6.3.2.2 空间向量与垂直关系-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （苏教版2019）

第2课时　空间向量与垂直关系 [学习目标]　1.会利用平面法向量证明两个平面垂直.2.能利用直线的方向向量与平面的法向量判定并证明空间中的垂直(线线、线面、面面)关系． 导语 神奇的大自然中处处充满着奇妙的东西，许多我们以为熟悉的事物也并不完全是想象中的样子．比如，那个会跟着我们到处跑的影子，随着人不停跑动，这个影子忽前忽后、忽左忽右，但无论怎样，人始终与地面上的影子相交于一点，并始终保持垂直．把地面抽象成平面α，站直的人抽象成直线l，直线l与平面α的位置关系是什么？直线l的方向向量u与平面α的法向量v有什么关系？ 一、直线和直线垂直 问题1　如图，直线l1，l2的方向向量分别为e1，e2，直线l1，l2垂直时，e1，e2之间有什么关系？ 提示　垂直． 知识梳理 设空间两条直线l1，l2的方向向量分别为e1＝(a1，a2，a3)，e2＝(b1，b2，b3)，则l1⊥l2⇔e1⊥e2⇔e1·e2＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0. 注意点： (1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量相互垂直． (2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量相互垂直，坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0. 例1　如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA＝AB＝1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．求证：无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF. 证明　方法一　以{，，}为正交基底建立空间直角坐标系A－xyz，设AD＝a， 则A(0,0,0)，P(0,0,1)，B(0,1,0)，C(a,1,0)， 于是F. ∵E在BC上，∴设E(m,1,0)， ∴＝(m,1，－1)，＝， ∴·＝0，∴PE⊥AF. ∴无论点E在边BC上何处，都有PE⊥AF. 方法二　∵点E在边BC上，∴设＝λ， 于是·＝(＋＋)·(＋) ＝(＋＋λ)·(＋) ＝(·＋·＋·＋·＋λ·＋λ·) ＝×(0－1＋1＋0＋0＋0)＝0， 因此⊥. 故无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF. 反思感悟　利用向量方法证明线线垂直的方法 (1)坐标法：建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出两条直线方向向量的坐标，然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直． (2)基向量法：利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律，结合图形，将两条直线所在的向量用基向量表示，然后根据数量积的运算律证明两条直线所在的向量的数量积等于0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直． 跟踪训练1　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AC的中点，求证： (1)BD1⊥AC； (2)BD1⊥EB1. 证明　建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz. 设正方体的棱长为1，则B(1,1,0)，D1(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，B1(1,1,1)． (1)∵＝(－1，－1,1)，＝(－1,1,0)， ∴·＝(－1)×(－1)＋(－1)×1＋1×0＝0. ∴⊥，∴BD1⊥AC. (2)∵＝(－1，－1,1)，＝， ∴·＝(－1)×＋(－1)×＋1×1＝0， ∴⊥，∴BD1⊥EB1. 二、直线与平面垂直 问题2　如图，设e是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，当直线l垂直平面α时，e，n之间有什么关系？ 提示　平行(共线)． 知识梳理 设直线l1的方向向量为e1＝(a1，b1，c1)，平面α1的法向量为n1＝(a2，b2，c2)，则l1⊥α1⇔e1∥n1⇔e1＝kn1⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2(k∈R)． 注意点： (1)若证明线面垂直，即证明直线的方向向量与平面的法向量平行． (2)证明线面垂直的方法： ①基向量法：选取基向量，用基向量表示直线所在的向量，证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论． ②坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标，证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论． ③法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后说明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论． 例2　如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点． 求证：AB1⊥平面A1BD. 证明　方法一　如图所示，取BC的中点O，连接AO，因为△ABC为正三角形， 所以AO⊥BC.因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1. 取B1C1的中点O1，以O为坐标原点， 以{，，}为正交基底建立空间直角坐标系O－xyz，则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0)． 所以＝(1,2，－)，＝(－1,2，)， ＝(－2,1,0)． 因为·＝1×(－1)＋2×2＋(－)×＝0.·＝1×(－2)＋2×1＋(－)×0＝0. 所以⊥，⊥，即AB1⊥BA1，AB1⊥BD，又因为BA1∩BD＝B，所以AB1⊥平面A1BD. 方法二　建系同方法一． 设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令x＝1，得平面A1BD的一个法向量为n＝(1,2，－)， 又＝(1,2，－)，所以n＝，即∥n. 所以AB1⊥平面A1BD. 反思感悟　用向量法证明线面垂直的方法 (1)证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量垂直． (2)证明直线的方向向量与平面的法向量平行． 跟踪训练2　如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2. (1)证明：AP⊥BC； (2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3，试证明AM⊥平面BMC. 证明　(1)由题意知AD⊥BC，如图，作OE⊥AD交AE于点E，以{，，}为正交基底建立空间直角坐标系O－xyz. 则A(0，－3,0)，B(4,2,0)，C(－4,2,0)，P(0,0,4)． 于是＝(0,3,4)，＝(－8,0,0)， ∴·＝(0,3,4)·(－8,0,0)＝0， ∴⊥，即AP⊥BC. (2)∵M是AP上一点，且AM＝3， ∴＝， ∴＝， ∴M，＝， ＝， 设平面BMC的法向量为n＝(a，b，c)， 则 即 令b＝1，则n＝，＝n， ∴∥n，∴AM⊥平面BMC. 三、平面与平面垂直 问题3　设n1，n2分别是平面α，β的法向量，当平面α垂直平面β时，n1，n2之间有什么关系？ 提示　垂直． 知识梳理 设平面α1的法向量为n1＝(a1，b1，c1)，平面α2的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α1⊥α2⇔n1⊥n2⇔n1· n2＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. 注意点： 若证面面垂直，则证两平面的法向量垂直． 例3　在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AA1＝1，E为BB1的中点，求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C. 证明　由题意知直线AB，BC，B1B两两垂直，以{，，}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz， 则A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C(0,2,0)，C1(0，2,1)，E， 故＝(0,0,1)，＝(－2,2,0)， ＝(－2,2,1)，＝. 设平面AA1C1C的法向量为n1＝(x，y，z)， 则即 令x＝1，得y＝1，故n1＝(1,1,0)． 设平面AEC1的法向量为n2＝(a，b，c)， 则即 令c＝4，得a＝1，b＝－1.故n2＝(1，－1,4)． 因为n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0， 所以n1⊥n2.所以平面AEC1⊥平面AA1C1C. 反思感悟　利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直． 跟踪训练3　如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD. 证明：平面PQC⊥平面DCQ. 证明　如图，以{，，}为正交基底建立空间直角坐标系D－xyz. 则D(0,0,0)，Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)， 则＝(1,1,0)，＝(0,0,1)，＝(1，－1,0)， ∴·＝0，·＝0，即PQ⊥DQ，PQ⊥DC， 又DQ∩DC＝D，DQ，DC⊂平面DCQ， ∴PQ⊥平面DCQ，又PQ⊂平面PQC， ∴平面PQC⊥平面DCQ. 1．知识清单： (1)直线与直线垂直的向量表示． (2)直线与平面垂直的向量表示． (3)平面与平面垂直的向量表示． 2．方法归纳：转化法、法向量法． 3．常见误区：直线的方向向量、平面的法向量的关系与线面间的垂直关系的对应易混． 1．若平面α，β的法向量分别为a＝(2，－1,0)，b＝(－1，－2，0)，则α与β的位置关系是(　　) A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定 答案　B 解析　∵a·b＝－2＋2＋0＝0，∴a⊥b，∴α⊥β. 2．已知平面α的法向量为a＝(1,2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k等于(　　) A．4 B．－4 C．5 D．－5 答案　D 解析　∵α⊥β，∴a⊥b， ∴a·b＝－2－8－2k＝0，解得k＝－5. 3．若直线l1的方向向量为u1＝(1,3,2)，直线l2上有两点A(1,0,1)，B(2，－1,2)，则两直线的位置关系是________． 答案　l1⊥l2 解析　＝(1，－1,1)，u1·＝1×1－3×1＋2×1＝0，因此l1⊥l2. 4.如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，若E，F分别为PB，AD的中点，则直线EF与平面PBC的位置关系是________． 答案　垂直 解析　以{，，}为正交基底建立空间直角坐标系(图略)， 则E，F，∴＝， 平面PBC的一个法向量n＝(0,1,1)． ∵＝－n，∴∥n，∴EF⊥平面PBC. 1．(多选)已知e为直线l的方向向量，n1，n2分别为平面α，β的法向量(α，β不重合，直线l不在平面α，β内)，那么下列说法中正确的有(　　) A．n1∥n2⇔α∥β B．n1⊥n2⇔α⊥β C．e∥n1⇔l∥α D．e⊥n1⇔l⊥α 答案　AB 解析　∵平面α，β不重合，∴平面α，β的法向量平行(垂直)等价于平面α，β平行(垂直)，∴A，B正确；直线l的方向向量平行(垂直)于平面α的法向量等价于直线l垂直(平行)于平面α，∴C，D都错误． 2．两平面α，β的法向量分别为n1＝(3，－1，z)，n2＝(－2，－y，1)，若α⊥β，则y＋z的值是(　　) A．－3 B．6 C．－6 D．－12 答案　B 解析　∵n1＝(3，－1，z)，n2＝(－2，－y,1)分别为α，β的法向量且α⊥β，∴n1⊥n2，即n1·n2＝0， ∴－6＋y＋z＝0，∴y＋z＝6. 3．已知直线l的方向向量是a＝(3,2,1)，平面α的法向量是u＝(－1,2，－1)，则l与α的位置关系是(　　) A．l⊥α B．l∥α C．l与α相交但不垂直 D．l∥α或l⊂α 答案　D 解析　因为a·u＝－3＋4－1＝0， 所以a⊥u.所以l∥α或l⊂α. 4．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线NO，AM的位置关系是(　　) A．平行 B．相交 C．异面垂直 D．异面不垂直 答案　C 解析　建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，N(2,1,2)，因为＝(－1,0，－2)，＝(－2,0,1)，因为·＝0，所以直线NO，AM的位置关系是异面垂直． 5．(多选)下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是(　　) A．若两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别是a＝(2,3，－1)，b＝(－2，－3,1)，则l1∥l2 B．若直线l的方向向量a＝(1，－1,2)，平面α的法向量是u＝(6,4，－1)，则l⊥α C．若两个不同的平面α，β的法向量分别是u＝(2,2，－1)，v＝(－3,4,2)，则α⊥β D．若直线l的方向向量a＝(0,3,0)，平面α的法向量是u＝(0，－5,0)，则l∥α 答案　AC 解析　对于A，两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别是a＝(2,3，－1)，b＝(－2，－3,1)，且b＝－a， 所以l1∥l2，选项A正确； 对于B，直线l的方向向量a＝(1，－1,2)，平面α的法向量是u＝(6,4，－1)，且a·u＝1×6－1×4＋2×(－1)＝0， 所以l∥α或l⊂α，选项B错误； 对于C，两个不同的平面α，β的法向量分别是u＝(2,2，－1)，v＝(－3,4,2)，且u·v＝2×(－3)＋2×4－1×2＝0，所以α⊥β，选项C正确； 对于D，直线l的方向向量a＝(0,3,0)，平面α的法向量是u＝(0，－5,0)，且u＝－a， 所以l⊥α，选项D错误． 6.(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线OM(　　) A．和AC垂直 B．和AA1垂直 C．和MN垂直 D．与AC，MN都不垂直 答案　AC 解析　以{，，}为正交基底建立空间直角坐标系(图略)．设正方体的棱长为2a，则D(0,0，0)，D1(0,0,2a)，M(0,0，a)，A(2a,0,0)，C(0,2a,0)，O(a，a,0)，N(0，a,2a)． ∴＝(－a，－a，a)，＝(0，a，a)，＝(－2a,2a,0)． ∴·＝0，·＝0， ∴OM⊥MN，OM⊥AC.OM和AA1显然不垂直． 7．设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n＝(2,2,4)，若a＝(1,1,2)，则直线l与平面α的位置关系为________；若a＝(－1，－1,1)，则直线l与平面α的位置关系为________． 答案　l⊥α　l∥α或l⊂α 解析　当a＝(1,1,2)时，a＝n，则l⊥α； 当a＝(－1，－1,1)时，a·n＝(－1，－1,1)·(2,2,4)＝0，则l∥α或l⊂α. 8．在△ABC中，A(1，－2，－1)，B(0，－3,1)，C(2，－2,1)．若向量n与平面ABC垂直，且|n|＝，则n的坐标为________________． 答案　(－2,4,1)或(2，－4，－1) 解析　根据题意，得＝(－1，－1,2)，＝(1,0,2)． 设n＝(x，y，z)， ∵n与平面ABC垂直， ∴即 可得 ∵|n|＝，∴＝， 解得y＝4或y＝－4. 当y＝4时，x＝－2，z＝1；当y＝－4时，x＝2，z＝－1. ∴n的坐标为(－2,4,1)或(2，－4，－1)． 9．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM⊥平面BDF. 证明　以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(，，0)，B(0，，0)，D(，0,0)，F(，，1)，M. 所以＝，＝(0,，1)， ＝(，－，0)． 设n＝(x，y，z)是平面BDF的法向量， 则n⊥，n⊥， 所以 即 取y＝1，得x＝1，z＝－.则n＝(1,1，－)． 因为＝. 所以n＝－，即n与共线． 所以AM⊥平面BDF. 10.如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点．求证：平面DEA⊥平面ECA. 证明　建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz，不妨设CA＝2，则CE＝2，BD＝1， C(0,0,0)，A(，1,0)，B(0,2,0)，E(0,0,2)，D(0,2,1)． 所以＝(，1，－2)，＝(0,0,2)，＝(0,2，－1)．分别设平面ECA与平面DEA的法向量是n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)， 则即 解得 即 解得 不妨取n1＝(1，－，0)，n2＝(，1,2)， 因为n1·n2＝0，所以n1⊥n2. 所以平面DEA⊥平面ECA. 11．设l1的一个方向向量为a＝(1,3，－2)，l2的一个方向向量为b＝(－4,3，m)，若l1⊥l2，则m等于(　　) A．1 B. C. D．3 答案　B 解析　因为l1⊥l2， 所以a·b＝0， 即1×(－4)＋3×3＋(－2)×m＝0， 所以2m＝9－4＝5， 即m＝. 12．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E为CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，等于(　　) A. B．1 C．2 D．3 答案　B 解析　建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形ABCD的边长为1，PA＝a，则B(1,0,0)，E，P(0,0，a)． 设F(0，y,0)，则＝(－1，y,0)，＝.因为BF⊥PE，即·＝(－1)×＋y＝0，解得y＝，即F是AD的中点，故＝1. 13．已知直线l的方向向量为e＝(－1,1,2)，平面α的法向量为n＝(λ∈R)，若l⊥α，则实数λ的值为________． 答案　－ 解析　因为l⊥α，所以e与n平行， 则存在实数m使得e＝mn， 即(－1,1,2)＝m， 可得所以 14．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)，给出下列结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD； ③是平面ABCD的一个法向量． 其中正确的结论是________．(填序号) 答案　①②③ 解析　∵·＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，∴⊥，则AP⊥AB. ·＝4×(－1)＋2×2＋0＝0， ∴⊥，则AP⊥AD. 又AB∩AD＝A，∴AP⊥平面ABCD， 故是平面ABCD的一个法向量． 15.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，若点Q在线段B1P上，则下列结论正确的是(　　) A．当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BD B．当点Q为线段B1P的三等分点时，DQ⊥平面A1BD C．在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BD D．不存在DQ与平面A1BD垂直 答案　D 解析　以{，，}为正交基底建立空间直角坐标系A1－xyz(图略)，则由已知得A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0,1,0)，B(1,0,1)，D，P(0,2,0)，＝(1,0,1)， ＝，＝(－1,2,0)， ＝. 设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)， 则 取z＝－2，则x＝2，y＝1， 所以平面A1BD的一个法向量为n＝(2,1，－2)． 假设DQ⊥平面A1BD， 且＝λ＝λ(－1,2,0)＝(－λ，2λ，0)， 则＝＋＝， 因为也是平面A1BD的法向量， 所以n＝(2,1，－2)与 ＝共线， 于是有＝＝＝成立， 但此方程关于λ无解． 故不存在DQ与平面A1BD垂直． 16.如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，点O，D分别是AC，PC的中点，OP⊥底面ABC. (1)求证：OD∥平面PAB； (2)当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？ 解　连接OB，∵OP⊥平面ABC，OA＝OC，AB＝BC，∴OA⊥OB，OA⊥OP，OB⊥OP， 以O为原点，射线OP为z轴，建立空间直角坐标系(如图)． 设AB＝a，则A，B，C. 设OP＝h，则P(0,0，h)． (1)证明　∵D为PC的中点， ∴＝， 又＝， ∴＝－，∴∥，∴OD∥平面PAB. (2)解　∵△PBC的重心G， ∴＝， ∵OG⊥平面PBC， ∴⊥， 又＝， ∴·＝a2－h2＝0，∴h＝a， ∴||＝＝a，即k＝1， 反之，当k＝1时，三棱锥O－PBC为正三棱锥， 此时O在平面PBC内的射影为△PBC的重心． 学科网（北京）股份有限公司 $$