6.3.2.1 空间向量与平行关系-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （苏教版2019）

6.3.2　空间线面关系的判定 第1课时　空间向量与平行关系 [学习目标]　1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系． 导语观察图片，旗杆底部的平台和地面平行，旗杆所在的直线和护旗战士所在的直线平行．旗杆所在直线的方向向量和护旗战士所在直线的方向向量有什么关系？ 一、直线和直线平行 问题1　由直线与直线的平行关系，可以得到直线的方向向量具有什么关系？ 提示　平行． 知识梳理 设空间两条直线l1，l2的方向向量分别为e1＝(a1，b1，c1)，e2＝(a2，b2，c2)，则l1∥l2⇔e1∥e2⇔e1＝λe2⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)． 注意点： (1)此处不考虑线线重合的情况． (2)证明线线平行的两种思路： ①用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，通过向量的线性运算，利用向量共线的充要条件证明． ②建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示． 例1　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点． 求证：PQ∥RS. 证明　方法一　以{，，}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz. 则P(3,0,1)，Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S(0,4,1)， ＝(－3,2,1)，＝(－3,2,1)， 所以＝，所以∥， 又RS，PQ不共线，所以PQ∥RS. 方法二　＝＋＝－＋， ＝＋＝＋－， 所以＝，所以∥， 又RS，PQ不共线，所以RS∥PQ. 反思感悟　证明两直线平行的方法 (1)平行直线的传递性． (2)基向量法，分别取两条直线的方向向量m，n，证明m∥n，即m＝λn. (3)坐标法，建立空间直角坐标系，把直线的方向向量用坐标表示，如m1＝(x1，y1，z1)，m2＝(x2，y2，z2)，即证明m1＝λm2，即x1＝λx2，y1＝λy2且z1＝λz2. 跟踪训练1　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形． 证明　如图所示，以{，，}为正交基底建立空间直角坐标系D－xyz，则，，，分别为直线AE，FC1，EC1，AF的方向向量，不妨设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，E，C1(0,1,1)，F， ∴＝， ＝， ＝， ＝， ∴＝，＝，∴∥，∥， 又∵F∉AE，F∉EC1， ∴AE∥FC1，EC1∥AF， ∴四边形AEC1F是平行四边形． 二、直线与平面平行 问题2　如图，直线l与平面α平行，e是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，e与n有什么关系？ 提示　垂直． 知识梳理 设直线l1的方向向量为e1＝(a1，b1，c1)，平面α1的法向量为n1＝(a2，b2，c2)，则l1∥α1⇔e1⊥n1⇔e1·n1＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. 注意点： (1)证明线面平行的关键是直线的方向向量与平面的法向量垂直． (2)特别强调直线在平面外． 例2　在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，点G是侧面△PBC的重心，在棱PD上是否存在一点N，使得PB∥平面AGN?若存在，试确定点N的位置，若不存在，请说明理由． 解　如图， 以{，，}为正交基底建立直角坐标系D－xyz,不妨设PD＝1，则DC＝1，从而有A(1,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，P(0,0,1)， 又G为△PBC的重心，则G， ＝， 设PD上存在点N，使DN＝λDP， 则＝λ＝λ(0,0,1)＝(0,0，λ)， 又＝(1,1，－1)，＝＋＝(－1，0，λ)，若PB∥平面AGN，则向量与，共面，依据共面向量定理知，存在实数m，n，使得＝m＋n，即(1,1，－1)＝m(－1，0，λ)＋n， 则 解得 故侧棱PD上存在点N，当DN＝DP时，PB∥平面AGN. 反思感悟　利用空间向量证明线面平行一般有三种方法： (1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示． (2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证． (3)先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． 跟踪训练2　在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点，求证：AB∥平面DEG. 证明　∵EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，BE⊂平面AEB， ∴EF⊥AE，EF⊥BE. 又∵AE⊥EB， ∴EB，EF，EA两两垂直． 以{，，}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系E－xyz. 由已知得，A(0,0,2)，B(2,0,0)，D(0,2,2)，G(2,2,0)， ∴＝(2,0，－2)，＝(2,0，－2)． ∴＝， ∴DG∥AB， ∵AB⊄平面DEG，DG⊂平面DEG， ∴AB∥平面DEG. 三、平面和平面平行 问题3　如图，平面α，β平行，n1，n2分别是平面α，β的法向量，n1与n2具有什么关系？ 提示　平行． 知识梳理 设平面α1，α2的法向量分别为n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，b2，c2)，则α1∥α2⇔n1∥n2⇔n1＝λn2⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)． 例3　已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点， 求证：平面ADE∥平面B1C1F. 证明　建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C1(0，2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，所以＝(0,2,1)，＝(2,0,0)，＝(0,2,1)，＝(2,0,0)， 设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量， 则n1⊥，n1⊥， 即 得 令z1＝2，得y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2)． 同理，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的法向量． 由n2⊥，n2⊥， 得解得 令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1,2)． 因为n1＝n2，即n1∥n2， 所以平面ADE∥平面B1C1F. 反思感悟　证明面面平行问题的方法 (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 跟踪训练3　如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，F是棱AB的中点． 求证：平面AA1D1D∥平面FCC1. 证明　因为AB＝4，BC＝CD＝2，F是棱AB的中点， 所以BF＝BC＝CF， 所以△BCF为正三角形． 因为底面ABCD为等腰梯形，AB＝4，BC＝CD＝2，所以∠BAD＝∠ABC＝60°. 取AF的中点M，连接DM， 则DM⊥AB，所以DM⊥CD. 以{，，}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz， 则D(0,0,0)，D1(0,0,2)，A(，－1,0)，F(，1,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)， 所以＝(0,0,2)，＝(，－1,0)，＝(，－1,0)，＝(0,0,2)，所以∥，∥， 又DD1∩DA＝D，CC1∩CF＝C，DD1，DA⊂平面AA1D1D，CC1，CF⊂平面FCC1， 所以平面AA1D1D∥平面FCC1. 1．知识清单： (1)线线平行的向量表示． (2)线面平行的向量表示． (3)面面平行的向量表示． 2．方法归纳：坐标法、转化化归． 3．常见误区：通过向量和平面平行直接得到线面平行，忽略条件直线不在平面内． 1．已知向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则(　　) A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝ C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝ 答案　D 解析　由题意得，＝＝，∴x＝6，y＝. 2．(多选)若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则能使l∥α的是(　　) A．a＝(1,0,0)，n＝(0，－2,0) B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1) C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1) D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1) 答案　AD 解析　若l∥α，则a·n＝0.A中a·n＝0，B中a·n＝1＋5＝6，C中a·n＝－1，D中a·n＝－3＋3＝0. 3．设平面α，β的一个法向量分别为u＝(1,2，－2)，v＝(－3，－6,6)，则α，β的位置关系为________． 答案　平行 解析　∵v＝－3(1,2，－2)＝－3u， ∴α∥β. 4．已知直线l的方向向量为a＝(1，－2,3)，平面α的法向量为n＝(2，x,0)，若l∥α，则x的值为________． 答案　1 解析　由l∥α可知a·n＝0， 即2－2x＝0，所以x＝1. 1．与向量a＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标是(　　) A. B．(－1，－3,2) C. D．(，－3，－2) 答案　C 解析　a＝(1，－3,2)＝－2. 2．若平面α，β的一个法向量分别为m＝，n＝，则(　　) A．α∥β B．α⊥β C．α与β相交但不垂直 D．α∥β或α与β重合 答案　D 解析　因为n＝－3m，所以m∥n， 所以α∥β或α与β重合． 3．(多选)若直线l的一个方向向量为d＝(6,2,3)，平面α的一个法向量为n＝(－1,3,0)，则直线l与平面α的位置关系可能是(　　) A．垂直 B．平行 C．直线l在平面α内 D．不能确定 答案　BC 解析　∵d·n＝－6＋2×3＋0＝0，∴d⊥n， ∴直线l与平面α的位置关系是直线l在平面α内或平行． 4．已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是(　　) A．－ B．6 C．－6 D. 答案　B 解析　∵α∥β，∴α的法向量与β的法向量也互相平行． ∴＝＝，∴λ＝6. 5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若PQ与直线A1D和AC都垂直，则直线PQ与BD1的位置关系是(　　) A．异面 B．平行 C．垂直不相交 D．垂直且相交 答案　B 解析　设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，＝(1,0,1)，＝(－1,1,0)， 设＝(a，b，c)， 则 取＝(1,1，－1)， ∵＝(－1，－1,1)＝－， ∴∥， ∴PQ∥BD1. 6.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若M，N分别为A1B，AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　) A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能确定 答案　B 解析　根据题意建立坐标系如图，设正方体的棱长为2， 则A(2,2,2)，A1(2,2,0)，C(0,0,2)，B(2,0,2)， ∴M(2,1,1)，N(1,1,2)， ∴＝(－1,0,1)． 又平面BB1C1C的一个法向量为n＝(0,1,0)， ∴·n＝－1×0＋0×1＋1×0＝0， ∴⊥n， 又∵MN⊄平面BB1C1C， ∴MN∥平面BB1C1C. 7．已知直线a，b的方向向量分别为m＝(4，k，k－1)和n＝，若a∥b，则k＝__________. 答案　－2 解析　①当k＝0时，a与b不平行； ②当k≠0时，由＝＝， 解得k＝－2. 8．若平面α的一个法向量为u1＝(－3，y,2)，平面β的一个法向量为u2＝(6，－2，z)，且α∥β，则y＋z＝________. 答案　－3 解析　∵α∥β，∴u1∥u2.易知z≠0， ∴＝＝.∴y＝1，z＝－4.∴y＋z＝－3. 9.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E，F分别为A1C1和BC的中点．求证：C1F∥平面ABE. 证明　如图，以{，，}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系． 设BC＝a，AB＝b，BB1＝c， 则B(0,0,0)，A(0，b,0)，C1(a,0，c)，F，E. 所以＝(0，－b,0)， ＝. 设平面ABE的一个法向量为 n＝(x，y，z)， 则 即 令x＝2，则y＝0，z＝－，即n＝. 又＝， 所以n·＝0， 又C1F⊄平面ABE，所以C1F∥平面ABE. 10．如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，求证：平面EFG∥平面PBC. 证明　因为平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD，所以AB，AP，AD两两垂直，以{，，}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz， 则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1，1)，G(1,2,0)．所以＝(2,0，－2)，＝(0，－1,0)，＝(1,1，－1)，＝(0,2,0)， 设n1＝(x1，y1，z1)是平面EFG的法向量， 则n1⊥，n1⊥， 即 得 令z1＝1，则x1＝1，y1＝0， 所以n1＝(1,0,1)． 设n2＝(x2，y2，z2)是平面PBC的法向量． 由n2⊥，n2⊥， 得 得 令z2＝1，得x2＝1，y2＝0， 所以n2＝(1,0,1)． 所以n1＝n2， 所以平面EFG∥平面PBC. 11．若a＝是平面α的一个法向量，且b＝(－1,2,1)，c＝都与平面α平行，则向量a等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由题意，知a·b＝0，a·c＝0， 即解得 所以a＝. 12．设α，β是不重合的两个平面，α，β的法向量分别为n1，n2，l和m是不重合的两条直线，l，m的方向向量分别为e1，e2，那么α∥β的一个充分条件是(　　) A．l⊂α，m⊂β，且e1⊥n1，e2⊥n2 B．l⊂α，m⊂β，且e1∥e2 C．e1∥n1，e2∥n2，且e1∥e2 D．e1⊥n1，e2⊥n2，且e1∥e2 答案　C 解析　对于C，可得n1∥n2，则α∥β. 13．(多选)已知空间三点A(1,0,3)，B(－1,1,4)，C(2，－1，3)．若∥，且||＝，则点P的坐标为(　　) A．(4，－2,2) B．(－2,2,4) C．(－4,2，－2) D．(2，－2,4) 答案　AB 解析　∵B(－1,1,4)，C(2，－1,3)， ∴＝(3，－2，－1)，∴∥， 设＝(3λ，－2λ，－λ)． 又||＝， ∴＝， 解得λ＝±1， ∴＝(3，－2，－1)或＝(－3,2,1)． 设点P的坐标为(x，y，z)，则＝(x－1，y，z－3)， ∴或 解得或 故点P的坐标为(4，－2,2)或(－2,2,4)． 14.如图所示，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则点M的坐标为(　　) A．(1,1,1) B. C. D. 答案　C 解析　方法一　由题意得C(0,0,0)，D(，0,0)，B(0，，0)，E(0,0,1)，A(，，0)， ＝(－，0,1)，＝(，－，0)， 设M(a，a,1)，平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令z＝，则x＝1，y＝1，所以n＝(1,1，)， 又＝(a－，a－，1)， ∴·n＝a－＋a－＋＝0， ∴a＝，即M. 方法二　如图，设AC与BD相交于O点，连接OE，因为AM∥平面BDE，且AM⊂平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE， 所以AM∥OE， 又O是正方形ABCD对角线交点， 所以M为线段EF的中点． 在空间直角坐标系中，E(0,0,1)，F(，，1)． 由中点坐标公式，知点M的坐标为. 15.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点，点P在棱AA1上，且DP∥平面B1AE，则AP的长为________． 答案　 解析　以{，，}为正交基底建立空间直角坐标系A－xyz(图略)， 设AB＝a，AP＝b，则点P坐标为(0,0，b)， B1(a,0,1)，D(0,1,0)，E， ＝(a,0,1)，＝，＝(0，－1，b)， ∵DP∥平面B1AE， ∴存在实数λ，μ，使＝λ＋μ， 即(0，－1，b)＝λ(a,0,1)＋μ. ∴∴b＝λ＝，即AP＝. 16．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO? 解　如图所示，以{，，}为正交基底建立空间直角坐标系D－xyz，设正方体的棱长为1，Q(0,1，m)， 则O，P， A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)． 方法一　因为＝ ， ＝(－1，－1,1)， 所以∥， 于是OP∥BD1. ＝，＝(－1,0，m)， 当m＝时，＝， 即AP∥BQ，所以平面D1BQ∥平面PAO， 故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO. 方法二　＝，＝. 设平面PAO的法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 则有n1⊥，n1⊥， 因此 取x1＝1，则n1＝(1,1,2)． 又因为＝(－1，－1,1)，＝(0，－1,1－m)． 设平面D1BQ的法向量为n2＝(x2，y2，z2)， 则有n2⊥，n2⊥， 因此 取z2＝1，则n2＝(m,1－m,1)． 要使平面D1BQ∥平面PAO，需满足n1∥n2， 因此＝＝，解得m＝，这时Q. 故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO. 学科网（北京）股份有限公司 $$