1.1.2 瞬时变化率与导数-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （湘教版2019）

1.1.2　瞬时变化率与导数 [学习目标]　1.理解瞬时速度的意义，会求运动方程的瞬时速度.2.知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想． 导语 通过上一节课的学习，我们知道了怎样求运动物体在某一时段的平均速度，采用“平均变化率”无限逼近“瞬时变化率”的思想方法可以求物体运动的瞬时速度．比如大家在经过红绿灯路口时，容易发现测速探头会在极短时间内拍两次，然后看你发生的位移，原理就是无限逼近的思想，今天我们用上述思想方法继续研究更一般的问题． 一、瞬时速度 问题　我们也发现了高速路上区间测速的弊端，因为如果某人发现超速了，他只需踩下刹车，让车辆低速行驶一段时间即可，你认为，我们应该如何改进高速路上的区间测速问题？ 提示　由＝可知，我们可以减小路程区间的长度，在最小路程下，看所用的时间，或者在较少的相同时间内，看汽车所经过的路程，这样似乎都不可避免违法行为的产生，于是，我们有了一个大胆的想法，如果我们能测量汽车的瞬时速度就好了．函数值的增量为f(t2)－f(t1)，自变量的增量t2－t1记为d，即d＝t2－t1，这里的d看成是t1的一个增量，可用t1＋d来表示t2，则平均速度可记为＝，我们发现如果时间的增量d无限小，此时在极短的时间内的平均速度就可以近似等于在时间t＝t1时的瞬时速度，这就需要用到我们数学中的“极限”思想，意思就是让d无限趋近于0. 知识梳理 瞬时速度 若物体的运动方程为s＝f(t)，则物体在任意时刻t的瞬时速度v(t)，就是平均速度v(t，d)＝在d趋近于0时的极限． 注意点： (1)在匀速直线运动中，平均速度即为瞬时速度； (2)在匀变速直线运动中，某一段时间的平均速度等于中间时刻的瞬时速度． 例1　某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度． 解　在[1,1＋d]这段时间内，物体的平均速度 ＝ ＝＝3＋d， 当d趋近于0时，趋近于3， 即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s. 延伸探究　 1．若本例中的条件不变，试求物体的初速度． 解　求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度， ∵＝＝＝1＋d， ∴当d趋近于0时，1＋d趋近于1， 即物体的初速度为1 m/s. 2．若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s? 解　设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s. 又＝＝2t0＋1＋d. ∴当d趋近于0时，2t0＋1＋d趋近于2t0＋1， 则2t0＋1＝9，∴t0＝4. 则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s. 反思感悟　求运动物体瞬时速度的三个步骤 (1)求时间改变量d和位移改变量s(t0＋d)－s(t0)． (2)求平均速度＝. (3)求瞬时速度，当d趋近于0时，趋近于的常数v即为瞬时速度． 跟踪训练1　一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值． 解　∵质点M在t＝2 s附近的平均变化率为 ＝＝4a＋ad， ∴当d趋近于0时，4a＋ad趋近于4a， ∴当t＝2 s时，瞬时速度为4a， 则4a＝8，解得a＝2. 二、瞬时变化率、函数的导数 知识梳理 1．一般地，若函数y＝f(x)的平均变化率在d趋近于0时，有确定的极限值，则称这个值为该函数在x＝u处的瞬时变化率． 2．设函数y＝f(x)在包含x0的某个区间上有定义，在d趋近于0时，如果比值趋近于一个确定的极限值，则称此极限值为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数或微商，记作f′(x0)．这时我们就说f(x)在点x0处的导数存在，或者说f(x)在点x0处可导或可微． 3．若y＝f(x)在定义区间中任一点的导数都存在，则f′(x)(或y′)也是x的函数，我们把f′(x)(或y′)叫作y＝f(x)的导函数或一阶导数． 注意点： 若f′(x)在定义区间中任一点处都可导，则它的导数叫作f(x)的二阶导数，记作f″(x)．类似地，可以定义三阶导数f(x)等等． 例2　求函数y＝f(x)＝x－在x＝－1处的导数． 解　函数增量为f(－1＋d)－f(－1)＝－1＋d－－0＝， ∴函数的平均变化率为＝， 当d趋近于0时，趋近于2. ∴f′(－1)＝2. 反思感悟　求函数y＝f(x)在x0处的导数的三个步骤 简称：一差、二比、三极限． 跟踪训练2　(1)f(x)＝x2在x＝1处的导数为(　　) A．2x B．2 C．2＋d D．1 答案　B 解析　函数的平均变化率为 ＝＝2＋d. 当d趋近于0时，2＋d趋近于2. (2)已知f(x)＝，且f′(m)＝－，则m的值等于(　　) A．－4 B．2 C．－2 D．±2 答案　D 解析　因为平均变化率为 ＝＝.当d→0时， →－， 所以－＝－，m2＝4，解得m＝±2. 三、导数的实际意义 例3　某机械厂生产一种木材旋切机，已知总利润c(单位：万元)与产量x(单位：千台)之间的关系式为c(x)＝－2x2＋7x＋6.求c′(1)与c′(2)，并说明它们的实际意义． 解　设x＝1时产量的改变量为d， 则＝ ＝－2d＋3， 当d→0时，－2d＋3→3，即c′(1)＝3； 设x＝2时产量的改变量为d， 则＝ ＝－2d－1， 当d→0时，－2d－1→－1，即c′(2)＝－1. c′(1)的实际意义：当产量为1 000台时，多生产1台旋切机可多获利3万元； c′(2)的实际意义：当产量为2 000台时，多生产1台旋切机少获利1万元． 反思感悟　(1)函数f(x)在某一点处导数的实际意义是当自变量在该点处的改变量趋近于零时，平均变化率所趋近的值． (2)解释导数的实际意义的思路 ①设自变量在x＝x0处的改变量为d，求平均变化率． ②令d→0，得f′(x0)． ③解释f′(x0)的实际意义 跟踪训练3　一只昆虫的爬行路程s(单位：米)是关于时间t(单位：分)的函数： s＝ 计算该昆虫第1分，第4分的瞬时变化率，并解释它们的实际意义． 解　当0≤t<3时，s(t)＝3t2， ＝＝6＋3d， 当d→0时，6＋3d→6， ∴s′(1)＝6. 当t≥3时，s(t)＝15＋3(t－1)2， ＝ ＝18＋3d， 当d→0时，18＋3d→18， ∴s′(4)＝18. s′(1)＝6说明在第1分钟时，该昆虫爬行的瞬时速度为6米/分，s′(4)＝18说明在第4分钟时，该昆虫爬行的瞬时速度为18米/分． 1．知识清单： (1)瞬时变化率． (2)函数在某点处的导数． (3)导数的实际意义． 2．方法归纳：无限逼近的思想． 3．常见误区： (1)不能区分平均变化率、瞬时变化率致错． (2)忽视导数定义中自变量增量与函数值增量的对应关系致错． 1．已知物体做直线运动的方程为s＝s(t)(位移单位：m，时间单位：s)，则s′(4)＝10 m/s表示的意义是(　　) A．经过4 s后物体向前走了10 m B．物体在前4 s内的平均速度为10 m/s C．物体在第4 s内向前走了10 m D．物体在第4 s末的瞬时速度为10 m/s 答案　D 2．如果质点按规律s＝2t3运动，则该质点在t＝3时的瞬时速度为(　　) A．6 B．18 C．54 D．81 答案　C 解析　∵ ＝ ＝2d2＋18d＋54， ∴当d趋近于0时， 2d2＋18d＋54趋近于54. ∴该质点在t＝3时的瞬时速度为54. 3．已知f(x)＝x3，则f′(0)等于(　　) A．－1 B．1 C. D．0 答案　D 解析　＝＝d2， 当d→0时，d2→0， ∴f′(0)＝0. 4．一物体做加速直线运动，假设t s时的速度为v(t)＝t2＋3，则t＝2时物体的加速度为(　　) A．4 m/s2 B．3 m/s2 C．2 m/s2 D．1 m/s2 答案　A 解析　因为＝＝2t＋d， 所以当d趋近于0时，2t＋d趋近于2t， 所以t＝2时物体的加速度为4 m/s2. 1．一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1,1＋d]内相应的平均速度为－3d－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是(　　) A．－3 B．3 C．6 D．－6 答案　D 解析　由平均速度和瞬时速度的关系可知，当d趋近于0时，趋近于－6，即质点在t＝1时的瞬时速度是－6. 2．一辆汽车从停止时开始加速行驶，并且在5秒内速度v(m/s)与时间t(s)的关系可近似地表示为v＝f(t)＝－t2＋10t，则汽车在时刻t＝1 s时的加速度为(　　) A．9 m/s B．9 m/s2 C．8 m/s2 D．7 m/s2 答案　C 解析　由题意得， ＝ ＝－2t＋10－d， 当d趋近于0时，汽车在时刻t＝1 s时的加速度为8 m/s2. 3．某物体做直线运动，其运动规律是s＝t2＋(t的单位是秒，s的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度等于(　　) A. 米/秒 B. 米/秒 C. 米/秒 D．0 米/秒 答案　A 解析　函数的平均变化率为 ＝ ＝ ＝d＋8－. 当d趋近于0时，d＋8－趋近于. 所以它在4 秒末的瞬时速度为 米/秒． 4．汽车在笔直公路上行驶，如果v表示t时刻的速度，则当d趋近于0时，的意义是(　　) A．表示当t＝t0时汽车的瞬时加速度 B．表示当t＝t0时汽车的瞬时速度 C．表示当t＝t0时汽车的路程变化率 D．表示当t＝t0时汽车与起点的距离 答案　A 解析　由于v表示t时刻的速度，由题意可知，当d趋近于0时，表示当t＝t0时汽车的瞬时加速度． 5．火车开出车站一段时间内，速度v(单位：米/秒)与行驶时间t(单位：秒)之间的关系是v(t)＝0.4t＋0.6t2，则火车开出几秒时加速度为2.8米/秒2？(　　) A. 秒 B．2 秒 C. 秒 D. 秒 答案　B 解析　由题意可知， ＝ ＝0.4＋1.2t＋0.6d， 当d趋近于0时，0.4＋1.2t＋0.6d趋近于0.4＋1.2t， 由0.4＋1.2t＝2.8可得，t＝2(秒)． 6．(多选)已知某物体的运动方程为s(t)＝7t2＋8(0≤t≤5)，则(　　) A．该物体在1≤t≤3时的平均速度是28 B．该物体在t＝4时的瞬时速度是56 C．该物体位移的最大值为43 D．该物体在t＝5时的瞬时速度是70 答案　ABD 解析　对于A，该物体在1≤t≤3时的平均速度是 ＝＝28，故A正确； 对于B，＝56＋7d， 当d→0时，56＋7d→56， ∴在t＝4时的瞬时速度为56，故B正确； 对于C，物体的最大位移是7×52＋8＝183，故C错误； 对于D，＝70＋7d， 当d→0时，70＋7d→70， ∴在t＝5时的瞬时速度为70，故D正确． 7．一物体的运动方程为s＝3t2－2，则其在t＝________时瞬时速度为1. 答案　 解析　＝＝6t＋3d. 当d趋近于0时，6t＋3d趋近于6t， 因为瞬时速度为1，故6t＝1，即t＝. 8．质点的运动方程是s(t)＝t＋(s的单位为m，t的单位为s)，则质点在t＝3 s时的瞬时速度为________ m/s. 答案　 解析　 ＝＝1－， 当d趋近于0时，1－趋近于， 所以质点在t＝3 s时的瞬时速度为 m/s. 9．一做直线运动的物体，其位移s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系是s(t)＝3t－t2. (1)求t＝0 s到t＝2 s时的平均速度； (2)求此物体在t＝2 s时的瞬时速度． 解　(1)＝＝＝1(m/s)． (2) ＝＝－d－1. 当d趋近于0时，－d－1趋近于－1， 所以t＝2 s时的瞬时速度为－1 m/s. 10．子弹在枪筒中的运动可以看作匀加速直线运动，运动方程为s＝at2，如果它的加速度是a＝5×105 m/s2，子弹在枪筒中的运动时间为1.6×10－3 s，求子弹射出枪口时的瞬时速度． 解　运动方程为s＝at2. 因为s(t0＋d)－s(t0)＝a(t0＋d)2－at＝adt0＋ad2， 所以＝at0＋ad， 当d→0时，at0＋ad→at0. 由题意知a＝5×105 m/s2，t0＝1.6×10－3 s， 所以at0＝8×102＝800(m/s)， 即子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s. 11．设f(x)为可导函数，且满足 ＝－1，则f′(1)为(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 答案　B 解析　令x→0，则d＝1－(1－2x)＝2x→0， 所以 ＝ ＝f′(1)＝－1. 12．现有一个圆柱形空杯子，盛液体部分的底面半径为2 cm，高为8 cm，用一个注液器向杯中注入溶液，已知注液器向杯中注入的溶液的容积V(单位：mL)关于时间t(单位：s)的函数解析式为V＝πt3＋3πt2(t≥0)，不考虑注液过程中溶液的流失，则当t＝2时，杯中溶液上升高度的瞬时变化率为(　　) A．4 cm/s B．5 cm/s C．6 cm/s D．7 cm/s 答案　C 解析　由题意知，杯子底面积为S＝4π，则溶液上升高度h＝＝， 因为h(d＋2)－h(2)＝－ ＝， 所以＝， 当d→0时，→6， 所以当t＝2时，杯中溶液上升高度的瞬时变化率为6 cm/s. 13．某人拉动一个物体前进，他所做的功W是时间t的函数W＝W(t)，则当d趋近于0时，表示(　　) A．t＝t0时做的功 B．t＝t0时的速度 C．t＝t0时的位移 D．t＝t0时的功率 答案　D 解析　由题意知当d趋近于0时，表示t＝t0时的功率． 14．函数y＝在x＝2处的瞬时变化率为________． 答案　－ 解析　函数的增量为f(2＋d)－f(2)＝－＝－. 函数的平均变化率为＝－， 当d→0时，－→－. ∴f′(2)＝－. 15．水滴在水面上形成同心圆，边上的圆半径以3 m/s的速度向外扩大，则从水滴接触水面后2 s末时圆面积的变化速率为________． 答案　36π m2/s 解析　由题意得水波面积 S＝πr2＝π(vt)2＝9πt2， 则＝9πd＋18πt， 当d趋近于0时，趋近于18πt， 所以当t＝2时，圆面积的变化速率为36π m2/s. 16．若一物体运动方程为(位移s的单位为m，时间t的单位为s)s＝f(t)＝ 求：(1)物体在t∈[3,5]上的平均速度； (2)物体的初速度v0； (3)物体在t＝1时的瞬时速度． 解　(1)∵物体在t∈[3,5]上的时间变化量为d＝5－3＝2， 物体在t∈[3,5]上的位移变化量为 f(5)－f(3)＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在t∈[3,5]上的平均速度为 ＝＝24， ∴物体在t∈[3,5]上的平均速度为24 m/s. (2)求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度． ∵ ＝ ＝3d－18， ∴当d趋近于0时，3d－18趋近于－18， ∴物体的初速度为－18 m/s. (3)∵＝ ＝3d－12， ∴当d趋近于0时，3d－12趋近于－12， ∴物体在t＝1时的瞬时速度为－12 m/s. 学科网（北京）股份有限公司 $$