)＝3x2，g′(x)＝1， 则u′(x)＝f′(x)＋g′(x)， 即(f(x)＋g(x))′＝f′(x)＋g′(x)． 类似地，可得(f(x)－g(x))′＝3x2－1， 则(f(x)－g(x))′＝f′(x)－g′(x)． 知识梳理 1．函数常数倍的导数，等于常数乘函数的导数，即(cf(x))′＝cf′(x)． 2．两个函数和或差的导数： (f(x)±g(x))′＝f′(x)±g′(x)． 推广式：(f1(x)±f2(x)±…±fn(x))′ ＝f′1 (x)±f′2 (x)±…±f′n (x)． 注意点： 对于(logax)′＝，我们可以先换底再求导：(logax)′＝′＝·(ln x)′＝. 例1　求下列函数的导数： (1)y＝x5－x3＋cos x； (2)y＝lg x－ex. 解　(1)y′＝(x5)′－(x3)′＋(cos x)′＝5x4－3x2－sin x. (2)y′＝(lg x－ex)′＝(lg x)′－(ex)′＝－ex. 反思感悟　两个函数和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，对于每一项分别利用函数的求导法则即可． 跟踪训练1　求下列函数的导数： (1)f(x)＝x2＋sin x； (2)g(x)＝x3－x2－6x＋2. 解　(1)∵f(x)＝x2＋sin x， ∴f′(x)＝2x＋cos x. (2)∵g(x)＝x3－x2－6x＋2， ∴g′(x)＝3x2－3x－6. 二、函数的积与商的求导法则 问题2　设f(x)＝x3，g(x)＝x，分别计算(f(x)·g(x))′与f′(x)g′(x)，它们是否相等？′与是否相等？ 提示　因为(f(x)g(x))′＝(x4)′＝4x3， f′(x)g′(x)＝3x2·1＝3x2， ′＝(x－2)′＝－2x－3， ＝， 所以(f(x)g(x))′≠f′(x)g′(x)， ′≠. 知识梳理 1．(f(x)g(x))′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． 2.′＝－. 3.′＝. 例2　求下列函数的导数： (1)y＝x2＋xln x； (2)y＝； (3)y＝； (4)y＝(2x2－1)(3x＋1)． 解　(1)y′＝(x2＋xln x)′＝(x2)′＋(xln x)′ ＝2x＋(x)′ln x＋x(ln x)′ ＝2x＋ln x＋x· ＝2x＋ln x＋1. (2)y′＝′＝ ＝ ＝. (3)y′＝′＝＝. (4)方法一　y′＝[(2x2－1)(3x＋1)]′＝(2x2－1)′·(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′ ＝4x(3x＋1)＋(2x2－1)×3 ＝12x2＋4x＋6x2－3 ＝18x2＋4x－3. 方法二　∵y＝(2x2－1)(3x＋1) ＝6x3＋2x2－3x－1， ∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′ ＝(6x3)′＋(2x2)′－(3x)′－(1)′ ＝18x2＋4x－3. 反思感悟　利用函数求导法则的策略 (1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式． (2)如果求导式子比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等． (3)利用求导法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和、差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导． 跟踪训练2　求下列函数的导数： (1)y＝(x2＋1)(x－1)； (2)y＝x2＋tan x； (3)y＝. 解　(1)因为y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1， 所以y′＝3x2－2x＋1. (2)y′＝(x2)′＋(tan x)′ ＝2x＋. (3)y′＝ ＝＝. 三、函数求导法则的应用 例3　(1)日常生活中的饮用水通常都是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知1吨水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为c(x)＝.那么净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是(　　) A．－40元/吨 B．－10元/吨 C．10元/吨 D．40元/吨 答案　D 解析　净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数， 因为c(x)＝(80<x<100)． 所以c′(x)＝′＝， 又因为c′(90)＝＝40， 所以净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是40元/吨． (2)曲线y＝xln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是(　　) A. B. C．1 D．2 答案　B 解析　设曲线y＝xln x在点(x0，y0)处的切线与直线x－y－2＝0平行． ∵y′＝ln x＋1， ∴＝ln x0＋1＝1， 解得x0＝1， ∴y0＝0，即切点坐标为(1,0)． ∴切点(1,0)到直线x－y－2＝0的距离d＝＝， 即曲线y＝xln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是. 反思感悟　(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素，其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系． (2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确． (3)分清“在某点”和“过某点”导数的不同． 跟踪训练3　(1)记函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)＝3xf′(2)－2ln x，则f(1)等于(　　) A．1 B．2 C. D. 答案　D 解析　f′(x)＝3f′(2)－， ∴f′(2)＝3f′(2)－1， 解得f′(2)＝， ∴f(x)＝x－2ln x， ∴f(1)＝. (2)曲线y＝(x－1)ex在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积为________． 答案　1 解析　由题意可知，y′＝x·ex，y′|x＝1＝2， ∴切线方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0. 令x＝0得y＝－2；令y＝0得x＝1. ∴曲线y＝(x－1)ex在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积S＝×2×1＝1. 1．知识清单： (1)函数的和差积商求导法则． (2)综合运用导数公式和函数求导法则求函数的导数． 2．方法归纳：转化法． 3．常见误区：对于函数求导，一般要遵循先化简、再求导的基本原则． 1．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　∵f′(x)＝3ax2＋6x， ∴f′(－1)＝3a－6＝4， ∴a＝. 2．设函数y＝－2exsin x，则y′等于(　　) A．－2excos x B．－2exsin x C．2exsin x D．－2ex(sin x＋cos x) 答案　D 解析　y′＝－2(exsin x＋excos x) ＝－2ex(sin x＋cos x)． 3．若函数f(x)＝f′(－1)x2－2x＋3，则f′(－1)的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 答案　A 解析　因为f(x)＝f′(－1)x2－2x＋3， 所以f′(x)＝f′(－1)x－2， 所以f′(－1)＝f′(－1)×(－1)－2， 所以f′(－1)＝－1. 4．某物体作直线运动，其运动规律是s＝3t2＋2t＋4(t的单位：s，s的单位：m)，则它在第4 s末的瞬时速度为________m/s. 答案　26 解析　由题意得s＝3t2＋2t＋4， 可得瞬时速度v＝s′＝6t＋2，故它在第4 s末的瞬时速度为6×4＋2＝26(m/s)． 1．(多选)下列运算中正确的是(　　) A．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′ B．(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2′(x2)′ C.′＝ D．(cos xsin x)′＝(cos x)′sin x＋cos x(sin x)′ 答案　AD 解析　A项中，(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′，故正确； B项中，(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2(x2)′，故错误； C项中，′＝，故错误； D项中，(cos xsin x)′＝(cos x)′sin x＋cos x·(sin x)′，故正确． 2．曲线f(x)＝x3－x2＋5在x＝1处的切线的倾斜角为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　因为f′(x)＝x2－2x，k＝f′(1)＝－1，所以f(x)在x＝1处的切线的倾斜角为. 3．设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0等于(　　) A．e2 B．e C. D．ln 2 答案　B 解析　∵f(x)＝xln x，∴f′(x)＝ln x＋1(x>0)，由f′(x0)＝2，得ln x0＋1＝2，即ln x0＝1， 解得x0＝e. 4．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于(　　) A．－1 B．－2 C．2 D．0 答案　B 解析　∵f′(x)＝4ax3＋2bx，f′(x)为奇函数， ∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2. 5．已知f(x)＝x2＋sin，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的大致图象是(　　) 答案　A 解析　∵f(x)＝x2＋sin＝x2＋cos x， ∴f′(x)＝x－sin x．易知f′(x)＝x－sin x是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D.由f′＝－<0，排除C，故选A. 6．(多选)当函数y＝(a>0)在x＝x0处的导数为0时，那么x0可以是(　　) A．a B．0 C．－a D．a2 答案　AC 解析　y′＝′＝ ＝， 由x－a2＝0得x0＝±a. 7．在一次高台跳水比赛中，若某运动员在跳水过程中其重心相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t(单位：秒)存在函数关系h(t)＝10－5t2＋5t，则该运动员在起跳后1秒时的瞬时速度为________ 米/秒． 答案　－5 解析　h′(t)＝－10t＋5，则 h′(1)＝－10＋5＝－5. 8．曲线y＝ 在点(1,1)处的切线方程为 __________. 答案　x＋y－2＝0 解析　由y＝，得y′＝＝－，所以y′|x＝1＝－1， 故切线方程为y－1＝－(x－1)， 即x＋y－2＝0. 9．求下列函数的导数： (1)y＝ln x＋； (2)y＝； (3)y＝(x2＋9)； (4)y＝. 解　(1)y′＝′＝′＋′ ＝－. (2)y′＝′＝ ＝－. (3)y＝x3＋6x－，y′＝3x2＋＋6. (4)y′＝ ＝ ＝. 10．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8. (1)求a，b的值； (2)设函数g(x)＝exsin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程． 解　(1)因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)， 所以f′(x)＝2ax＋b， 又f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8. (2)由(1)可知g(x)＝exsin x＋x2－8x＋3， 所以g′(x)＝exsin x＋excos x＋2x－8， 所以g′(0)＝e0sin 0＋e0cos 0＋2×0－8＝－7， 又g(0)＝3， 所以曲线g(x)在x＝0处的切线方程为 y－3＝－7(x－0)， 即7x＋y－3＝0. 11．已知曲线f(x)＝(x＋a)ln x在点(1，f(1))处的切线与直线2x－y＝0垂直，则a等于(　　) A. B．1 C．－ D．－1 答案　C 解析　因为f(x)＝(x＋a)ln x，x>0， 所以f′(x)＝ln x＋(x＋a)·， 所以f′(1)＝1＋a. 又因为f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线2x－y＝0垂直， 所以f′(1)＝－，解得a＝－. 12．已知函数f(x)，g(x)，h(x)，且h(x)＝，若f(5)＝5，f′(5)＝3，g(5)＝4，g′(5)＝1，则h′(5)的值为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由已知得h′(x)＝，所以h′(5)＝＝＝. 13．生产某塑料管的利润函数为P(n)＝－n3＋600n2＋67 500n－1 200 000，其中n为工厂每月生产该塑料管的根数，利润P(n)的单位为元，其边际利润函数为P′(n)，则使P′(n)＝0的n＝_________________. 答案　450 解析　P′(n)＝－3n2＋1 200n＋67 500，令P′(n)＝0，n∈N＋，解得n＝450(负值舍去)． 14．已知函数f(x)＝2e·f′(e)·ln x－，则f(e)＝________. 答案　1 解析　因为f(x)＝2e·f′(e)·ln x－，则f′(x)＝－，所以f′(e)＝2f′(e)－，所以f′(e)＝，故f(x)＝2ln x－，因此f(e)＝2ln e－1＝1. 15．在等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝________. 答案　4 096 解析　因为f′(x)＝(x)′·[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]＋[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′·x＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′·x， 所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)·…·(0－a8)＋0＝a1a2…a8. 因为数列{an}为等比数列， 所以a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝8， 所以f′(0)＝84＝4 096. 16．已知函数f(x)＝，且f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切． (1)求函数f(x)的解析式； (2)若P(x0，y0)为f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象切于P点，求直线l的斜率k的取值范围． 解　(1)由题意得 f′(x)＝ ＝＝， 因为f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切， 所以解得 则f(x)＝. (2)由(1)可得，f′(x)＝， 所以直线l的斜率 k＝f′(x0)＝＝4， 令t＝，则t∈(0,1]， 所以k＝4(2t2－t)＝82－， 则k在对称轴t＝处取到最小值－，在t＝1处取到最大值4， 所以直线l的斜率k的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$