8.1.1.2 条件概率的性质及应用-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （苏教版2019）

第2课时　条件概率的性质及应用 [学习目标]　1.了解事件的独立性与条件概率的关系，掌握概率的乘法公式.2.会求互斥事件的条件概率，理解条件概率的性质． 导语 我们知道P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率，可以借助公式P(B|A)＝或缩小样本空间求条件概率，其中P(AB)与P(B|A)有什么区别与联系呢？ 一、概率的乘法公式 问题1　三张奖券中只有一张能中奖，现分别由甲、乙两名同学有放回地抽取，事件A为“甲没有抽到中奖奖券”，事件B为“乙抽到中奖奖券”， 事件A的发生会不会影响事件B发生的概率？P(B|A)与P(B)有什么关系？ 提示　不会，事件A与事件B是相互独立事件；有放回地抽取奖券时，乙也是从原来的三张奖券中任抽一张，因此P(B|A)＝P(B)． 知识梳理 由条件概率的公式可知P(AB)＝P(B|A)P(A)．通常将此公式称为概率的乘法公式． 注意点： (1)P(AB)表示A，B都发生的概率，P(B|A)表示A先发生，然后B发生． (2)在P(B|A)中，事件A成为样本空间，而在P(AB)中，样本空间为所有事件的总和． (3)当P(B|A)＝P(B)时，事件A与事件B是相互独立事件． 例1　一个盒子中有6只白球、4只黑球，从中不放回地每次任取1只，连取2次．求： (1)第一次取得白球的概率； (2)第一、第二次都取得白球的概率； (3)第一次取得黑球而第二次取得白球的概率． 解　记“第一次取得白球”为事件A，“第二次取得白球”为事件B，则表示事件“第一次取得黑球”，由题意，得 (1)P(A)＝＝. (2)P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝. (3)P(B)＝P()P(B|)＝×＝. 反思感悟　概率的乘法公式 公式P(AB)＝P(A)P(B|A)反映了知二求一的方程思想． 跟踪训练1　10个考签中有4个难签，2人参加抽签(不放回)，甲先，乙后，求： (1)甲抽到难签的概率； (2)甲、乙都抽到难签的概率； (3)甲没有抽到难签，而乙抽到难签的概率． 解　记事件A，B分别表示甲、乙抽到难签，则 (1)P(A)＝＝. (2)P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝. (3)P(B)＝P()P(B|)＝×＝. 二、互斥事件的条件概率 问题2　在必修第二册中，我们已经学习了概率的基本性质，基本性质包括什么？ 提示　性质1：对任意的事件A，都有0≤P(A)≤1； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0； 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A＋B)＝P(A)＋P(B)； 性质4：P()＝1－P(A)； 性质5：当A⊆B时，P(A)≤P(B)； 性质6：当A，B不互斥时，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)． 知识梳理 条件概率有如下性质： (1)P(Ω|A)＝1； (2)P(∅|A)＝0； (3)若B1，B2互斥，则P((B1＋B2)|A)＝P(B1|A)＋P(B2|A)． 注意点： (1)A与B互斥，即A，B不同时发生，则P(AB)＝0，故P(B|A)＝0； (2)互斥事件的条件概率公式可以将复杂事件分解为简单事件的概率和． 例2　在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率． 解　方法一　设“摸出第一个球为红球”为事件A，“摸出第二个球为黄球”为事件B，“摸出第二个球为黑球”为事件C， 则P(A)＝，P(AB)＝＝， P(AC)＝＝. ∴P(B|A)＝＝＝＝， P(C|A)＝＝＝. ∴P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝. ∴所求的条件概率为. 方法二　∵n(A)＝1×C＝9， n(B∪C|A)＝C＋C＝5， ∴P(B∪C|A)＝. ∴所求的条件概率为. 反思感悟　(1)利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”． (2)为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率． 跟踪训练2　抛掷两颗质地均匀的骰子各一次． (1)向上的点数之和为7时，其中有一个的点数是2的概率是多少？ (2)向上的点数不相同时，向上的点数之和为4或6的概率是多少？ 解　(1)记事件A表示“两颗骰子中，向上的点数有一个是2”，事件B表示“两颗骰子向上的点数之和为7”，则事件AB表示“向上的点数之和为7，其中有一个的点数是2”，则P(B)＝＝，P(AB)＝＝，所以P(A|B)＝＝. (2)记事件Mi表示“两颗骰子向上的点数之和为i”，则事件“向上的点数之和为4或6”可表示为M＝M4∪M6，其中事件M4与M6互斥，记事件N表示“两颗骰子向上的点数不相同”，则事件MiN表示“两颗骰子向上的点数不相同，且向上的点数之和为i”． 因为P(N)＝＝，P(M4N)＝＝， P(M6N)＝＝， 所以P(M|N)＝P(M4∪M6|N)＝P(M4|N)＋P(M6|N) ＝＋＝＋＝. 1.知识清单： (1)概率的乘法公式． (2)互斥事件的条件概率． 2．方法归纳：公式法、正难则反． 3．常见误区：判断两个事件是否是互斥事件． 1．设A，B为两个事件，已知P(A)＝，P(B|A)＝，则P(AB)等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由概率的乘法公式，可得P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝×＝. 2．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　记事件A为第一次失败，事件B为第二次成功， 则P(A)＝，P(B|A)＝， 所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝. 3．若B，C是互斥事件且P(B|A)＝，P(C|A)＝，则P(B∪C|A)等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　因为B，C是互斥事件，所以 P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝. 4．有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取得的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为________． 答案　 解析　设事件A为“其中一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或黑色”， 则D＝B∪C，且B与C互斥． 又P(A)＝＝，P(AB)＝＝， P(AC)＝＝， 故P(D|A)＝P(B∪C|A) ＝P(B|A)＋P(C|A) ＝＋＝＋＝＋＝. 1．已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(AB)等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　P(AB)＝P(B|A)P(A)＝×＝. 2．下列式子成立的是(　　) A．P(A|B)＝P(B|A) B．0<P(B|A)<1 C．P(AB)＝P(A)P(B|A) D．P(A∩B|A)＝P(B) 答案　C 解析　由P(B|A)＝得 P(AB)＝P(A)P(B|A)． 3．(多选)设P(A|B)＝P(B|A)＝，P(A)＝，则(　　) A．P(AB)＝ B．P(AB)＝ C．P(B)＝ D．P(B)＝ 答案　AC 解析　P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝， 由P(A|B)＝， 得P(B)＝＝＝. 4．经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中9环的概率为0.6，在第一次击中9环的条件下，第二次也击中9环的概率为0.8.那么她两次均击中9环的概率为(　　) A．0.24 B．0.36 C．0.48 D．0.75 答案　C 解析　设该射击运动员“第一次击中9环”为事件A，“第二次击中9环”为事件B，则由题意得P(A)＝0.6，P(B|A)＝0.8，所以她两次均击中9环的概率为P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.6×0.8＝0.48. 5．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，在下雨天里，刮风的概率为，则既刮风又下雨的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　记“该地区下雨”为事件A，“刮风”为事件B， 则P(A)＝，P(B)＝，P(B|A)＝， 所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝. 6．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是(　　) A．0.665 B．0.564 C．0.245 D．0.285 答案　A 解析　记事件A为“甲厂产品”，事件B为“合格产品”，则P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95， ∴P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665. 7．设A，B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为，则事件A发生的概率为________． 答案　 解析　由题意知，P(AB)＝，P(B|A)＝. 由P(B|A)＝，得P(A)＝＝＝. 8．已知随机事件A，B，P(A)＝，P(B)＝，P(A|B)＝，则P(|A)＝________. 答案　 解析　依题意得P(AB)＝P(B)P(A|B)＝×＝， 故P(B|A)＝＝＝， 所以P(|A)＝1－P(B|A)＝. 9．已知某品牌的手机从1 m高的地方掉落时，屏幕第一次未碎掉的概率为0.5，当第一次未碎掉时第二次也未碎掉的概率为0.3，试求这样的手机从1 m高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率． 解　设事件Ai表示“第i次掉落手机屏幕没有碎掉”，i＝1,2， 则由已知可得P(A1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.3， 因此由乘法公式可得 P(A2A1)＝P(A1)P(A2|A1)＝0.5×0.3＝0.15. 即这样的手机从1 m高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率为0.15. 10．抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”． (1)求P(A)，P(B)，P(AB)； (2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率． 解　(1)①P(A)＝＝. ②∵两个骰子的点数之和共有36个等可能的样本点，点数之和大于8的样本点共有10个， ∴P(B)＝＝. ③当蓝色骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于8的样本点有5个，故P(AB)＝. (2)由(1)知P(B|A)＝＝＝. 11．袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，做不放回抽样，每次任取1个球，取2次，则关于事件“直到第二次才取到黄球”与事件“第一次取到白球的情况下，第二次恰好取得黄球”的概率说法正确的是(　　) A．事件“直到第二次才取到黄球”与事件“第一次取得白球的情况下，第二次恰好取得黄球”的概率都等于 B．事件“直到第二次才取到黄球”与事件“第一次取得白球的情况下，第二次恰好取得黄球”的概率都等于 C．事件“直到第二次才取到黄球”的概率等于，事件“第一次取得白球的情况下，第二次恰好取得黄球”的概率等于 D．事件“直到第二次才取到黄球”的概率等于，事件“第一次取得白球的情况下，第二次恰好取得黄球”的概率等于 答案　D 解析　袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，做不放回抽样，每次任取1个球，取2次， 设事件A表示“直到第二次才取到黄球”， 事件B表示“第一次取得白球的情况下，第二次恰好取得黄球”，则P(A)＝×＝，P(B)＝. 12．(多选)一次“智力测试”活动，在备选的10道题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，测试时从备选的10道题中随机抽出3题由甲、乙分别作答，至少答对2题者评为“智答能手”．设甲评为“智答能手”为事件A，乙评为“智答能手”为事件B，若P(B|A)＝P(B)，则下列结论正确的是(　　) A．P(A|B)＝P(A) B．P(|A)＝ C．甲、乙至多有一人评为“智答能手”的概率为 D．甲、乙至少有一人评为“智答能手”的概率为 答案　ABD 解析　由题意得P(A)＝＝＝，P(B)＝＝＝， 因为P(B|A)＝＝P(B)， 所以P(AB)＝P(A)P(B)，事件A，B相互独立， 所以P(A|B)＝＝＝P(A)，故A正确； 因为P(B|A)＝P(B)＝，由条件概率的性质得P(|A)＝1－P(B|A)＝1－＝，故B正确； 因为事件A，B相互独立，所以A与，与B，与也都相互独立． 所以甲、乙都评为“智答能手”的概率P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝， 所以甲、乙至多有一人评为“智答能手”的概率为1－P(AB)＝1－＝，故C错误； 甲、乙都没有评为“智答能手”的概率P()＝P()P()＝×＝×＝， 所以甲、乙至少有一人评为“智答能手”的概率为1－P()＝1－＝，故D正确． 13．某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的条件下，则他在周六晚上或周五晚上值班的概率为________． 答案　 解析　设事件A为“周日值班”，事件B为“周五值班”，事件C为“周六值班”， 则P(A)＝，P(AB)＝，P(AC)＝， 所以P(B|A)＝＝， P(C|A)＝＝. 故他在周六晚上或周五晚上值班的概率为 P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝. 14．先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别有1,2,3,4,5,6个点)，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y.设事件A为“x＋y为偶数”，事件B为“x，y中有偶数且x≠y”，则概率P(AB)＝______，P(B|A)＝________. 答案　　 解析　事件A为“x＋y为偶数”则x，y两个数均为奇数或偶数，共有2×3×3＝18(个)样本点， 所以事件A的概率为P(A)＝＝， 而A，B同时发生，包含“2＋4”，“2＋6”，“4＋2”，“4＋6”，“6＋2”，“6＋4”一共6个样本点，因此事件A，B同时发生的概率为P(AB)＝＝. 因此，在事件A发生的条件下，B发生的概率为P(B|A)＝＝. 15．甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军．若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了3局的概率为________． 答案　 解析　根据题意，得甲获得冠军的概率为×＋××＋××＝，其中，比赛进行了3局的概率为××＋××＝，所以在甲获得冠军的条件下，比赛进行了3局的概率P＝＝. 16．一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0～9中任选一个．某人在银行自助提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字．求： (1)任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率； (2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率． 解　设“第i次按对密码”为事件Ai(i＝1,2)， 则A＝A1∪(1A2)表示“不超过2次就按对密码”． (1)因为事件A1与事件1A2互斥，所以由概率的加法公式得P(A)＝P(A1)＋P(1A2)＝＋×＝. (2)用B表示“最后一位按偶数”的事件，则 P(A|B)＝P(A1|B)＋P(1A2|B)＝＋×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$