1.2.1 几个基本函数的导数-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （湘教版2019）

1.2.1　几个基本函数的导数 [学习目标]　1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数.2.能利用给出的基本初等函数的求导公式求简单函数的导数． 导语 高铁是目前非常受欢迎的交通工具，既低碳又快捷．设一高铁走过的路程s关于时间t的函数为s＝f(t)，求它的瞬时速度，即f(t)的导数．根据导数的定义，运算比较复杂，是否有更好的求导方法呢？而且，对于y＝sin x，y＝ln x等很难运用定义求导的函数，是否有更简便的求导方法呢？ 一、基本初等函数的求导公式 问题1　回顾之前所学，你学过哪些基本初等函数？ 提示　幂函数、指数函数、对数函数、三角函数． 问题2　如何求常数函数f(x)＝c的导数？ 提示　＝＝＝0， 当d→0时，0当然还是0， 所以f′(x)＝(c)′＝0，即(c)′＝0. 我们通过同样的方法容易得到几个常见的幂函数的导数： f(x)＝x⇒f′(x)＝1＝x1－1； f(x)＝x2⇒f′(x)＝2x＝2x2－1； f(x)＝x3⇒f′(x)＝3x2＝3x3－1； f(x)＝＝x－1⇒f′(x)＝－x－2＝－x－1－1； f(x)＝＝ ⇒f′(x)＝＝. 通过观察上面几个式子，我们发现了这几个幂函数求导的规律，即(xk)′＝kxk－1 . 知识梳理 基本初等函数的求导公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝ax(a>0，a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ln x f′(x)＝ f(x)＝logax(a>0，a≠1) f′(x)＝ f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝tan x f′(x)＝ 注意点： 对于根式f(x)＝，要先转化为f(x)＝，所以f′(x)＝. 例1　求下列函数的导数： (1)y＝x0(x≠0)； (2)y＝x； (3)y＝lg x； (4)y＝； (5)y＝2cos2－1. 解　(1)y′＝0. (2)y′＝xln ＝－xln 3. (3)y′＝. (4)∵y＝＝， ∴y′＝＝. (5)∵y＝2cos2－1＝cos x， ∴y′＝(cos x)′＝－sin x. 反思感悟　(1)若所求函数符合基本初等函数的导数公式，则直接利用公式求导． (2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导． (3)要特别注意“与ln x”，“ax与logax”，“sin x与cos x”的导数的区别． 跟踪训练1　求下列函数的导数： (1)y＝2 023； (2)y＝； (3)y＝4x； (4)y＝log3x. 解　(1)因为y＝2 023， 所以y′＝(2 023)′＝0. (2)因为y＝＝， 所以y′＝. (3)因为y＝4x， 所以y′＝4xln 4. (4)因为y＝log3x， 所以y′＝. 二、利用导数研究曲线的切线方程 例2　已知曲线y＝ln x，点P(e,1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程． 解　∵y′＝， ∴k＝， ∴切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0. 延伸探究　 1．已知y＝kx＋1是曲线y＝ln x的一条切线，则k＝ . 答案　 解析　设切点坐标为(x0，y0)， 由题意得y′＝， ∴k＝， 又y0＝kx0＋1，y0＝ln x0， 解得y0＝2，x0＝e2，∴k＝. 2．求曲线y＝ln x过点O(0,0)的切线方程． 解　∵O(0,0)不在曲线y＝ln x上． ∴设切点为Q(x0，y0)， 则切线的斜率k＝. 又切线的斜率k＝＝， ∴＝，即x0＝e， ∴Q(e,1)， ∴k＝， ∴切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0. 反思感悟　(1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 ①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数； ②若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． (2)求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤 跟踪训练2　(1)函数y＝x3在点(2,8)处的切线方程为(　　) A．y＝12x－16 B．y＝12x＋16 C．y＝－12x－16 D．y＝－12x＋16 答案　A 解析　因为y′＝3x2， 当x＝2时，y′＝12， 故切线的斜率为12， 切线方程为y＝12x－16. (2)已知曲线y＝ln x的一条切线方程为x－y＋c＝0，则c的值为 ． 答案　－1 解析　设切点为(x0，ln x0)， 由y＝ln x得y′＝. 因为曲线y＝ln x在x＝x0处的切线方程为x－y＋c＝0，其斜率为1. 所以有＝1， 即x0＝1，所以切点为(1,0)． 所以1－0＋c＝0， 解得c＝－1. 三、导数公式的实际应用 例3　如图，质点P在半径为1 m的圆上沿逆时针做匀角速运动，角速度为1 rad/s，设A为起始点，求时刻t时，点P在y轴上的投影点M的速度． 解　时刻t时，∵角速度为1 rad/s， ∴∠POA＝1·t＝t rad， ∴∠MPO＝∠POA＝t rad， ∴OM＝OP·sin∠MPO＝1·sin t， ∴点M的运动方程为y＝sin t， ∴v＝y′＝(sin t)′＝cos t， 即时刻t时，点P在y轴上的投影点M的速度为cos t m/s. 反思感悟　由导数的定义可知，导数是瞬时变化率，所以求某个量的变化速度，就是求相关函数在某点处的导数． 跟踪训练3　从时刻t＝0开始的t秒内，通过某导体的电量(单位：库仑)可以由公式q＝cos t表示．求第5秒和第7秒时的电流强度(单位：安)． 解　由q＝cos t得q′＝－sin t， 所以q′(5)＝－sin 5，q′(7)＝－sin 7， 即第5秒，第7秒时的电流强度分别是－sin 5安，－sin 7安． 1．知识清单： (1)常用函数的导数． (2)基本初等函数的导数公式及应用． (3)利用导数研究曲线的切线方程． 2．方法归纳：求导时方程思想、待定系数法． 3．常见误区：求导时不化简成基本初等函数． 1．(多选)下列选项正确的是(　　) A．若y＝ln 2，则y′＝ B．若y＝，则y′＝－ C．若y＝2x，则y′＝2xln 2 D．若y＝log2x，则y′＝ 答案　BCD 解析　对于A，y′＝0，故A错误； 对于B，∵y＝＝x－2，∴y′＝－2x－3＝－，故B正确； 显然C，D正确． 2．一质点的运动方程为s＝cos t，则当t＝1时质点的瞬时速度为(　　) A．2cos 1 B．－sin 1 C．sin 1 D．2sin 1 答案　B 解析　s′＝－sin t，当t＝1时，s′＝－sin 1， 所以当t＝1时质点的瞬时速度为－sin 1. 3．已知f(x)＝，则f′(8)等于(　　) A．0 B．2 C. D．－1 答案　C 解析　由f(x)＝，得f′(x)＝， ∴f′(8)＝×＝. 4．曲线y＝在点M(1,1)处的切线方程是 ． 答案　x＋y－2＝0 解析　令y＝f(x)＝， ∵f′(x)＝－， ∴f′(1)＝－1， 即在点M(1,1)处的切线的斜率为－1， 故切线方程为y－1＝－(x－1)， 即x＋y－2＝0. 1．下列求导运算正确的是(　　) A．(ex)′＝xex－1 B．(x3)′＝x3ln x C．(2 023x)′＝2 023xln 2 023 D．(ln x)′＝ 答案　C 解析　由基本初等函数的求导公式可知C正确． 2．已知y＝sin 30°，则y′等于(　　) A. B. C．0 D．不存在 答案　C 解析　函数y＝sin 30°为常数函数，导数为0. 3．已知f(x)＝sin，则f′(x)等于(　　) A．cos x B．－cos x C．sin x D．－sin x 答案　D 解析　因为f(x)＝sin＝cos x， 所以f′(x)＝－sin x. 4．已知函数f(x)＝xα(α∈R，且α≠0)，若f′(－1)＝－4，则α的值等于(　　) A．4 B．－4 C．5 D．－5 答案　A 解析　∵f′(x)＝αxα－1， ∴f′(－1)＝α(－1)α－1＝－4， ∴α＝4. 5．已知f(x)＝x2，g(x)＝x，若m满足f′(m)＋g′(m)＝3，则m的值为(　　) A．1 B．3 C．5 D．7 答案　A 解析　f′(x)＋g′(x)＝2x＋1， ∴2m＋1＝3，解得m＝1. 6．(多选)已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时，P点的坐标为(　　) A．(－1,1) B．(－1，－1) C．(1,1) D．(1，－1) 答案　BC 解析　y′＝3x2，因为k＝3， 所以3x2＝3，所以x＝±1， 则P点坐标为(－1，－1)或(1,1)． 7．若曲线y＝在点P(a，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是 ． 答案　4 解析　因为y′＝， 所以切线方程为y－＝(x－a)， 令x＝0，得y＝， 令y＝0，得x＝－a， 由题意知··a＝2，所以a＝4. 8．假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5%，物价p(单位：元)与时间t(单位：年)之间的关系为p(t)＝p0(1＋5%)t，其中p0为t＝0时的物价．假定某种商品的p0＝1，那么在第10个年头，这种商品价格上涨的速度大约是 ．(精确到0.01元/年，其中1.0510≈1.63，ln 1.05≈0.05) 答案　0.08 解析　当p0＝1时，p(t)＝1.05t，∴p′(t)＝1.05tln 1.05.∴p′(10)＝1.0510ln 1.05≈0.08. 9．设b为实数，直线y＝x＋b能作为下列函数图象的切线吗？若能，求出切点坐标；若不能，简述理由． (1)f(x)＝； (2)f(x)＝x4； (3)f(x)＝ex. 解　(1)因为f(x)＝，所以f′(x)＝－， 令f′(x)＝－＝，无解， 所以直线y＝x＋b不能作为函数图象的切线． (2)因为f(x)＝x4，所以f′(x)＝4x3， 令f′(x)＝4x3＝，解得x＝，此时y＝， 所以切点坐标为， 所以直线y＝x＋b能作为函数图象的切线． (3)因为f(x)＝ex，所以f′(x)＝ex， 令f′(x)＝ex＝，解得x＝ln ，此时y＝， 所以切点坐标为， 所以直线y＝x＋b能作为函数图象的切线． 10．点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离． 解　如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近． 则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y′＝(ex)′＝ex， 所以＝1，得x0＝0， 代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)． 则点P到直线y＝x的最小距离d＝＝. 11．已知函数y＝f(x)在x＝1处的切线与直线x＋y－3＝0垂直，则f′(1)等于(　　) A．2 B．0 C．1 D．－1 答案　C 解析　由题可知，函数y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为f′(1)，因为直线x＋y－3＝0的斜率为－1，所以－f′(1)＝－1，解得f′(1)＝1，故选C. 12．已知点P在曲线y＝sin2－cos2上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　) A.∪ B．[0，π) C. D.∪ 答案　A 解析　∵y＝sin2－cos2＝－cos x，∴y′＝sin x．设P(x0，y0)，则曲线在点P处的切线的斜率为k＝tan α＝sin x0，∴－1≤tan α≤1.∵0≤α<π，∴α∈∪. 13．已知直线y＝kx是曲线y＝3x的切线，则k的值为 ． 答案　eln 3　 解析　设切点为(x0，y0)，因为y′＝3xln 3，所以k＝ln 3，所以y＝ln 3·x. 又因为(x0，y0)在曲线y＝3x上，所以ln 3·x0＝， 所以x0＝＝log3e，所以k＝eln 3. 14．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 023(x)＝ . 答案　－cos x 解析　由已知得，f1(x)＝cos x，f2(x)＝－sin x， f3(x)＝－cos x，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos x，…，依此类推可得，函数呈周期变化，且周期为4，则f2 023(x)＝f3(x)＝－cos x. 15．函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N＋，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是 ． 答案　21 解析　∵y′＝2x，∴y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线方程为y－a＝2ak(x－ak)． 又该切线与x轴的交点坐标为(ak＋1,0)， ∴ak＋1＝ak，即数列{ak}是首项为a1＝16，公比为q＝的等比数列， ∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21. 16．设曲线y＝xn＋1(n∈N＋)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lg xn，求a1＋a2＋…＋a99的值． 解　导函数y′＝(n＋1)xn， 切线斜率k＝n＋1， 所以切线方程为y＝(n＋1)x－n， 可求得切线与x轴的交点为， 则an＝lg ＝lg n－lg(n＋1)， 所以a1＋a2＋…＋a99＝(lg 1－lg 2)＋(lg 2－lg 3)＋…＋(lg 99－lg 100)＝lg 1－lg 100＝－2. 学科网（北京）股份有限公司 $$