1.1.3 导数的几何意义-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （湘教版2019）

1.1.3　导数的几何意义 [学习目标]　1.理解导数的几何意义，会求导数.2.会求曲线的切线方程． 导语 某短跑运动员在200米比赛中，以19秒19夺冠，赛后，该短跑运动员的教练研究其弯道技术时，通过回放录像分析其弯道时的运动方向，这需要求运动曲线在任一点的切线，怎样求曲线的切线？ 一、导数的几何意义 问题1　导数f′(x0)的几何意义是什么？ 提示　我们知道导数f′(x0)表示函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，反映了函数y＝f(x)在x＝x0附近的变化情况，如图． 容易发现，平均变化率表示的是割线P0P的斜率，当P点沿着曲线无限趋近于P0点时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置的直线P0T称为曲线y＝f(x)在点P0处的切线，因此，切线P0T的斜率k就是函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)，即k＝f′(x0)，这就是导数的几何意义． 知识梳理 导数f′(x)的几何意义就是该曲线在点(x，f(x))处的切线的斜率． 例1　已知函数f(x)＝x2，在曲线y＝f(x)上某点P处的切线满足下列条件，分别求出P点． (1)平行于直线y＝4x－5； (2)垂直于直线2x－6y＋5＝0； (3)与x轴成135°的倾斜角． 解　设P(x0，y0)是满足条件的点， ∵＝＝2x0＋d， 当d→0时，2x0＋d→2x0， ∴过点P的切线的斜率k＝2x0. (1)∵切线与直线y＝4x－5平行， ∴2x0＝4，x0＝2，y0＝4， 即P(2,4)是满足条件的点． (2)∵切线与直线2x－6y＋5＝0垂直， ∴2x0·＝－1，得x0＝－，y0＝， 即P是满足条件的点． (3)∵切线与x轴成135°的倾斜角， ∴其斜率为－1. 即2x0＝－1，得x0＝－，y0＝， 即P是满足条件的点． 反思感悟　切点坐标的求法 (1)设切点坐标为(x0，y0)． (2)求切线的斜率f′(x0)． (3)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0. (4)将x0代入f(x)，求y0，得切点坐标． 跟踪训练1　若函数f(x)在x＝3处的导数f′(3)＝，则曲线f(x)在(3，f(3))处的切线的倾斜角θ＝________. 答案　60° 解析　因为斜率k＝f′(3)＝，即tan θ＝，所以倾斜角θ＝60°. 二、求曲线在某点处的切线方程 问题2　如何求曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程？ 提示　根据导数的几何意义，求出函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，再由直线的点斜式方程求出切线方程． 问题3　曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？ 提示　不一定．曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线l与曲线y＝f(x)的交点个数不一定只有一个，如图所示． 例2　已知曲线y＝x3＋，求曲线在点P(2,4)处的切线方程． 解　 ＝ ＝4＋2d＋d2. 当d→0时，4＋2d＋d2→4. ∴f′(2)＝4， 由于点P(2,4)在曲线y＝x3＋上， ∴曲线在点P处的切线的斜率k＝f′(2)＝4. 故曲线在点P处的切线方程为 y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0. 反思感悟　求曲线在某点处的切线方程，先由导数的几何意义求出斜率，再根据直线的点斜式方程写出切线方程． 跟踪训练2　求曲线y＝在点处的切线方程． 解　＝＝－， 当d→0时，－→－. ∴f′(2)＝－， ∵点在曲线y＝上， ∴曲线在点处的切线的斜率为－， 由直线的点斜式方程可得切线方程为 y－＝－(x－2)， 即x＋4y－4＝0. 三、求曲线过某点的切线方程 问题4　如何求过点(x1，y1)的曲线y＝f(x)的切线方程？ 提示　过点(x1，y1)的曲线y＝f(x)的切线方程的求解步骤 (1)设切点(x0，f(x0))． (2)建立方程f′(x0)＝. (3)解方程得k＝f′(x0)，由x0，f(x0)及k，写出切线方程． 例3　求抛物线y＝f(x)＝x2过点的切线方程． 解　设过点的切线与抛物线相切于点， ∵＝＝x0＋d， 当d→0时，x0＋d→x0， ∴过切点的切线的斜率k＝f′(x0)＝x0， ∴＝x0， 即x－8x0＋7＝0，解得x0＝7或x0＝1， 即切点坐标为，， 故切线方程为y－＝(x－7)或y－＝(x－1)， 即所求的切线方程为14x－4y－49＝0或2x－4y－1＝0. 反思感悟　求曲线过某点的切线方程时，该点未必是切点，应该设出切点坐标(x0，y0)，根据导数的几何意义和斜率公式列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程． 跟踪训练3　已知曲线C：y＝x3. (1)求曲线C在x＝1处的切线方程； (2)求曲线C过点(1,1)的切线方程． 解　(1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1， 所以切点为(1,1)， 由题意得＝＝3＋3d＋d2， 当d→0时，3＋3d＋d2→3， 所以曲线C在点(1,1)处的切线的斜率为3， 故曲线C在点(1,1)处的切线的方程为 y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0. (2)设过点(1,1)的直线与曲线C相切于点(x0，y0)， 则＝＝3x0d＋3x＋d2， 当d→0时，3x0d＋3x＋d2→3x， 由题意可知切线方程为y－y0＝3x(x－x0)， 又切线过点(1,1)， 所以1－y0＝3x(1－x0)， 又y0＝x， 所以1－x＝3x(1－x0)， 整理得(x0－1)2(2x0＋1)＝0， 解得x0＝1或x0＝－. ①当x0＝1时，切点坐标为(1,1)，相应的切线方程为3x－y－2＝0. ②当x0＝－时，切点坐标为，相应的切线方程为y＋＝，即3x－4y＋1＝0. 故所求的切线方程为3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0. 1．知识清单： (1)导数的几何意义． (2)求曲线在某点处的切线方程． (3)求曲线过某点的切线方程． 2．方法归纳：方程思想、数形结合． 3．常见误区：曲线过某点，该点不一定是切点． 1.已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　) A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)<f′(xB) C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定 答案　B 解析　由导数的几何意义，知f′(xA)，f′(xB)分别是曲线在点A，B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)<f′(xB)． 2．若f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线(　　) A．不存在 B．与x轴平行或重合 C．与x轴垂直 D．与x轴斜交 答案　B 解析　因为f′(x0)＝0，所以曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率为0，即在点(x0，f(x0))处的切线与x轴平行或重合． 3．已知曲线f(x)＝x2＋x的一条切线的斜率是3，则该切点的横坐标为(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案　D 解析　设切点坐标为(x0，y0)， 则 ＝ ＝x0＋1＋d， 当d→0时，x0＋1＋d→x0＋1， ∴f′(x0)＝x0＋1＝3，∴x0＝2. 4．已知曲线y＝f(x)＝2x2＋1在某点处的切线的倾斜角为45°，则该切点的坐标为________． 答案　 解析　设切点坐标为(x0，y0)， 则＝4x0＋2d， 当d→0时，4x0＋2d→4x0， 又切线的斜率k＝tan 45°＝1， ∴4x0＝1，即x0＝， ∴y0＝2×2＋1＝， ∴切点坐标为. 1．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)等于(　　) A．4 B．－4 C．－2 D．2 答案　D 解析　由导数的几何意义知f′(1)＝2. 2．(多选)下面说法不正确的是(　　) A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线 B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在 C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在 D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在 答案　ABD 解析　根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故A，B，D错误． 3．曲线f(x)＝x2在点A(2,4)处的切线斜率为(　　) A．4 B．16 C．8 D．2 答案　A 解析　＝＝＝4＋d， 当d→0时，4＋d→4， 则f′(2)＝4， ∴曲线在点A处的切线斜率为4. 4．若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为(　　) A．4x－y－4＝0 B．x＋4y－5＝0 C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0 答案　A 解析　设切点为(x0，y0)， 则＝＝2x0＋d， 当d→0时，2x0＋d→2x0， 则kl＝2x0， 又由题意可知，2x0·＝－1，解得x0＝2. 所以切点坐标为(2,4)， 切线方程为y－4＝4(x－2)， 即4x－y－4＝0. 5．已知函数f(x)满足f′(x1)>0，f′(x2)<0，则在x1和x2附近符合条件的f(x)的图象大致是(　　) 答案　D 解析　由f′(x1)>0，f′(x2)<0可知，f(x)的图象在x1处切线的斜率为正，在x2处切线的斜率为负． 6．(多选)下列各点中，在曲线y＝f(x)＝x3－2x上，且在该点处的切线倾斜角为的是(　　) A．(0,0) B．(1，－1) C．(－1,1) D．(1,1) 答案　BC 解析　设切点坐标为(x0，y0)， ＝ ＝3x－2＋3x0d＋d2， 当d→0时，3x－2＋3x0d＋d2→3x－2， 则k＝f′(x0)＝3x－2， 又由题意知k＝tan ＝1， ∴3x－2＝1， ∴x0＝±1， 当x0＝1时，y0＝－1， 当x0＝－1时，y0＝1. 故切点坐标为(1，－1)或(－1,1)． 7．已知函数y＝f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则f′(2)＝________. 答案　3 解析　因为直线3x－y－2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知f′(2)＝3. 8．已知f(x)＝x2＋ax，f′(1)＝4，曲线f(x)在x＝1处的切线在y轴上的截距为－1，则实数a的值为________． 答案　2 解析　由导数的几何意义，得切线的斜率k＝f′(1)＝4. 又切线在y轴上的截距为－1， 所以曲线f(x)在x＝1处的切线方程为y＝4x－1， 从而可得切点坐标为(1,3)， 所以f(1)＝1＋a＝3，即a＝2. 9．求过点P(－1,2)且与曲线f(x)＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程． 解　＝ ＝3d＋2. 当d→0时，3d＋2→2， ∴曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线斜率为2. ∴过点P(－1,2)的直线的斜率为2， 由点斜式方程得y－2＝2(x＋1)， 即2x－y＋4＝0. 所以所求直线方程为2x－y＋4＝0. 10．已知曲线y＝f(x)＝x－(x>0)在点P(x0，y0)处的切线分别与x轴、y轴交于点A，B，O是坐标原点，若△OAB的面积为，求实数x0的值． 解　 ＝ ＝1＋， 当d→0时，1＋→1＋， ∴切线的斜率k＝f′(x0)＝1＋， 则切线的方程为y－x0＋＝(x－x0)． 令x＝0得y＝－，令y＝0得x＝， ∴S△OAB＝××＝， 解得x0＝(负根舍去)． 11．已知函数y＝f(x)＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D. 答案　B 解析　由题意得f′(1)＝2， 又＝2a＋ad， 当d→0时，2a＋ad→2a， ∴2a＝2，即a＝1， 又f(1)＝a＋b＝3，则b＝2， ∴＝2. 12．若曲线y＝f(x)＝x＋上任意一点P处的切线斜率为k，则k的取值范围是(　　) A．(－∞，－1) B．(－1,1) C．(－∞，1) D．(1，＋∞) 答案　C 解析　∵曲线y＝f(x)＝x＋上任意一点P处的切线斜率为k， 设点P(x0，y0)， 则 ＝ ＝1－， 当d→0时，1－→1－， ∴k＝f′(x0)＝1－<1. 13.已知函数f(x)的图象如图所示，则下列不等式正确的是(　　) A．f′(a)<f′(b)<f′(c) B．f′(b)<f′(c)<f′(a) C．f′(a)<f′(c)<f′(b) D．f′(c)<f′(a)<f′(b) 答案　A 解析　如图，分别作曲线在x＝a，x＝b，x＝c三处的切线l1，l2，l3，设切线的斜率分别为k1，k2，k3，易知k1<k2<k3，又f′(a)＝k1，f′(b)＝k2，f′(c)＝k3，所以f′(a)<f′(b)<f′(c)． 14．若点P是曲线y＝f(x)＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为________． 答案　 解析　由题意可得，当点P到直线y＝x－2的距离最小时，点P为曲线y＝f(x)＝x2的一条切线的切点，且该切线平行于直线y＝x－2， 设点P(x0，y0)， 由导数的几何意义知＝2x0＋d， 当d→0时，2x0＋d→2x0， 所以2x0＝1，解得x0＝， 则y0＝， 所以点P的坐标为， 故点P到直线y＝x－2的最小距离为＝. 15．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，f′(0)>0，且对于任意实数x，都有f(x)≥0，则的最小值为________． 答案　2 解析　∵＝＝b＋ad， 当d→0时，b＋ad→b， ∴f′(0)＝b>0， 又∴ac≥，∴c>0. ∴＝≥≥＝2. 当且仅当a＝c＝时等号成立． 16．点P在曲线y＝f(x)＝x2＋1上，且曲线y＝f(x)在点P处的切线与曲线y＝－2x2－1相切，求点P的坐标． 解　设P(x0，y0)， 则y0＝x＋1， ＝＝2x0＋d， 当d→0时，2x0＋d→2x0， 所以曲线y＝f(x)在点P处的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)， 即y＝2x0x＋1－x， 又此切线与曲线y＝－2x2－1相切， 所以切线与曲线y＝－2x2－1只有一个公共点， 由 得2x2＋2x0x＋2－x＝0， 则Δ＝4x－8(2－x)＝0， 解得x0＝±，则y0＝， 所以点P的坐标为或. 学科网（北京）股份有限公司 $$