1.1.1 函数的平均变化率-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （湘教版2019）

1.1.1　函数的平均变化率 [学习目标]　1.理解平均变化率的含义.2.会求函数在给定区间上的平均变化率，并能用平均变化率解释一些实际问题． 导语 你登过泰山吗？登山过程中，你会体验到“六龙过万壑”的雄奇，感受到“会当凌绝顶，一览众山小”的豪迈．当爬到“十八盘”时，你感觉怎样？是平缓的山好攀登，还是陡峭的山好攀登？陡峭程度反映了山坡高度变化的快与慢．从数学的角度，如何量化曲线的“陡峭”程度呢？ 一、平均速度 问题1　在一次跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，根据上述探究，你能求该运动员在0≤t≤0.5,1≤t≤2,0≤t≤内的平均速度吗？有什么发现？ 提示　当0≤t≤0.5时，＝＝4.05(m/s)； 当1≤t≤2时，＝＝－8.2(m/s)； 当0≤t≤时，＝＝0(m/s)． 虽然运动员在0≤t≤这段时间里的平均速度是0 m/s，但实际情况是，该运动员仍在运动，可以说明平均速度不能准确描述运动员的运动状态． 例1　某物体运动的位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系式为s(t)＝sin t，t∈. (1)分别求该物体在t∈和t∈上的平均速度； (2)比较(1)中两个平均速度的大小，说明其几何意义． 解　(1)物体在区间上的平均速度为 1＝＝＝＝(m/s)． 物体在区间上的平均速度为 2＝＝＝(m/s)． (2)由(1)可知1－2＝>0，所以2<1.作出函数s(t)＝sin t在上的图象，如图所示，可以发现，s(t)＝sin t在上随着t的增大，函数值s(t)变化得越来越慢． 反思感悟　求物体运动的平均速度的主要步骤 (1)先计算位移的改变量s(t2)－s(t1)． (2)再计算时间的改变量t2－t1. (3)得平均速度＝. 跟踪训练1　一质点按运动方程s(t)＝作直线运动，则其从t1＝1到t2＝2的平均速度为(　　) A．－1 B．－ C．－2 D．2 答案　B 解析　＝＝－1＝－. 二、函数的平均变化率 问题2　如图，从数学的角度刻画气温“陡升”，用怎样的数学模型刻画变量变化的快慢程度？ 提示　陡峭程度反应了气温变化的快与慢；AB两点相差31天，气温增加了15.1 ℃，则有≈0.5；而BC两点相差2天，气温增加了14.8 ℃，则有＝7.4，我们用此值刻画了变量变化的快慢程度． 知识梳理 1．平均变化率的概念 一般地，函数y＝f(x)的自变量有可能不是时刻，因变量有可能不表示位置，因而 就不一定是平均速度，但仍然反映了因变量y随自变量x变化的快慢和变化方向(增减)，因此我们把 称为函数f(x)在区间[a，b]内的平均变化率． 2．平均变化率的几何意义 平均变化率的几何意义是经过曲线y＝f(x)上两点A(a，f(a))，B(b，f(b))的直线AB的斜率．因此平均变化率是曲线陡峭程度的数量化，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的视觉化． 注意点： 平均变化率的绝对值大小，表示函数值变化的快慢，平均变化率的正负只表示变化的方向． 例2　已知函数y＝f(x)＝2x2＋1. (1)求函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率； (2)求函数f(x)在区间[2,2.01]上的平均变化率． 解　(1)∵f(x0＋Δx)－f(x0) ＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝2Δx(2x0＋Δx)， ∴函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为＝4x0＋2Δx. (2)由(1)可知f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为4x0＋2Δx， 当x0＝2，Δx＝0.01时， 4x0＋2Δx＝4×2＋2×0.01＝8.02， 即函数f(x)在区间[2,2.01]上的平均变化率为8.02. 反思感悟　求函数平均变化率的步骤 (1)先计算函数值的改变量y2－y1. (2)再计算自变量的改变量x2－x1. (3)最后求平均变化率. 跟踪训练2　已知函数f(x)＝－，则函数f(x)在区间[1,1.5]，[1,1.1]上的平均变化率各是多少？ 解　∵f(x)＝－， ∴f(1)＝－6，f(1.5)＝－4，f(1.1)＝－， ∴该函数在区间[1,1.5]上的平均变化率为＝＝4， 在区间[1,1.1]上的平均变化率为＝＝. 三、实际问题中的平均变化率 例3　2020年12月1日22时57分，嫦娥五号探测器从距离月球表面1 500 m处开始实施动力下降，7 500牛变推力发动机开机，逐步将探测器相对月球纵向速度从约1 500 m/s降为零.14分钟后，探测器成功在月球预选地着陆，记与月球表面距离的平均变化率为v，相对月球纵向速度的平均变化率为a，则(　　) A．v＝ m/s，a＝ m/s2 B．v＝－ m/s，a＝ m/s2 C．v＝ m/s，a＝－ m/s2 D．v＝－ m/s，a＝－ m/s2 答案　D 解析　探测器与月球表面的距离逐渐减小，所以v＝＝－(m/s)； 探测器的速度逐渐减小，所以 a＝＝－(m/s2)． 反思感悟　平均变化率问题在生活中随处可见，常见的有求某段时间内的平均速度、加速度、膨胀率、经济效益等，分清自变量和因变量是解决此类问题的关键． 跟踪训练3　蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T＝＋15，其中T为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min)，则从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温的平均变化率为________℃/min. 答案　－1.6 解析　＝ ＝－1.6(℃/min)， ∴从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温的平均变化率为－1.6 ℃/min. 1．知识清单： (1)平均速度． (2)函数的平均变化率． (3)平均变化率在实际问题中的应用． 2．方法归纳：公式法、转化法． 3．常见误区：对平均变化率的理解不透彻导致错误． 1.如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率等于(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 答案　B 解析　平均变化率为＝－1. 2．函数f(x)＝x2在区间[－1,2]上的平均变化率为(　　) A．－1 B．1 C．2 D．3 答案　B 解析　因为f(x)＝x2，所以f(x)在区间[－1,2]上的平均变化率为＝＝1. 3．一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是(　　) A．0.4 B．2 C．0.3 D．0.2 答案　B 解析　＝＝＝2. 4．如图是某变量变化的折线图，则该变量在区间[0,2]上的平均变化率为______． 答案　 解析　由折线图知，f(x)＝ 所以该变量在区间[0,2]上的平均变化率为＝＝. 1．已知函数y＝2＋，当x由1变到2时，函数值的改变量等于(　　) A. B．－ C．1 D．－1 答案　B 解析　函数值的改变量为－(2＋1)＝－. 2．已知函数f(x)＝x2＋2，则该函数在区间[1,3]上的平均变化率为(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 答案　A 解析　∵f(3)＝11，f(1)＝3， ∴该函数在区间[1,3]上的平均变化率为＝＝4. 3.甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，则治污效果较好的是(　　) A．甲厂 B．乙厂 C．两厂一样 D．不确定 答案　B 解析　在t0处，虽然有W甲(t0)＝W乙(t0)， 但W甲(t0－Δt)<W乙(t0－Δt)， 所以在相同时间Δt内，甲厂比乙厂的平均治污率小，所以乙厂治污效果较好． 4．设地铁在某段时间内进行调试，由始点起经过t秒后的距离为s(t)＝t4－4t3＋16t2(单位：米)，则列车运行10秒的平均速度为(　　) A．10米/秒 B．8米/秒 C．4米/秒 D．0米/秒 答案　A 解析　列车从开始运行到10秒时，列车距离的增加量为s(10)－s(0)＝100－0＝100(米)， 则列车运行10秒的平均速度为＝10(米/秒)． 5.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，则三者的大小关系为(　　) A.1>2>3 B.3>2>1 C.2>1>3 D.2>3>1 答案　B 解析　设直线O′A，AB，BC的斜率分别为kO′A，kAB，kBC，则1＝＝kO′A，2 ＝＝kAB，3＝＝kBC，由题中图象知kBC>kAB>kO′A，即3>2>1. 6．(多选)如图表示物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，下列说法正确的是(　　) A．在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B．在0到t0范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度 C．在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 D．在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 答案　BC 解析　在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为＝，故A错误，B正确；在t0到t1范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为，因为s2－s0>s1－s0，t1－t0>0，所以>，故C正确，D错误． 7．若函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率为2，则t＝________. 答案　5 解析　由题意知＝2，整理得t2－3t－10＝0， 解得t＝5或t＝－2(舍)． 8．已知函数y＝sin x在区间，上的平均变化率分别为k1，k2，那么k1，k2的大小关系为________． 答案　k1>k2 解析　当x∈时，平均变化率k1＝＝， 当x∈时，平均变化率k2＝＝，故k1>k2. 9．已知函数f(x)＝x2＋3x在[0，m]上的平均变化率是函数g(x)＝2x＋1在[1,4]上的平均变化率的3倍，求实数m的值． 解　函数g(x)在[1,4]上的平均变化率为＝＝2. 函数f(x)在[0，m]上的平均变化率为＝＝m＋3. 由题意知m＋3＝2×3，解得m＝3. 10．为了检测甲、乙两辆车的刹车性能，分别对两辆车进行了测试，甲车从25 m/s到0 m/s花了5 s，乙车从18 m/s到0 m/s花了4 s，试比较两辆车的刹车性能． 解　甲车速度的平均变化率为＝－5(m/s2)． 乙车速度的平均变化率为＝－4.5(m/s2)， 平均变化率为负值说明速度在减少，因为刹车后，甲车的速度变化相对较快，所以甲车的刹车性能较好． 11．(多选)甲工厂八年来某种产品产量y与时间x(单位：年)的函数关系如图所示．现有下列四种说法，正确的是(　　) A．前四年该产品产量增长速度越来越快 B．前四年该产品产量增长速度越来越慢 C．第四年后该产品停止生产 D．第四年后该产品产量保持不变 答案　BD 解析　设产量与时间的关系为y＝f(x)，由图象可知前四年该产品产量增长速度越来越慢，故A错误，B正确；由题图可知从第四年开始产品产量不发生变化，且f(4)≠0，故C错误，D正确． 12．函数y＝f(x)的图象如图，则函数f(x)在下列区间上平均变化率最大的是(　　) A.[1，2] B.[2，3] C.[3，4] D.[4，7] 答案　C 解析　由题意得函数f(x)在区间[x，x＋d]上的平均变化率为， 由图象可得，在区间[4,7]上，<0， 即函数f(x)在区间[4,7]上的平均变化率小于0； 在区间[1,2]，[2,3]，[3,4]上，>0且d相同， 由图象可知函数在区间[3,4]上的平均变化率最大． 13．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况(注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程)． 加油时间 加油量(升) 加油时累计里程(千米) 10月1日 12 35 000 10月15日 60 35 600 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为(　　) A．6升 B．8升 C．10升 D．12升 答案　C 解析　由题意知第二次加油量即为这段时间的耗油量V＝60(升)，这段时间行驶的里程数S＝35 600－35 000＝600(千米)，故这段时间，该车每100千米平均耗油量为×100＝10(升)． 14．人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c(单位：mg/mL)来表示，它是时间t(单位：min)的函数，表示为c＝c(t)，下表给出了c(t)的一些函数值： t/min 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 c(t)/ (mg/mL) 0.84 0.89 0.94 0.98 1.00 1.00 0.97 0.90 0.79 0.63 服药后30～70 min这段时间内，药物浓度的平均变化率为________mg/(mL·min)． 答案　－0.002 解析　＝ ＝－0.002 mg/(mL·min)． 15．将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率为，则m的值为________． 答案　2 解析　体积的增加量为m3－＝(m3－1)， 所以＝， 所以m2＋m＋1＝7，解得m＝2或m＝－3(舍去)． 16．圆柱形容器，其底面直径为2 m，深度为1 m，盛满液体后以0.01 m3/s的速率放出，求液面高度的平均变化率． 解　设液体放出t s后液面高度为y m， 则π·12·y＝π·12×1－0.01t， ∴y＝1－t， 液面高度在t到t＋d之间的平均变化率为 ＝－(m/s)， 故液面高度的平均变化率为－ m/s. 学科网（北京）股份有限公司 $$